Явные формулы для L-функций - Explicit formulae for L-functions

В математике , то явные формулы для L-функций являются отношения между суммами по комплексному числу нулей в L-функции и суммами с простыми полномочиями, введенных Риман (1859) для дзета - функции Римана . Такие явные формулы применялись также к вопросам ограничения дискриминанта поля алгебраических чисел и проводника числового поля .

Явная формула Римана

В своей статье 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » Риман набросал явную формулу (она не была полностью доказана до 1895 года фон Мангольдтом , см. Ниже) для нормированной функции подсчета простых чисел $π 0 (x),$ которая является связанной с функцией подсчета простых чисел $π (x)$ соотношением

{\ displaystyle \ pi _ {0} (x) = {\ frac {1} {2}} \ lim _ {h \ to 0} \ left [\, \ pi (x + h) + \ pi (xh) \,\верно]\,,}

который берет среднее арифметическое предела слева и предела справа на разрывах. Его формула была дана в терминах связанной функции

{\ displaystyle f (x) = \ pi _ {0} (x) + {\ frac {1} {2}} \, \ pi _ {0} (x ^ {1/2}) + {\ frac { 1} {3}} \, \ pi _ {0} (x ^ {1/3}) + \ cdots}

в котором степень простого числа $p n$ считается как 1 ⁄ $n$ простого числа. Нормализованная функция подсчета простых чисел может быть восстановлена из этой функции следующим образом:

{\ displaystyle \ pi _ {0} (x) = \ sum _ {n} {\ frac {1} {n}} \, \ mu (n) \, f (x ^ {1 / n}) = f (x) - {\ frac {1} {2}} \, f (x ^ {1/2}) - {\ frac {1} {3}} \, f (x ^ {1/3}) - {\ frac {1} {5}} \, f (x ^ {1/5}) + {\ frac {1} {6}} \, f (x ^ {1/6}) - \ cdots,}

где $μ (n)$ - функция Мёбиуса . Формула Римана тогда

{\ displaystyle f (x) = \ operatorname {li} (x) - \ sum _ {\ rho} \ operatorname {li} (x ^ {\ rho}) - \ log (2) + \ int _ {x} ^ {\ infty} {\ frac {\ operatorname {d} t} {~ t \, (t ^ {2} -1) ~ \ log (t) ~}}}

с суммой по нетривиальным нулям $ρ$ дзета-функции Римана. Сумма не является абсолютно сходящейся , но ее можно вычислить, взяв нули в порядке абсолютного значения их мнимой части. Функция $li,$ встречающаяся в первом члене, является (несмещенной) логарифмической интегральной функцией, заданной главным значением Коши расходящегося интеграла

{\ displaystyle \ operatorname {li} (x) = \ int _ {0} ^ {x} {\ frac {\ operatorname {d} t} {\, \ log (t) \,}} \ ,.}

Члены $li (x ρ),$ включающие нули дзета-функции, требуют некоторой осторожности при их определении, поскольку $li$ имеет точки ветвления в точках 0 и 1 и определяется аналитическим продолжением по комплексной переменной $ρ$ в области $x > 1$ и $Re (р)> 0$ . Остальные члены также соответствуют нулям: доминирующий член $li (x)$ исходит от полюса при $s = 1$ , рассматриваемого как нуль кратности -1, а остальные малые члены происходят от тривиальных нулей. Эта формула говорит, что нули дзета-функции Римана управляют колебаниями простых чисел вокруг их «ожидаемых» положений. (Графики сумм первых нескольких членов этой серии см. В Zagier 1977. )

Первое строгое доказательство вышеупомянутой формулы было дано фон Мангольдтом в 1895 году: оно началось с доказательства следующей формулы для функции Чебышева $ψ$

{\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = {\ dfrac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {\ sigma -i \ infty} ^ {\ sigma + i \ infty} \ left (- {\ dfrac {\ zeta '(s)} {\ zeta (s)}} \ right) {\ dfrac {x ^ {s}} {s}} \ operatorname {d} s = x- \ sum _ {\ rho} {\ frac {~ x ^ {\ rho} \,} {\ rho}} - \ log (2 \ pi) - {\ dfrac {1} {2}} \ log (1-x ^ {- 2 })}

где LHS - обратное преобразование Меллина с

{\ displaystyle \ quad \ sigma> 1 \ ,, \ quad \ psi (x) = \ sum _ {p ^ {k} \ leq x} \ log p \ ,, \ quad}

а также

{\ displaystyle \ quad \ psi _ {0} (x) = {\ frac {1} {2}} \ lim _ {h \ to 0} (\ psi (x + h) + \ psi (xh))}

и RHS получается из теоремы о вычетах , а затем преобразуя его в формулу, которую на самом деле набросал сам Риман.

Этот ряд также условно сходится и сумму по нулям следует снова брать в порядке возрастания мнимой части:

{\ displaystyle \ sum _ {\ rho} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} = \ lim _ {T \ rightarrow \ infty} S (x, T) \ quad}

где .

{\ displaystyle \ quad S (x, T) = \ sum _ {\ rho: | \ Im \ rho | \ leq T} {\ frac {x ^ {\ rho}} {\ rho}} \,}

Ошибка участвует в усечения сумму $S (х, Т)$ всегда меньше , чем $Ln (х)$ по абсолютной величине, а при делении на натуральный логарифм от $х$ , имеет абсолютную величину , меньшую , чем $х / Т$ , деленное на расстоянии от $х$ до ближайшей основной мощности.

Явная формула Вейля

Есть несколько разных способов сформулировать явную формулу. Форма явной формулы Андре Вейля гласит:

{\ Displaystyle {\ begin {align} & \ Phi (1) + \ Phi (0) - \ sum _ {\ rho} \ Phi (\ rho) \\ = {} & \ sum _ {p, m} { \ frac {\ log (p)} {p ^ {m / 2}}} {\ Big (} F (\ log (p ^ {m})) + F (- \ log (p ^ {m})) {\ Big)} - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ varphi (t) \ Psi (t) \, dt \ end {выровнено}} }

где

ρ пробегает нетривиальные нули дзета-функции
p пробегает положительные простые числа
m пробегает положительные целые числа
F - гладкая функция, все производные которой быстро убывают
${\ displaystyle \ varphi}$ является преобразованием Фурье F :

{\ displaystyle \ varphi (t) = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (x) e ^ {itx} \, dx}

${\ Displaystyle \ Phi (1/2 + он) = \ varphi (t)}$
${\ Displaystyle \ Psi (t) = - \ log (\ pi) + \ operatorname {Re} (\ psi (1/4 + it / 2))}$ , где - дигамма-функция Γ ′ / Γ. ${\ displaystyle \ psi}$

Грубо говоря, явная формула говорит, что преобразование Фурье нулей дзета-функции - это набор степеней простых чисел плюс некоторые элементарные множители. Как только это сказано, формула исходит из того факта, что преобразование Фурье является унитарным оператором, так что скалярное произведение во временной области равно скалярному произведению преобразований Фурье в частотной области.

Члены формулы возникают следующим образом.

Члены в правой части происходят от логарифмической производной от

{\ Displaystyle \ zeta ^ {*} (s) = \ Gamma (s / 2) \ pi ^ {- s / 2} \ prod _ {p} {\ frac {1} {1-p ^ {- s} }}}

с членами, соответствующими простому p, происходящему из фактора Эйлера p , и члену в конце, включающему, происходящему из гамма-фактора (фактор Эйлера на бесконечности).

Левая часть представляет собой сумму по всем нулям ζ ^* с учетом кратностей, поэтому полюсы в точках 0 и 1 считаются нулями порядка −1.

Явную формулу Вейля можно понять так. Цель состоит в том, чтобы написать, что:

{\ displaystyle {\ frac {d} {du}} \ left [\ sum _ {n \ leq e ^ {| u |}} \ Lambda (n) + {\ frac {1} {2}} \ ln ( 1-e ^ {- 2 | u |}) \ right] = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ Lambda (n) \ left [\ delta (u + \ ln n) + \ delta (u - \ ln n) \ right] + {\ frac {1} {2}} {\ frac {d \ ln (1-e ^ {- 2 | u |})} {du}} = e ^ {u} - \ sum _ {\ rho} e ^ {\ rho u}}

,

где $Λ$ - функция фон Мангольдта .

Таким образом, преобразование Фурье нетривиальных нулей равно симметризованной степени простых чисел плюс минорный член. Конечно, задействованные суммы не сходятся, но хитрость состоит в том, чтобы использовать унитарное свойство преобразования Фурье, которое заключается в том, что оно сохраняет скалярное произведение:

{\ Displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (u) g ^ {*} (u) \, du = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} F (t) G ^ {*} (t) \, dt}

где - преобразования Фурье . На первый взгляд может показаться, что это формула только для функций, но на самом деле во многих случаях она работает и в случае распределения. Следовательно, установив (где - дельта Дирака ) и тщательно выбрав функцию и ее преобразование Фурье, мы получим формулу выше. ${\ Displaystyle F, G}$ ${\ displaystyle f, g}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle g (u) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ Lambda (n) \ left [\ delta (u + \ ln n) + \ delta (u- \ ln n) \ right] }$ ${\ Displaystyle \ дельта (и)}$ ${\ displaystyle f}$

Явные формулы для других арифметических функций

Формула Римана-Вейля может быть обобщена на арифметические функции, отличные от функции фон Мангольдта. Например, для функции Мёбиуса мы имеем

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {\ sqrt {n}}} g (\ log n) = \ sum _ {\ rho} {\ frac {h (\ gamma)} {\ zeta '(\ rho)}} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {\ zeta' (-2n)}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dxg (x) e ^ {- (2n + 1/2) x}}

.

Также для функции Лиувилля имеем

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {\ sqrt {n}}} g (\ log n) = \ sum _ {\ rho} {\ frac {h (\ gamma) \ zeta (2 \ rho)} {\ zeta '(\ rho)}} + {\ frac {1} {\ zeta (1/2)}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, g (x)}

.

Для функции Эйлера-Фи явная формула имеет вид

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n)} {\ sqrt {n}}} g (\ log n) = {\ frac {6} {\ pi ^ {2}}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, g (x) e ^ {3x / 2} + \ sum _ {\ rho} {\ frac {h (\ gamma) \ zeta (\ rho -1)} {\ zeta '(\ rho)}} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ zeta ( -2n-1)} {\ zeta '(-2n)}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} dx \, g (x) e ^ {- x (2n + 1/2)}}

.

Во всех случаях сумма связана с мнимой частью нулей Римана , а функция ч связана с пробной функцией г с помощью преобразования Фурье, . ${\ Displaystyle \ rho = {\ гидроразрыва {1} {2}} + я \ гамма}$ ${\ Displaystyle г (и) = {\ гидроразрыва {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} h (x) \ exp (-iux)}$

Для функции делителей нулевого порядка . ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sigma _ {0} (n) f (n) = \ sum _ {m = - \ infty} ^ {\ infty} \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (мин)}$

Использование тестовой функции вида для некоторого положительного a превращает формулу суммирования Пуассона в формулу, включающую преобразование Меллина. Здесь y - реальный параметр. ${\ displaystyle g (x) = f (ye ^ {x}) e ^ {ax}}$

Обобщения

Дзета - функция Римана может быть заменена на L-функции Дирихле в виде символов Дирихле х. Сумма по степеням простых чисел тогда получает дополнительные множители χ ( p ^m ), а члены Φ (1) и Φ (0) исчезают, поскольку L-ряд не имеет полюсов.

В более общем смысле, дзета-функция Римана и L-ряд могут быть заменены дзета-функцией Дедекинда поля алгебраических чисел или L-рядами Гекке . Затем сумма по простым числам заменяется суммой по простым идеалам.

Приложения

Первоначальное использование явной формулы Риманом состояло в том, чтобы дать точную формулу для количества простых чисел, меньших заданного числа. Для этого возьмем F (log ( y )) равным y ^1/2 / log ( y ) для 0 ≤ y ≤ x и 0 в другом месте. Тогда главный член суммы справа - это количество простых чисел меньше x . Главный член слева - это Φ (1); которая оказывается доминирующими членами теоремы о простых числах , а основная поправка - это сумма по нетривиальным нулям дзета-функции. (При использовании этого случая возникает небольшая техническая проблема, заключающаяся в том, что функция F не удовлетворяет условию гладкости.)

Гипотеза Гильберта – Полиа

Согласно гипотезе Гильберта-Полна , комплексные нули ρ должны быть собственные значения некоторого линейного оператора Т . Сумма по нулям явной формулы тогда (по крайней мере формально) дается следом:

{\ displaystyle \ sum _ {\ rho} F (\ rho) = \ operatorname {Tr} (F ({\ widehat {T}})). \!}

Разработка явных формул для широкого класса L-функций была дана Вейлем (1952) , который первым распространил эту идею на локальные дзета-функции и сформулировал версию обобщенной гипотезы Римана в этой ситуации как утверждение о положительности для обобщенная функция на топологической группе . Более поздняя работа Алена Конна пошла намного дальше в функционально-аналитическую основу, предоставив формулу следа, справедливость которой эквивалентна такой обобщенной гипотезе Римана. Несколько иную точку зрения высказал Мейер (2005) , который вывел явную формулу Вейля с помощью гармонического анализа на адельных пространствах.

Смотрите также

Формула следа Сельберга

Сноски

дальнейшее чтение

Эдвардс, HM (1974), дзета-функция Римана , Чистая и прикладная математика, 58 , Нью-Йорк-Лондон: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0, Zbl 0315,10035
Ризель, Ханс (1994), Простые числа и компьютерные методы факторизации , Progress in Mathematics, 126 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser, ISBN 0-8176-3743-5, Zbl 0821,11001

Languages

In other projects