Особые гомологии - Singular homology

В алгебраической топологии , сингулярные гомологии относится к изучению некоторого множества алгебраических инвариантов одного топологического пространства X , так называемых групп гомологии Наглядно сингулярных гомологии графов, для каждой размерности п , то п - мерные отверстия в пространстве. Сингулярные гомологии - это частный пример теории гомологий , которая теперь превратилась в довольно обширное собрание теорий. Из различных теорий, возможно, это одна из самых простых для понимания, поскольку она построена на довольно конкретных конструкциях. ${\ displaystyle H_ {n} (X).}$

Короче говоря, особые гомологии строятся путем преобразования стандартных n -симплексов в топологическое пространство и их компоновки в формальные суммы , называемые сингулярными цепями . Граничная операция - отображение каждого n- мерного симплекса на его ( n - 1) -мерную границу - индуцирует сингулярный цепной комплекс . Тогда особые гомологии - это гомологии цепного комплекса. Полученные группы гомологий одинаковы для всех гомотопически эквивалентных пространств, что и является причиной их изучения. Эти конструкции могут применяться ко всем топологическим пространствам, и поэтому особые гомологии могут быть выражены в терминах теории категорий , где гомологии выражаются как функтор из категории топологических пространств в категорию градуированных абелевых групп .

Особые симплексы

Единственного числа п -симплекс в топологическом пространстве X является непрерывной функцией (также называется отображением) из стандартного п - симплекс к X , написанный Эта карта не должно быть инъективны , а может быть неэквивалентных сингулярных симплексов с тем же изображением в X . ${\ displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ Delta ^ {n}}$${\ displaystyle \ sigma: \ Delta ^ {n} \ к X.}$

Граница, обозначенная как , определяется как формальная сумма сингулярных ( n  - 1) -симплексов, представленных ограничением на грани стандартного n -симплекса, с переменным знаком для учета ориентации. (Формальная сумма - это элемент свободной абелевой группы на симплексах. Основой группы является бесконечное множество всех возможных сингулярных симплексов. Групповая операция - это «сложение», а сумма симплекса a с симплексом b обычно просто обозначается a  +  b , но a  +  a  = 2 a и т. д. Каждый симплекс a имеет минус - a .) Таким образом, если мы обозначим его вершинами ${\ displaystyle \ sigma,}$${\ displaystyle \ partial _ {n} \ sigma,}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle [p_ {0}, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}] = [\ sigma (e_ {0}), \ sigma (e_ {1}), \ ldots, \ sigma (e_ { n})]}$

соответствующие вершинам стандартного n -симплекса (который, конечно, не полностью определяет особый симплекс, образованный с помощью ), то ${\ displaystyle e_ {k}}$${\ displaystyle \ Delta ^ {n}}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ partial _ {n} \ sigma = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} \ sigma \ mid _ {[p_ {0}, \ ldots, p_ {k -1}, p_ {k + 1}, \ ldots, p_ {n}]}}$

представляет собой формальную сумму граней симплексного изображения, обозначенных определенным образом. (То есть конкретная грань должна быть ограничением на грань, которая зависит от порядка, в котором перечислены ее вершины.) Таким образом, например, граница (кривой, идущей от к ) является формальной суммой (или «формальная разница») . ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ Delta ^ {n}}$${\ displaystyle \ sigma = [p_ {0}, p_ {1}]}$${\ displaystyle p_ {0}}$${\ displaystyle p_ {1}}$${\ displaystyle [p_ {1}] - [p_ {0}]}$

Сингулярный цепной комплекс

Обычное построение сингулярных гомологий осуществляется путем определения формальных сумм симплексов, которые можно понимать как элементы свободной абелевой группы , а затем показывать, что мы можем определить некоторую группу, группу гомологий топологического пространства, включая граничный оператор .

Рассмотрим первый набор всех возможных сингулярным п -simplices на топологическом пространстве X . Этот набор можно использовать как основу свободной абелевой группы , так что каждый особый n -симплекс является генератором группы. Этот набор генераторов, конечно, обычно бесконечен, а часто и неисчислим , поскольку существует множество способов отображения симплекса в типичное топологическое пространство. Свободную абелеву группу, порожденную этим базисом, обычно обозначают как . Элементы называются единичными n -цепями ; они представляют собой формальные суммы сингулярных симплексов с целыми коэффициентами. ${\ Displaystyle \ sigma _ {п} (Х)}$${\ Displaystyle C_ {п} (Х)}$${\ Displaystyle C_ {п} (Х)}$

Граница легко обобщается действовать на сингулярных п -цепей. Расширение, называемое граничным оператором , записывается как ${\ displaystyle \ partial}$

${\ displaystyle \ partial _ {n}: C_ {n} \ to C_ {n-1},}$

является гомоморфизмом групп. Граничный оператор вместе с оператором образуют цепной комплекс абелевых групп, называемый сингулярным комплексом . Его часто обозначают как или проще . ${\ displaystyle C_ {n}}$${\ displaystyle (C _ {\ bullet} (X), \ partial _ {\ bullet})}$${\ displaystyle C _ {\ bullet} (X)}$

Ядро граничного оператора есть и называется группой особых n -циклов . Образ граничного оператора есть и называется группой особых n -границ . ${\ Displaystyle Z_ {n} (X) = \ ker (\ partial _ {n})}$${\ displaystyle B_ {n} (X) = \ operatorname {im} (\ partial _ {n + 1})}$

Также можно показать, что . Тогда -я группа гомологий определяется как фактор-группа${\ displaystyle \ partial _ {n} \ circ \ partial _ {n + 1} = 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle H_ {n} (X) = Z_ {n} (X) / B_ {n} (X).}$

Элементы называются классами гомологий . ${\ displaystyle H_ {n} (X)}$

Гомотопическая инвариантность

Если X и Y - два топологических пространства с одним и тем же гомотопическим типом (т. Е. Гомотопически эквивалентны ), то

${\ Displaystyle Н_ {п} (Х) \ конг Н_ {п} (Y) \,}$

для всех n ≥ 0. Это означает, что группы гомологий являются топологическими инвариантами .

В частности, если X - связное стягиваемое пространство , то все его группы гомологий равны 0, кроме . ${\ Displaystyle Н_ {0} (Х) \ cong \ mathbb {Z}}$

Доказательство гомотопической инвариантности сингулярных групп гомологий можно набросать следующим образом. Непрерывное отображение f : X → Y индуцирует гомоморфизм

${\ displaystyle f _ {\ sharp}: C_ {n} (X) \ rightarrow C_ {n} (Y).}$

Сразу можно проверить, что

${\ displaystyle \ partial f _ {\ sharp} = f _ {\ sharp} \ partial,}$

т.е. f _# - это цепное отображение , которое спускается до гомоморфизмов на гомологиях

${\ displaystyle f _ {*}: H_ {n} (X) \ rightarrow H_ {n} (Y).}$

Теперь покажем, что если f и g гомотопически эквивалентны, то f _* = g _* . Отсюда следует, что если f - гомотопическая эквивалентность, то f _* - изоморфизм.

Пусть F  : X × [0, 1] → Y - гомотопия, переводящая f в g . На уровне цепей определим гомоморфизм

${\ Displaystyle P: C_ {n} (X) \ rightarrow C_ {n + 1} (Y)}$

что, геометрически говоря, имеет базисный элемент а: Д ^п → Х из С _п ( Х ) к «призмы» P (a): Δ ^п × I → Y . Границу P (σ) можно выразить как

${\ displaystyle \ partial P (\ sigma) = f _ {\ sharp} (\ sigma) -g _ {\ sharp} (\ sigma) -P (\ partial \ sigma).}$

Итак, если α в C _n ( X ) является n -циклом, то f _# ( α ) и g _# ( α ) отличаются границей:

${\ displaystyle f _ {\ sharp} (\ alpha) -g _ {\ sharp} (\ alpha) = \ partial P (\ alpha),}$

т.е. они гомологичны. Это доказывает утверждение.

Функциональность

Приведенная выше конструкция может быть определена для любого топологического пространства и сохраняется при действии непрерывных отображений. Эта общность означает, что теорию сингулярных гомологий можно переформулировать на языке теории категорий . В частности, группу гомологий можно понимать как функтор из категории топологических пространств Top в категорию абелевых групп Ab .

Рассмотрим сначала, что это отображение топологических пространств на свободные абелевы группы. Это говорит о том, что может быть принято функтором, при условии , можно понять его действие на морфизмы из Top . Теперь морфизмы Top являются непрерывными функциями, поэтому, если является непрерывным отображением топологических пространств, его можно продолжить до гомоморфизма групп ${\ Displaystyle X \ mapsto C_ {n} (X)}$${\ Displaystyle C_ {п} (Х)}$${\ displaystyle f: от X \ до Y}$

${\ displaystyle f _ {*}: C_ {n} (X) \ to C_ {n} (Y) \,}$

определяя

${\ displaystyle f _ {*} \ left (\ sum _ {i} a_ {i} \ sigma _ {i} \ right) = \ sum _ {i} a_ {i} (f \ circ \ sigma _ {i} )}$

где - особый симплекс, а - особая n -цепочка, т. е. элемент из . Это показывает, что это функтор ${\ displaystyle \ sigma _ {i}: \ Delta ^ {n} \ to X}$${\ Displaystyle \ сумма _ {я} а_ {я} \ сигма _ {я} \,}$${\ Displaystyle C_ {п} (Х)}$${\ displaystyle C_ {n}}$

${\ displaystyle C_ {n}: \ mathbf {Top} \ to \ mathbf {Ab}}$

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп .

Граничный оператор коммутирует с непрерывными отображениями, так что . Это позволяет рассматривать весь цепной комплекс как функтор. В частности, это показывает, что отображение является функтором${\ displaystyle \ partial _ {n} f _ {*} = f _ {*} \ partial _ {n}}$${\ Displaystyle X \ mapsto H_ {п} (X)}$

${\ displaystyle H_ {n}: \ mathbf {Top} \ to \ mathbf {Ab}}$

из категории топологических пространств в категорию абелевых групп. По аксиоме гомотопии, это также является функтором, называемым функтором гомологии, действующим на hTop , факторной гомотопической категории : ${\ displaystyle H_ {n}}$

${\ displaystyle H_ {n}: \ mathbf {hTop} \ to \ mathbf {Ab}.}$

Это отличает особые гомологии от других теорий гомологий, в которых все еще является функтором, но не обязательно определено на всей вершине . В каком - то смысле, сингулярные гомологии является «крупным» теория гомологии, в том , что любая теория гомологии на подкатегории из Top соглашается с сингулярными на этой подкатегории. С другой стороны, особые гомологии не обладают чистейшими категориальными свойствами; такая очистка мотивирует развитие других теорий гомологии, таких как клеточная гомология . ${\ displaystyle H_ {n}}$

В более общем смысле, функтор гомологии определяется аксиоматически, как функтор на абелевой категории или, альтернативно, как функтор на цепных комплексах , удовлетворяющий аксиомам, требующим граничного морфизма, который превращает короткие точные последовательности в длинные точные последовательности . В случае особых гомологий функтор гомологии может быть разложен на две части: топологическую часть и алгебраическую часть. Топологический фрагмент дается формулой

${\ displaystyle C _ {\ bullet}: \ mathbf {Top} \ to \ mathbf {Comp}}$

который отображает топологические пространства как и непрерывные функции как . Под этим понимается сингулярный цепной функтор, который отображает топологические пространства в категорию цепных комплексов Comp (или Kom ). Категория цепных комплексов имеет цепные комплексы в качестве объектов и цепные отображения в качестве морфизмов . ${\ Displaystyle X \ mapsto (C _ {\ bullet} (X), \ partial _ {\ bullet})}$${\ displaystyle f \ mapsto f _ {*}}$${\ displaystyle C _ {\ bullet}}$

Вторая, алгебраическая часть - это функтор гомологии

${\ displaystyle H_ {n}: \ mathbf {Comp} \ to \ mathbf {Ab}}$

который отображает

${\ displaystyle C _ {\ bullet} \ mapsto H_ {n} (C _ {\ bullet}) = Z_ {n} (C _ {\ bullet}) / B_ {n} (C _ {\ bullet})}$

и переводит цепные отображения в отображения абелевых групп. Именно этот функтор гомологии может быть определен аксиоматически, так что он стоит сам по себе как функтор в категории цепных комплексов.

Гомотопические карты снова входят в картину, определяя гомотопически эквивалентные цепные карты. Таким образом, можно определить фактор-категорию hComp или K , гомотопическую категорию цепных комплексов .

Коэффициенты в R

Для любого кольца с единицей R множество сингулярных n -симплексов на топологическом пространстве можно рассматривать как генераторы свободного R -модуля . То есть, вместо того, чтобы выполнять вышеупомянутые конструкции с начальной точки свободных абелевых групп, вместо них используются свободные R -модули. Все конструкции проходят практически без изменений. Результатом этого является

${\ Displaystyle Н_ {п} (Х, R) \}$

который теперь является R -модулем . Конечно, обычно это не бесплатный модуль. Обычная группа гомологий восстанавливается, если заметить, что

${\ Displaystyle Н_ {п} (Х, \ mathbb {Z}) = Н_ {п} (Х)}$

если принять кольцо за кольцо целых чисел. Обозначение H _n ( X , R ) не следует путать с почти идентичным обозначением H _n ( X , A ), которое обозначает относительную гомологию (ниже).

Относительная гомология

Для подпространства , то относительно гомологии Н _п ( Х , ) понимаются гомология частного от деления цепных комплексов, то есть, ${\ Displaystyle A \ подмножество X}$

${\ Displaystyle H_ {n} (X, A) = H_ {n} (C _ {\ bullet} (X) / C _ {\ bullet} (A))}$

где фактор цепных комплексов задается короткой точной последовательностью

${\ displaystyle 0 \ к C _ {\ bullet} (A) \ к C _ {\ bullet} (X) \ к C _ {\ bullet} (X) / C _ {\ bullet} (A) \ to 0.}$

Когомологии

Дуализируя комплекс цепи гомологий (т. Е. Применяя функтор Hom (-, R ), R - любое кольцо), мы получаем комплекс коцепей с кограничным отображением . В группы когомологий из X определяются как группы гомологии этого комплекса; в шутку, «когомологии - это гомологии ко [двойственного комплекса]». ${\ displaystyle \ delta}$

Группы когомологий имеют более богатую или, по крайней мере, более знакомую алгебраическую структуру, чем группы гомологий. Во-первых, они образуют дифференциальную градуированную алгебру следующим образом:

• градуированное множество групп образуют градуированную R - модуль ;
• этому можно придать структуру градуированной R - алгебры с помощью чашечного произведения ;
• гомоморфизм Бокштейна β дает дифференциал.

Существуют дополнительные операции когомологий , и алгебра когомологий имеет структуру сложения mod p (как и раньше, когомологии mod p являются когомологиями коцепного комплекса mod p , а не редукцией когомологий mod p ), в частности, структуру алгебры Стинрода .

Гомологии и когомологии Бетти

Поскольку число теорий гомологии становится большим (см Категория: Теория гомологий ), термины Betti гомология и Betti когомология иногда применяются ( в частности, авторы , пишущих на алгебраической геометрии ) к особой теории, порождая к номерам гомологий из наиболее знакомые пространства, такие как симплициальные комплексы и замкнутые многообразия .

Чрезвычайная гомология

Если определить теорию гомологий аксиоматически (через аксиомы Эйленберга – Стинрода ), а затем ослабить одну из аксиом ( аксиому размерности ), то получится обобщенная теория, называемая экстраординарной теорией гомологий . Первоначально они возникли в форме необычных теорий когомологий , а именно K-теории и теории кобордизмов . В этом контексте особые гомологии называются обычными гомологиями.

Смотрите также

• Производная категория
• Теорема об удалении
• Теорема Гуревича
• Симплициальные гомологии
• Клеточная гомология

использованная литература

• Аллен Хэтчер, Алгебраическая топология. Cambridge University Press, ISBN  0-521-79160-X и ISBN  0-521-79540-0
• JP May, Краткий курс алгебраической топологии , ISBN  Chicago University Press 0-226-51183-9
• Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию , Springer-Verlag, ISBN  0-387-96678-1