Связанный пакет - Associated bundle

В математике , теории пучков волокон с структурной группой (а топологическая группа ) позволяет операцию создания ассоциированного расслоения , в котором типичный слой из пучка изменяется от до , которые являются оба топологическими пространствами с действием группы из . Для расслоения F со структурной группой G функции перехода слоя (т. Е. Коцикла ) в перекрытии двух систем координат U _α и U _β задаются как G -значная функция g _αβ на U _α ∩ U _β . Затем можно построить пучок волокон F 'как новый пучок волокон, имеющий те же функции перехода, но, возможно, другое волокно. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle F_ {1}}$ ${\ displaystyle F_ {2}}$ ${\ displaystyle G}$

Пример

Простой случай поставляется с Мёбиусом , для которого является циклической группой порядка 2, . Мы можем принять любое из: прямую действительного числа , интервал , прямую действительного числа без точки 0 или двухточечный набор . Действие на них (неидентификационный элемент, действующий как в каждом случае) сравнимо в интуитивном смысле. Мы могли бы сказать , что более формально в терминах склеивания двух прямоугольников и вместе: то , что нам действительно нужно, данные для идентификации себе непосредственно на одном конце , и с изюминкой над на другом конце . Эти данные могут быть записаны в виде заплаток на функции со значениями в G . Ассоциированное расслоение строительство только наблюдение , что эти данные действительно так же , как хорошо , как для . ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle [-1, \ 1]}$ ${\ Displaystyle \ {- 1, \ 1 \}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle х \ \ rightarrow \ -x}$ ${\ Displaystyle [-1, \ 1] \ раз I}$ ${\ Displaystyle [-1, \ 1] \ раз J}$ ${\ displaystyle [-1, \ 1]}$ ${\ Displaystyle \ {- 1, \ 1 \}}$ ${\ displaystyle [-1, \ 1]}$

Строительство

В общем случае достаточно объяснить переход от расслоения со слоем , на котором действует, к ассоциированному главному расслоению (а именно расслоению, в котором находится слой , который считается действующим путем трансляции на себя). Ибо тогда мы можем перейти от к через основной пакет. Подробности в плане данных для открытого покрытия приведены для случая спуска . ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle F_ {1}}$ ${\ displaystyle F_ {2}}$

Этот раздел организован следующим образом. Сначала мы вводим общую процедуру создания ассоциированного пучка с указанным волокном из данного пучка волокон. Затем это специализируется на случае, когда указанный слой является главным однородным пространством для левого действия группы на самом себе, что дает ассоциированное главное расслоение. Если, кроме того, на слое главного расслоения задано правое действие, мы опишем, как построить любое ассоциированное расслоение с помощью конструкции расслоения .

Связанные пакеты в целом

Пусть π: E → X является расслоением над топологическим пространством X со структурной группой G и типичным слоем F . По определению на слое F существует левое действие группы G (как группы преобразований ) . Предположим, кроме того, что это действие эффективно . Существует локальная тривиализация расслоения E, состоящего из открытого покрытия U _i пространства X и набора расслоенных отображений

φ _i : π ⁻¹ ( U _i ) → U _i × F

таким образом, что карты переходов задаются элементами G . Точнее, существуют непрерывные функции g _ij : ( U _i ∩ U _j ) → G такие, что

ψ _IJ ( U , F ): = φ _я о φ _J^-1 ( U , F ) = ( у , г _IJ ( у ) е ) для каждого ( ¯u , F ) ∈ ( U _я ∩ U _J ) × F .

Пусть теперь F 'быть определен топологическим пространством, оборудованное с непрерывным левым действием G . Тогда расслоение, ассоциированное с E со слоем F ′, является расслоением E ′ с локальной тривиализацией, подчиненной покрытию U _i , функции перехода которого задаются формулами

ψ ′ _ij ( u , f ′) = ( u , g _ij ( u ) f ′) для ( u , f ′) ∈ ( U _i ∩ U _j ) × F ′

где G -значной функции г _IJ ( у ) такое же , как те , полученных из локальной банализации исходного пучка Е .

В этом определении явно соблюдается условие коцикла для функций перехода, поскольку в каждом случае они задаются одной и той же системой G -значных функций. (Используя другую локальную тривиализацию и переходя к общему уточнению, если необходимо, преобразование g _ij через ту же кограницу.) Следовательно, по теореме построения расслоений , это дает расслоение E ′ со слоем F ′, как заявлено.

Главный пучок, связанный с пучком волокон

Как и раньше, предположим , что Е является расслоением со структурной группой G . В частном случае, когда G имеет свободное и транзитивное левое действие на F ′, так что F ′ является главным однородным пространством для левого действия G на самом себе, тогда ассоциированное расслоение E ′ называется главным G- расслоением, ассоциированным с расслоение Е . Если, кроме того, новый слой F ′ отождествлен с G (так что F ′ наследует правое действие G, а также левое действие), то правое действие G на F ′ индуцирует правое действие G на E ′ . При таком выборе отождествления E 'становится главным расслоением в обычном смысле. Обратите внимание, что, хотя не существует канонического способа указать правое действие на главном однородном пространстве для G , любые два таких действия дадут главные расслоения, которые имеют одно и то же базовое расслоение со структурной группой G (так как это происходит из левого действия группы G). G ) и изоморфны как G -пространства в том смысле, что существует G -эквивариантный изоморфизм расслоений, связывающий их.

Таким образом, основное G- расслоение, снабженное правильным действием, часто рассматривается как часть данных, определяющих расслоение волокон со структурной группой G , поскольку для расслоения волокон можно построить главное расслоение с помощью соответствующей конструкции связки. Затем, как в следующем разделе, можно пойти другим путем и получить любой пучок волокон, используя продукт волокна.

Жгут волокон, связанный с основным жгутом

Пусть π: P → X - главное G- расслоение и ρ: G → Homeo ( F ) - непрерывное левое действие группы G на пространстве F (в гладкой категории мы должны иметь гладкое действие на гладком многообразии) . Не умаляя общности, мы можем предпринять это действие, чтобы оно было эффективным.

Определим правое действие G на P × F с помощью

{\ displaystyle (p, f) \ cdot g = (p \ cdot g, \ rho (g ^ {- 1}) f) \ ,.}

Затем определить с помощью этого действия , чтобы получить пространство E = P × _ρ F = ( P × F ) / G . Обозначим класс эквивалентности ( p , f ) через [ p , f ]. Обратите внимание, что

{\ Displaystyle [п \ cdot g, f] = [p, \ rho (g) f] {\ mbox {для всех}} g \ in G.}

Определим отображение проекции π _ρ : E → X как π _ρ ([ p , f ]) = π ( p ). Обратите внимание, что это четко определено .

Тогда л _р : Е → X является расслоением со слоем F и структурной группой G . Функции перехода задаются ρ ( т _IJ ) , где т _IJ являются функции перехода главного расслоения P .

Сокращение структурной группы

Концепция спутника связанных пучков является уменьшением структурной группы из более -расслоения . Мы спрашиваем, существует ли -бандл , такой, что связанный -бандл есть , с точностью до изоморфизма . Более конкретно, это спрашивает, могут ли данные перехода для последовательно записываться со значениями в . Другими словами, мы просим идентифицировать изображение связанного отображения связки (которое на самом деле является функтором ). ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle H}$

Примеры редукции

Примеры векторных расслоений включают: введение метрики, приводящей к сокращению структурной группы от общей линейной группы GL ( n ) до ортогональной группы O ( n ); и существование комплексной структуры на вещественном расслоении, приводящей к редукции структурной группы от действительной общей линейной группы GL (2 n , R ) до комплексной полной линейной группы GL ( n , C ).

Другой важный случай - нахождение разложения векторного расслоения V ранга n в виде суммы Уитни (прямой суммы) подрасслоений ранга k и nk , в результате чего структурная группа сокращается с GL ( n , R ) до GL ( k , R ) × GL ( nk , R ).

Можно также выразить условие для определения слоения как редукции касательного расслоения к подгруппе блочных матриц - но здесь редукция является только необходимым условием, поскольку существует условие интегрируемости, так что применима теорема Фробениуса .

Смотрите также

Набор спиноров

Книги

Стинрод, Норман (1951). Топология пучков волокон . Принстон: Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-00548-6 .
Хусемоллер, Дейл (1994). Пучки волокна (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-94087-8 .
Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: Обобщение Картана программы Эрлангена Клейна . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0-387-94732-9 .

Languages

In other projects