О количестве простых чисел меньше заданной величины - On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude
« Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse » (обычный английский перевод: « О числе простых чисел меньше заданной величины ») - это основополагающая 9-страничная статья Бернхарда Римана, опубликованная в ноябрьском выпуске Monatsberichte der Königlich за 1859 год. Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin .
Обзор
В данной статье функция подсчета простых чисел изучается аналитическими методами. Хотя это единственная статья Римана по теории чисел , когда-либо опубликованная , она содержит идеи, которые оказали влияние на тысячи исследователей в конце 19 века и до наших дней. Работа состоит в основном из определений , эвристических аргументов , набросков доказательств и применения мощных аналитических методов; все они стали важными концепциями и инструментами современной аналитической теории чисел .
Среди введенных новых определений, идей и обозначений:
- Использование греческой буквы дзета (ζ) для функции, ранее упомянутой Эйлером
- Аналитическое продолжение этой дзета - функции Z ( ы ) для всех комплексных х ≠ 1
- Целая функция ξ ( ы ), связанные с дзета - функции через гамма - функции (или функции Π, в использовании Римана)
- Дискретная функция J ( x ), определенная для x ≥ 0, которая определяется формулой J (0) = 0 и J ( x ) перескакивает на 1 / n при каждой степени простого p n . (Риман называет эту функцию f ( x ).)
Среди доказательств и эскизов доказательств:
- Два доказательства функционального уравнения ζ ( s )
- Схема доказательства произведения ξ ( s )
- Доказательство эскиз приближения числа корней £ ( ы ) , чьи мнимые части лежат между 0 и Т .
Среди сделанных домыслов:
- Гипотеза Римана , что все (нетривиальные) нули ζ ( s ) имеют действительную часть 1/2. Риман формулирует это в терминах корней связанной функции ξ: «... es ist sehr wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon wäre аллердингс ein strenger Beweis zu wünschen; ich habe indess die Aufsuchung desselben nach eingeborlichähtigen verzuh eingeborlüchtigen verzuh eingeborlüchtigen. bei Seite gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner Untersuchung entbehrlich schien ". То есть, «весьма вероятно, что все корни реальны. Тем не менее, хотелось бы получить строгое доказательство этого; однако, после некоторых мимолетных тщетных попыток, я временно отложил поиск таких, поскольку они кажутся ненужными. для следующей цели моего расследования ". (Он обсуждал версию дзета-функции, измененную так, чтобы ее корни были реальными, а не на критической линии.)
Новые методы и приемы, используемые в теории чисел:
- Функциональные уравнения, возникающие из автоморфных форм
- Аналитическое продолжение (хотя и не в духе Вейерштрасса)
- Контурная интеграция
- Обращение Фурье .
Риман также обсудил связь между ζ ( s ) и распределением простых чисел, используя функцию J ( x ) по существу как меру для интегрирования Стилтьеса . Затем он получил основной результат статьи - формулу для J ( x ) - путем сравнения с ln (ζ ( s )). Затем Риман нашел формулу для функции подсчета простых чисел π ( x ) (которую он назвал F ( x )). Он отмечает, что его уравнение объясняет тот факт, что π ( x ) растет медленнее, чем логарифмический интеграл , как это было найдено Карлом Фридрихом Гауссом и Карлом Вольфгангом Бенджамином Гольдшмидтом .
Статья содержит некоторые особенности для современных читателей, такие как использование Π ( s - 1) вместо Γ ( s ), запись tt вместо t 2 и использование границ от ∞ до ∞ для обозначения контурного интеграла .
Рекомендации
- Эдвардс, HM (1974), дзета-функция Римана , Нью-Йорк: Academic Press, ISBN 0-12-232750-0 , Zbl 0315,10035
внешние ссылки
- Рукопись Римана
- Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebener Grösse (транскрипция статьи Римана)
- О числе простых чисел, меньших заданной величины (английский перевод статьи Римана)