Связь Ehresmann - Ehresmann connection

В дифференциальной геометрии , соединение Эресмана (после того, как французский математик Чарльз Эресман , который первым формализованный эта концепцию) является разновидностью понятия связи , что имеет смысл на любом гладком расслоении . В частности, он не полагается на возможную структуру векторного расслоения нижележащего пучка волокон, но, тем не менее, линейные связи можно рассматривать как частный случай. Другой важный частный случай связностей Эресмана - главные связности на главных расслоениях , которые должны быть эквивариантными в действии основной группы Ли .

Вступление

Ковариантная производная в дифференциальной геометрии является линейным дифференциальным оператором , который принимает направленные производный от среза векторного расслоения в ковариантном образе. Это также позволяет сформулировать понятие параллельного сечения пучка в направлении вектора: сечение s параллельно вектору X, если . Таким образом, ковариантная производная дает по крайней мере две вещи: дифференциальный оператор и представление о том, что значит быть параллельным в каждом направлении. Эресмана соединение падает дифференциальный оператор полностью и определяет соединение аксиоматический в терминах секции параллельно в каждом направлении ( Эресмана 1950 ). В частности, связность Эресмана выделяет векторное подпространство каждого касательного пространства к общему пространству расслоения, называемого горизонтальным пространством . Сечение s будет горизонтальным (т. Е. Параллельным) в направлении X, если оно лежит в горизонтальном пространстве. Здесь мы рассматриваем s как функцию от базы M до расслоения E , так что тогда это прямая передача касательных векторов. Горизонтальные пространства вместе образуют векторное расслоение . ${\ displaystyle \ nabla _ {X} s = 0}$${\ displaystyle {\ rm {d}} s (X)}$${\ Displaystyle s \ двоеточие от M \ до E}$${\ displaystyle {\ rm {d}} s \ двоеточие TM \ to s ^ {*} TE}$${\ displaystyle TE}$

Это дает непосредственное преимущество, поскольку его можно определить на гораздо более широком классе структур, чем простые векторные связки. В частности, он корректно определен на общем расслоении . Более того, многие особенности ковариантной производной все еще сохраняются: параллельный перенос, кривизна и голономия .

Недостаток связи, помимо линейности, - ковариация . В случае классических ковариантных производных ковариация является апостериорной характеристикой производной. При их построении указывается закон преобразования символов Кристоффеля,  который не является ковариантным, и в результате следует общая ковариантность производной . Для связности Эресмана можно с самого начала наложить обобщенный принцип ковариантности, введя группу Ли, действующую на слоях расслоения. Подходящим условием является требование, чтобы горизонтальные пространства были в определенном смысле эквивариантными относительно действия группы.

Последний штрих к соединению Ehresmann заключается в том, что его можно представить как дифференциальную форму , во многом так же, как и в случае формы соединения . Если группа действует на слоях и связь эквивариантна, то форма также будет эквивариантной. Кроме того, форма соединения позволяет определять кривизну как форму кривизны .

Формальное определение

Связность Эресмана - это выбор горизонтального подпространства для каждого , где - некоторое расслоение, обычно главное расслоение .${\ displaystyle H_ {p} \ subset T_ {p} P}$${\ displaystyle p \ in P}$${\ displaystyle P}$

Позвольте быть гладким расслоением слоев . Позволять ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие от E \ до M}$

${\ Displaystyle V = \ ker (\ OperatorName {d} \ pi \ двоеточие TE \ to TM)}$

- вертикальное расслоение, состоящее из векторов, «касательных к слоям» E , т. е. слой V at есть . Это подрасслоение канонический определяются даже тогда , когда нет никакой канонического подпространства касательной к базисному пространству М . (Конечно, эта асимметрия происходит от самого определения пучка волокон, который «имеет только одну проекцию», в то время как продукт будет иметь две.) ${\ displaystyle e \ in E}$${\ displaystyle V_ {e} = T_ {e} (E _ {\ pi (e)})}$${\ displaystyle TE}$${\ displaystyle \ pi \ двоеточие от E \ до M}$${\ displaystyle E = M \ times F}$

Определение через горизонтальные подпространства

Соединение Эресмана на Й является гладким подрасслоением Н из , называется горизонтальное расслоением соединения, который является дополнением к V , в том смысле , что оно определяет прямую сумму разложение ( Коларжи, Michor & СЛОВАЦКИЕ 1993 ). Более подробно, горизонтальный пучок имеет следующие свойства. ${\ displaystyle TE}$${\ displaystyle TE = H \ oplus V}$

• Для каждой точки , является векторное подпространство касательного пространства к Е при е , называется горизонтальным подпространством в связи с этим при е .${\ displaystyle e \ in E}$${\ displaystyle H_ {e}}$${\ displaystyle T_ {e} E}$
• ${\ displaystyle H_ {e}}$плавно зависит от e .
• Для каждого , .${\ displaystyle e \ in E}$${\ displaystyle H_ {e} \ cap V_ {e} = \ {0 \}}$
• Любой касательный вектор в T _e E (для любого e ∈ E ) является суммой горизонтальной и вертикальной составляющих, так что T _e E = H _e + V _e .

В более сложных условиях, например назначение горизонтальных пространств , удовлетворяющих эти свойства в точности соответствует гладкой части струи пучок J ¹ Е → Е .

Определение через форму подключения

Равнозначно, пусть v - проекция на вертикальное расслоение V вдоль H (так что H = ker v ). Это определяется приведенным выше разложением TE на прямую сумму на горизонтальную и вертикальную части и иногда называется формой связи для связи Эресмана. Таким образом, v - гомоморфизм векторного расслоения из TE в себя со следующими свойствами (проекций в целом):

• v ² = v ;
• v - это тождество на V = Image (v) .

И наоборот, если v является векторным расслоением эндоморфизма из TE , удовлетворяющее этим двух свойств, то Н = кек V представляет собой горизонтальное подрасслоение связности Эресмана.

Наконец, обратите внимание , что v , будучи линейное отображение каждого касательного пространства в себя, может также рассматриваться как TE - значной 1-форма на E . Это будет полезно в следующих разделах.

Параллельная транспортировка с помощью горизонтальных подъемников

Связность Эресмана также предписывает способ подъема кривых с базового многообразия M в общее пространство расслоения E так, чтобы касательные к кривой были горизонтальными. Эти горизонтальные подъемники являются прямым аналогом параллельного транспорта для других вариантов формализма связи.

В частности, предположим, что γ ( t ) - гладкая кривая в M, проходящая через точку x  =  γ (0). Пусть e  ∈  E _x - точка слоя над x . Подъем из гаммы через й представляет собой кривой в общем пространстве Е таких , что ${\ Displaystyle {\ тильда {\ gamma}} (т)}$

${\ Displaystyle {\ тильда {\ gamma}} (0) = е}$, а также ${\ displaystyle \ pi ({\ тильда {\ gamma}} (t)) = \ gamma (t).}$

Лифт считается горизонтальным, если, кроме того, каждая касательная к кривой лежит в горизонтальном подрасслоении TE :

${\ displaystyle {\ tilde {\ gamma}} '(t) \ in H _ {{\ tilde {\ gamma}} (t)}.}$

С помощью теоремы о ранге-нуле, примененной к π и v , можно показать, что каждый вектор X ∈ T _x M имеет уникальный горизонтальный подъем к вектору . В частности, касательное поле гаммы генерирует горизонтальное векторное поле в общем пространстве индуцированного расслоения γ * E . По теореме Пикара – Линделёфа это векторное поле интегрируемо . Таким образом, для любых кривых гамма и точка е над й  =  γ (0), существует уникальный горизонтальный подъем из гаммы через е для малого времени т . ${\ displaystyle {\ tilde {X}} \ in T_ {e} E}$

Обратите внимание, что для обычных соединений Ehresmann горизонтальный подъем зависит от пути. Когда две гладкие кривые в M , совпадающие в точке γ ₁ (0) =  γ ₂ (0) =  x _0, а также пересекающиеся в другой точке x ₁  ∈  M , поднимаются горизонтально на E через ту же точку e  ∈  π ⁻¹ ( x ₀ ), они обычно проходят через разные точки π ⁻¹ ( x ₁ ). Это имеет важные последствия для дифференциальной геометрии расслоений: пространство сечений H не является подалгеброй Ли пространства векторных полей на E , поскольку оно (в общем случае) не замкнуто относительно скобок Ли векторных полей . Это нарушение закрытия под скобкой Ли измеряется кривизной .

Характеристики

Кривизна

Пусть v - связность Эресмана. Тогда кривизна v определяется выражением

${\ Displaystyle R = {\ tfrac {1} {2}} [v, v]}$

где [-, -] обозначает скобку Фрелихера-Нийенхейса для v ∈ Ω ¹ ( E , TE ) с самим собой. Таким образом, R ∈ Ω ² ( E , TE ) - это двойная форма на E со значениями в TE, определенными равенством

${\ Displaystyle R (X, Y) = v \ left ([(\ mathrm {id} -v) X, (\ mathrm {id} -v) Y] \ right)}$,

или, другими словами,

${\ Displaystyle R \ left (X, Y \ right) = \ left [X_ {H}, Y_ {H} \ right] _ {V}}$,

где X = X _H + X _V обозначает разложение прямой суммы на H и V компоненты соответственно. Из этого последнего выражения для кривизны видно, что оно обращается в нуль тождественно тогда и только тогда, когда горизонтальное подрасслоение интегрируемо по Фробениусу . Таким образом, кривизна есть условие интегрируемости для горизонтального подрасслоения с получением поперечных сечений волокна расслоения E → M .

Кривизна связности Эресмана также удовлетворяет версии тождества Бианки :

${\ Displaystyle \ влево [v, R \ вправо] = 0}$

где снова [-, -] - скобка Фрелихера-Нийенхейса для v ∈ Ω ¹ ( E , TE ) и R ∈ Ω ² ( E , TE ).

Полнота

Соединение Ehresmann позволяет локально иметь уникальные горизонтальные подъемы кривых . Для полной связности Эресмана кривая может быть поднята горизонтально по всей ее области.

Голономия

Плоскостность связности локально соответствует интегрируемости по Фробениусу горизонтальных пространств. С другой стороны, отличная от нуля кривизна подразумевает наличие голономии связности.

Особые случаи

Основные связки и основные связи

Форму связности главного расслоения можно рассматривать как оператор проекции на касательное расслоение к главному расслоению . Ядро формы связности задается горизонтальными подпространствами соответствующей связности Эресмана.${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle TP}$${\ displaystyle P}$

Предположим , что E является гладким главным G расслоением над M . Тогда связность Эресмана H на E называется главной (эресмановой) связностью, если она инвариантна относительно действия G на E в том смысле, что

${\ displaystyle H_ {например} = \ mathrm {d} (R_ {g}) _ {e} (H_ {e})}$для любых e ∈ E и g ∈ G ; здесь обозначает дифференциал правильного действия в г на Е при е .${\ Displaystyle \ mathrm {d} (R_ {g}) _ {e}}$

Однопараметрические подгруппы группы G действуют на E вертикально . Дифференциал этого действия позволяет отождествить подпространство с алгеброй Ли g группы G , скажем, по отображению . Форму связности v связности Эресмана можно затем рассматривать как 1-форму ω на E со значениями в g, определяемыми формулой ω ( X ) = ι ( v ( X )). ${\ displaystyle V_ {e}}$${\ displaystyle \ iota \ двоеточие V_ {e} \ to {\ mathfrak {g}}}$

Переосмысленная таким образом форма связи ω удовлетворяет следующим двум свойствам:

• Он преобразуется эквивариантно под действием G : для всех h ∈ G , где R _h ^* - обратный образ при правом действии, а Ad - присоединенное представление группы G на ее алгебре Ли.${\ displaystyle R_ {h} ^ {*} \ omega = {\ hbox {Ad}} (h ^ {- 1}) \ omega}$
• Он отображает вертикальные векторные поля для связанных с ними элементов алгебры Ли: ω ( X ) = ι ( X ) для всех X ∈ V .

Наоборот, можно показать, что такая g -значная 1-форма на главном расслоении порождает горизонтальное распределение, удовлетворяющее вышеупомянутым свойствам.

Учитывая локальную тривиализацию, можно свести ω к горизонтальным векторным полям (в этой тривиализации). Он определяет 1-форму ω ' на B через откат . Форма со ' полностью определяет со , но зависит от выбора тривиализации. (Эта форма часто также называется формой соединения и обозначается просто ω .)

Векторные расслоения и ковариантные производные

Предположим , что E является гладким векторным расслоением над M . Затем соединение Эресмана Н на Е называется быть подключение к линейным (Эресмана) , если Н _е линейно зависит от е ∈ Е _х для каждого х ∈ M . Для того, чтобы сделать это точно, пусть S _λ обозначает скалярное умножение на Л на Е . Тогда H линейно тогда и только тогда, когда для любого e ∈ E и скаляра λ. ${\ displaystyle H _ {\ lambda e} = \ mathrm {d} (S _ {\ lambda}) _ {e} (H_ {e})}$

Так как Е является векторным расслоением, его вертикальное расслоение V изоморфна тг * Е . Поэтому , если s является сечением Е , то v (д ы ): ТМ → сек * V = s * π * Е = Е . Это морфизм векторного расслоения, поэтому он задается сечением ∇ s векторного расслоения Hom ( TM , E ). Тот факт, что связность Эресмана является линейной, означает, что, кроме того, она проверяется для каждой функции по правилу Лейбница, т. Е. И , следовательно, является ковариантной производной от s . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ nabla (fs) = f \ nabla (s) + d (f) \ otimes s}$

Наоборот, ковариантная производная ∇ на векторном расслоении определяет линейную связность Эресмана, определяя H _e для e ∈ E с x = π ( e ) как образ d s _x ( T _x M ), где s - часть E с ы ( х ) = е и ∇ _Х с = 0 для всех X ∈ T _х M .

Обратите внимание, что (по историческим причинам) термин линейный, когда он применяется к соединениям, иногда используется (например, слово аффинное  - см. Аффинное соединение ) для обозначения соединений, определенных на касательном связке или связке фреймов .

Связанные пакеты

Связность Эресмана на расслоении (наделенном структурной группой) иногда порождает связность Эресмана на ассоциированном расслоении . Например, (линейное) соединение в векторе пучок Е , подумал о давая параллельность E , как описано выше, индуцирует соединение на ассоциированном расслоении кадров Р Е из Е . Наоборот, связность в P E порождает (линейную) связность в E при условии, что связность в P E эквивариантна относительно действия общей линейной группы на шкалах (и, таким образом, главной связи ). Это не всегда возможно для соединения Эресмана индуцировать, естественным образом, соединение на соответствующей пачке. Например, неэквивариантная связность Эресмана на пучке реперов векторного расслоения может не индуцировать связность на векторном расслоении.

Предположим , что E является ассоциированным расслоением Р , так что E = P × _G F . G -связность на Е представляет собой соединение Эресмана таким образом, что параллельный перенос отображение τ: Р _х → Р _{х '} задаются G -преобразованием волокон (по достаточно соседние точки х и х ' в М соединить кривой) .

Учитывая главную связность на P , мы получаем G -связь на ассоциированном пучке волокон E = P × _G F через обратный вызов .

С другой стороны , учитывая G -связность на Е можно восстановить основную связь на соответствующем главном расслоении P . Для того, чтобы восстановить эту основную связь, вводится понятие кадра на типичном волокна F . Поскольку G - конечномерная группа Ли, эффективно действующая на F , должна существовать конечная конфигурация точек ( y ₁ , ..., y _m ) внутри F такая, что G -орбита R = {( gy ₁ , .. ., г _м ) | г ∈ G } является главным однородным пространством G . Можно думать о R , как дать обобщение понятия рамки для G -действия на F . Следует отметить , что, поскольку R является главным однородным пространством для G , расслоение E ( R ) , связанное с Е с типичными волокнами R представляет (эквивалент) главный пучок , связанный с Е . Но это также подрасслоение связки m -кратных произведений E с самим собой. Распределение горизонтальных пространств на E индуцирует распределение пространств на этом расслоении продуктов. Поскольку параллельные транспортные карты, связанные со связью, являются G -картами, они сохраняют подпространство E ( R ), и поэтому G -связь спускается до главной G -связи на E ( R ).

Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие (с точностью до эквивалентности) между спусками основных соединений к ассоциированным пучкам волокон и G- соединениями на связанных пучках волокон. По этой причине в категории расслоений со структурной группой G главное соединение содержит всю релевантную информацию для G -связей на ассоциированных пучках. Следовательно, если нет основной причины рассматривать соединения в связанных пакетах (как, например, в случае соединений Картана ), обычно работают напрямую с основным соединением.

Примечания

использованная литература

• Эресманн, Чарльз (1950), Les Connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable , Colloque de Topologie, Брюссель, стр. 29–55
• Элиасон, Х. (1967), "Геометрия многообразий отображений", Журнал дифференциальной геометрии , 1 : 169–194
• Кобаяси, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 1 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 |volume=имеет дополнительный текст ( справка )
• Кобаяси, Шошичи ; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , т. 2 (Новое издание), Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-15732-8 |volume=имеет дополнительный текст ( справка )
• Коларж, Иван; Мичор, Питер; Словак, Ян (1993), Естественные операторы в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , извлечено 25 апреля 2007 г.
• Ланг, Серж (1999), Основы дифференциальной геометрии , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98593-X
• Лумисте, Юло (2001) [1994], "Соединение на пучке волокон" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Лумисте, Юло (2001) [1994], "Связности на многообразии" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Риб, Жорж (1952), Sur definedes propriétés topologiques des varétés feuilletées , Париж: Герман

дальнейшее чтение

• Рауль Ботт (1970) "Топологическое препятствие к интегрируемости", Proc. Symp. Чистая математика. , 16 амер. Математика. Soc., Providence, RI.