Аксиомы Эйленберга – Стинрода - Eilenberg–Steenrod axioms

В математике , в частности , в алгебраической топологии , то аксиомы Эйленберга-Стинрод являются свойствами , что гомологии теория о топологических пространствах имеет в общем. Типичным примером теории гомологий, удовлетворяющей аксиомам, являются сингулярные гомологии , разработанные Самуэлем Эйленбергом и Норманом Стинродом .

Можно определить теорию гомологии как последовательность из функторов , удовлетворяющих аксиомам Стинрода-Эйленберга. Аксиоматический подход, разработанный в 1945 году, позволяет доказать результаты, такие как последовательность Майера – Виеториса , которые являются общими для всех теорий гомологии, удовлетворяющих этим аксиомам.

Если опустить аксиому размерности (описанную ниже), то оставшиеся аксиомы определяют то, что называется экстраординарной теорией гомологий . Необычные теории когомологий впервые возникли в K-теории и кобордизме .

Формальное определение

Аксиомы Эйленберга- Стинрода применяются к последовательности функторов из категории из пар топологических пространств в категорию абелевых групп вместе с естественным преобразованием называется граничное отображением (здесь является обобщающим для Аксиомы является.: ${\ displaystyle H_ {n}}$ ${\ Displaystyle (Х, А)}$ ${\ displaystyle \ partial \ двоеточие H_ {i} (X, A) \ to H_ {i-1} (A)}$${\ Displaystyle H_ {я-1} (А)}$${\ Displaystyle Н_ {я-1} (А, \ emptyset)}$

1. Гомотопия : гомотопические отображения индуцируют одно и то же отображение в гомологиях. То есть, если это гомотопное с , то их индуцированными гомоморфизмами являются одинаковыми.${\ Displaystyle г \ двоеточие (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$${\ Displaystyle ч \ двоеточие (X, A) \ rightarrow (Y, B)}$
2. Исключение : еслипара и U - подмножество A такое, что замыкание U содержится внутри A , то отображение включенияиндуцирует изоморфизм в гомологиях.${\ Displaystyle (Х, А)}$${\ Displaystyle я \ двоеточие (Икс \ setminus U, A \ setminus U) \ to (X, A)}$
3. Размерность : пусть P - одноточечное пространство; потом для всех .${\ displaystyle H_ {n} (P) = 0}$${\ Displaystyle п \ neq 0}$
4. Аддитивность : если несвязное объединение семейства топологических пространств , то${\ Displaystyle X = \ coprod _ {\ alpha} {X _ {\ alpha}}}$${\ displaystyle X _ {\ alpha}}$${\ displaystyle H_ {n} (X) \ cong \ bigoplus _ {\ alpha} H_ {n} (X _ {\ alpha}).}$
5. Точность : каждая пара (X, A) индуцирует длинную точную последовательность в гомологии через включения и :${\ Displaystyle я \ двоеточие от А \ до Х}$${\ displaystyle j \ двоеточие X \ to (X, A)}$

${\ displaystyle \ cdots \ to H_ {n} (A) \, {\ xrightarrow {i _ {*}}} \, H_ {n} (X) \, {\ xrightarrow {j _ {*}}} \, H_ {n} (X, A) \, {\ xrightarrow {\ partial}} \, H_ {n-1} (A) \ to \ cdots.}$

Если P - одноточечное пространство, оно называется группой коэффициентов . Например, особые гомологии (взятые с целочисленными коэффициентами, как это часто бывает) имеют в качестве коэффициентов целые числа. ${\ displaystyle H_ {0} (P)}$

Последствия

Некоторые факты о группах гомологий могут быть получены непосредственно из аксиом, например, тот факт, что гомотопически эквивалентные пространства имеют изоморфные группы гомологий.

Гомологии некоторых относительно простых пространств, таких как п - сферы , могут быть вычислены непосредственно из аксиом. Отсюда можно легко показать , что ( п  - 1) -сферы не отводной из п -дисков. Это используется в доказательстве теоремы Брауэра о неподвижной точке .

Аксиома размерности

«Гомологическая подобная» теория, удовлетворяющая всем аксиомам Эйленберга – Стинрода, за исключением аксиомы размерности, называется экстраординарной теорией гомологий (двойной, экстраординарной теорией когомологий ). Важные примеры из них были обнаружены в 1950 - х, таких как топологический К-теория и теории кобордизмов , которые экстраординарная со теорией гомологии, и пришли с теориями гомологии , двойственными к ним.

Смотрите также

• Зигзагообразная лемма

Примечания

использованная литература

• Эйленберг, Самуэль ; Стинрод, Норман Э. (1945). «Аксиоматический подход к теории гомологии» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 31 (4): 117–120. Bibcode : 1945PNAS ... 31..117E . DOI : 10.1073 / pnas.31.4.117 . Руководство по ремонту  0012228 . PMC  1078770 . PMID  16578143 .
• Эйленберг, Самуэль ; Стинрод, Норман Э. (1952). Основы алгебраической топологии . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . Руководство по ремонту  0050886 .
• Бредон, Глен (1993). Топология и геометрия . Тексты для выпускников по математике. 139 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4757-6848-0 . ISBN 0-387-97926-3. Руководство по ремонту  1224675 .