Теорема ранга – недействительности - Rank–nullity theorem

Ранга недействительность теорема является теоремой линейной алгебры , которая утверждает , что размерность в области о наличии линейной карты является суммой его ранга (размерность его образа ) и его недействительности (размерность его ядра ).

Формулировка теоремы

Позвольте , быть векторными пространствами, где конечномерно. Позвольте быть линейным преобразованием. потом ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle T \ двоеточие V \ to W}$

${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (T) + \ operatorname {Nullity} (T) = \ dim V,}$

куда

${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (T): = \ dim (\ operatorname {Image} (T))}$ а также ${\ displaystyle \ operatorname {Nullity} (T): = \ dim (\ operatorname {Ker} (T)).}$

Эту теорему можно уточнить с помощью леммы о расщеплении, чтобы она была утверждением об изоморфизме пространств, а не только размерностей. Явно, поскольку T индуцирует изоморфизм от до , существование базиса для V , расширяющего любой заданный базис в, влечет, с помощью леммы о расщеплении, что . Принимая размерности, немедленно следует теорема ранга – недействительности. ${\ displaystyle V / \ operatorname {Ker} (T)}$${\ displaystyle \ operatorname {Изображение} (T)}$${\ displaystyle \ operatorname {Ker} (T)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {Изображение} (T) \ oplus \ OperatorName {Ker} (T) \ cong V}$

Матрицы

Так , матрицы сразу приходят на ум при обсуждении линейных отображений. В случае матрицы размер области равен количеству столбцов в матрице. Таким образом, теорема о ранге-недействительности для данной матрицы немедленно принимает вид ${\ displaystyle \ operatorname {Mat} _ {m \ times n} (\ mathbb {F}) \ cong \ operatorname {Hom} (\ mathbb {F} ^ {n}, \ mathbb {F} ^ {m}) }$${\ Displaystyle м \ раз п}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle M \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times n} (\ mathbb {F})}$

${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (M) + \ operatorname {Nullity} (M) = n.}$

Доказательства

Здесь мы приводим два доказательства. Первый действует в общем случае с использованием линейных карт. Второе доказательство рассматривает однородную систему для с рангом и явно показывает, что существует набор линейно независимых решений, охватывающих ядро . ${\ Displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times n} (\ mathbb {F})}$ ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle nr}$ ${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Хотя теорема требует, чтобы область линейного отображения была конечномерной, для области области нет такого предположения. Это означает, что существуют линейные отображения, не заданные матрицами, для которых применима теорема. Несмотря на это, первое доказательство на самом деле не является более общим, чем второе: поскольку изображение линейной карты конечномерно, мы можем представить карту от области ее определения до ее изображения с помощью матрицы, доказать теорему для этой матрицы, а затем составить с включением изображения в полный кодомен.

Первое доказательство

Позвольте быть векторным пространством над некоторым полем и определено как в формулировке теоремы с . ${\ Displaystyle V, W}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$${\ displaystyle T}$${\ Displaystyle \ тусклый V = п}$

Как и подпространство , для него существует основа. Предположим и пусть ${\ displaystyle \ operatorname {Ker} T \ subset V}$${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} T = k}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}: = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k} \} \ subset \ OperatorName {Ker} (T)}$

быть такой основой.

Теперь мы можем, по обменной лемме Стейницы , простираться с линейно независимыми векторами , чтобы сформировать полную основу . ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle nk}$${\ displaystyle w_ {1}, \ ldots, w_ {nk}}$${\ displaystyle V}$

Позволять

${\ displaystyle {\ mathcal {S}}: = \ {w_ {1}, \ ldots, w_ {nk} \} \ subset V \ setminus \ operatorname {Ker} (T)}$

такой, что

${\ displaystyle {\ mathcal {B}}: = {\ mathcal {K}} \ cup {\ mathcal {S}} = \ {v_ {1}, \ ldots, v_ {k}, w_ {1}, \ ldots, w_ {nk} \} \ subset V}$

это основа для . Из этого мы знаем, что ${\ displaystyle V}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} T = \ operatorname {Span} T ({\ mathcal {B}}) = \ operatorname {Span} \ {T (v_ {1}), \ ldots, T (v_ {k} ), T (w_ {1}), \ ldots, T (w_ {nk}) \} = \ operatorname {Span} \ {T (w_ {1}), \ ldots, T (w_ {nk}) \} = \ operatorname {Span} T ({\ mathcal {S}})}$.

Теперь мы утверждаем, что это основа для . В приведенном выше равенстве уже указано, что это генераторная установка для ; осталось показать, что он также линейно независим, чтобы сделать вывод о том, что он является базисом. ${\ Displaystyle Т ({\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$${\ Displaystyle Т ({\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$

Предположим, что не является линейно независимым, и пусть ${\ Displaystyle Т ({\ mathcal {S}})}$

${\ Displaystyle \ сумма _ {j = 1} ^ {nk} \ alpha _ {j} T (w_ {j}) = 0_ {W}}$

для некоторых .${\ displaystyle \ alpha _ {j} \ in \ mathbb {F}}$

Таким образом, в силу линейности следует, что ${\ displaystyle T}$

${\ displaystyle T \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {nk} \ alpha _ {j} w_ {j} \ right) = 0_ {W} \ подразумевает \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {nk} \ alpha _ {j} w_ {j} \ right) \ in \ operatorname {Ker} T = \ operatorname {Span} {\ mathcal {K}} \ subset V.}$

Это противоречит тому, чтобы быть базисом, если все не равны нулю. Это показывает, что это линейно независимое, а точнее, что это основа для . ${\ displaystyle {\ mathcal {B}}}$${\ displaystyle \ alpha _ {j}}$${\ Displaystyle Т ({\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$

Подводя итог, у нас есть основа и основа для . ${\ Displaystyle {\ mathcal {K}}}$${\ displaystyle \ operatorname {Ker} T}$${\ Displaystyle Т ({\ mathcal {S}})}$${\ displaystyle \ operatorname {Im} T}$

Наконец, мы можем констатировать, что

${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (T) + \ operatorname {Nullity} (T) = \ dim \ operatorname {Im} T + \ dim \ operatorname {Ker} T = | T ({\ mathcal {S}}) | + | {\ mathcal {K}} | = (nk) + k = n = \ dim V.}$

Это завершает наше доказательство.

Второе доказательство

Пусть с линейно независимыми столбцами (т.е. ). Мы покажем, что: ${\ displaystyle \ mathbf {A} \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times n} (\ mathbb {F})}$${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (\ mathbf {A}) = r}$

Для этого мы создадим матрицу , столбцы которой образуют основу нулевого пространства . ${\ Displaystyle \ mathbf {X} \ in \ operatorname {Mat} _ {п \ раз (nr)} (\ mathbb {F})}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

Без ограничения общности предположим, что первые столбцы линейно независимы. Итак, мы можем написать ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & \ mathbf {A} _ {2} \ end {pmatrix}},}$

куда

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1} \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times r} (\ mathbb {F})}$с линейно независимыми векторами-столбцами, и${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {2} \ in \ operatorname {Mat} _ {m \ times (nr)} (\ mathbb {F})}$, каждый из столбцов которого является линейной комбинацией столбцов .${\ displaystyle nr}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1}}$

Это означает, что для некоторых (см. Факторизацию рангов ) и, следовательно, ${\ Displaystyle \ mathbf {A} _ {2} = \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B}}$${\ displaystyle \ mathbf {B} \ in \ operatorname {Mat} _ {r \ times (nr)}}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} \ end {pmatrix}}.}$

Позволять

${\ displaystyle \ mathbf {X} = {\ begin {pmatrix} - \ mathbf {B} \\\ mathbf {I} _ {nr} \ end {pmatrix}},}$

где - единичная матрица . Отметим, что удовлетворяет ${\ displaystyle \ mathbf {I} _ {nr}}$${\ Displaystyle (nr) \ раз (nr)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {X} \ in \ operatorname {Mat} _ {п \ раз (nr)} (\ mathbb {F})}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ mathbf {X} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} - \ mathbf {B} \\\ mathbf {I} _ {nr} \ end {pmatrix}} = - \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} + \ mathbf {A } _ {1} \ mathbf {B} = \ mathbf {0} _ {m \ times (nr)}.}$

Следовательно, каждый из столбцов представляет собой частные решения . ${\ displaystyle nr}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {m}}}$

Кроме того, столбцы являются линейно независимыми , так как будет означать для : ${\ displaystyle nr}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {Xu} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {n}}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {nr}}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} \ in \ mathbb {F} ^ {nr}}$

${\ displaystyle \ mathbf {X} \ mathbf {u} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {n}} \ подразумевает {\ begin {pmatrix} - \ mathbf {B} \\\ mathbf { I} _ {nr} \ end {pmatrix}} \ mathbf {u} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {n}} \ подразумевает {\ begin {pmatrix} - \ mathbf {B} \ mathbf {u} \\\ mathbf {u} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {r}} \\\ mathbf {0} _ { \ mathbb {F} ^ {nr}} \ end {pmatrix}} \ подразумевает \ mathbf {u} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {nr}}.}$

Следовательно, векторы-столбцы образуют набор линейно независимых решений для . ${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle nr}$${\ displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {m}}}$

Далее мы докажем, что любое решение должно быть линейной комбинацией столбцов . ${\ displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {m}}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$

Для этого пусть

${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {u} _ {1} \\\ mathbf {u} _ {2} \ end {pmatrix}} \ in \ mathbb {F} ^ { n}}$

- любой вектор такой, что . Обратите внимание, что, поскольку столбцы линейно независимы, влечет . ${\ displaystyle \ mathbf {Au} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {m}}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {x} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {m}}}$${\ displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {r}}}$

Следовательно,

${\ displaystyle {\ begin {array} {rcl} \ mathbf {A} \ mathbf {u} & = & \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {m}} \\\ подразумевает {\ begin { pmatrix} \ mathbf {A} _ {1} & \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ mathbf {u} _ {1} \\\ mathbf {u} _ {2} \ end {pmatrix}} & = & \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {u} _ {1} + \ mathbf {A} _ {1} \ mathbf {B} \ mathbf {u} _ {2} & = & \ mathbf {A} _ {1} (\ mathbf {u} _ {1} + \ mathbf {B} \ mathbf {u} _ {2}) & = & \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {m}} \\\ подразумевает \ mathbf {u} _ {1} + \ mathbf {B} \ mathbf {u} _ {2} & = & \ mathbf {0} _ {\ mathbb {F} ^ {r}} \\\ подразумевает \ mathbf {u} _ {1} & = & - \ mathbf {B} \ mathbf {u} _ {2} \ end {массив }}}$

${\ Displaystyle \ подразумевает \ mathbf {u} = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {u} _ {1} \\\ mathbf {u} _ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} - \ mathbf {B} \\\ mathbf {I} _ {nr} \ end {pmatrix}} \ mathbf {u} _ {2} = \ mathbf {X} \ mathbf {u} _ {2}.}$

Это доказывает, что любой вектор, который является решением, должен быть линейной комбинацией специальных решений, заданных столбцами . И мы уже видели, что столбцы линейно независимы. Таким образом, столбцы образуют базис для нулевого пространства в . Таким образом, недействительность из вне . Так как ранг равен , отсюда следует, что . Это завершает наше доказательство. ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Ax} = \ mathbf {0}}$${\ displaystyle nr}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {X}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle nr}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbf {A}}$${\ displaystyle \ operatorname {Rank} (\ mathbf {A}) + \ operatorname {Nullity} (\ mathbf {A}) = n}$

Переформулировки и обобщения

Эта теорема является формулировкой первой теоремы об изоморфизме алгебры для случая векторных пространств; это обобщает лемму о расщеплении .

На более современном языке теорему можно также сформулировать так, что каждая короткая точная последовательность векторных пространств расщепляется. Явно, учитывая, что

${\ displaystyle 0 \ rightarrow U \ rightarrow V {\ overset {T} {\ rightarrow}} R \ rightarrow 0}$

является короткой точной последовательностью векторных пространств, то , следовательно ,${\ Displaystyle U \ oplus R \ cong V}$

${\ Displaystyle \ dim (U) + \ dim (R) = \ dim (V).}$

Здесь R играет роль im T, а U - ker T , т. Е.

${\ displaystyle 0 \ rightarrow \ ker T ~ {\ hookrightarrow} ~ V ~ {\ overset {T} {\ rightarrow}} ~ \ operatorname {im} T \ rightarrow 0}$

В конечномерном случае эта формулировка допускает обобщение: если

0 → V ₁ → V ₂ → ⋯ → V _r → 0

является точной последовательностью конечномерных векторных пространств, то

${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {r} (- 1) ^ {i} \ dim (V_ {i}) = 0.}$

Теорема ранга – нули для конечномерных векторных пространств также может быть сформулирована в терминах индекса линейного отображения. Индекс линейного отображения , где и конечномерны, определяется формулой ${\ displaystyle T \ in \ operatorname {Hom} (V, W)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle W}$

${\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim \ operatorname {Ker} (T) - \ dim \ operatorname {Coker} T.}$

Интуитивно это количество независимых решений уравнения и количество независимых ограничений, которые необходимо наложить, чтобы сделать его разрешимым. Теорема ранга – нули для конечномерных векторных пространств эквивалентна утверждению ${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Ker} T}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle Tv = 0}$${\ displaystyle \ dim \ operatorname {Coker} T}$${\ displaystyle w}$${\ displaystyle Tv = w}$

${\ displaystyle \ operatorname {index} T = \ dim V- \ dim W.}$

Мы видим, что можем легко считывать индекс линейной карты из задействованных пространств без необходимости детального анализа . Этот эффект также проявляется в гораздо более глубоком результате: теорема Атьи – Зингера об индексе утверждает, что индекс некоторых дифференциальных операторов может быть считан из геометрии задействованных пространств. ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle T}$

Цитаты

использованная литература

• Акслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделано правильно . Тексты для бакалавриата по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Банерджи, Судипто; Рой, Аниндия (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты в статистической науке (1-е изд.), Чепмен и Холл / CRC, ISBN 978-1420095388
• Фридберг, Стивен Х .; Insel, Arnold J .; Спенс, Лоуренс Э. (2014). Линейная алгебра (4-е изд.). Pearson Education . ISBN 978-0130084514.
• Мейер, Карл Д. (2000), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , SIAM , ISBN 978-0-89871-454-8.
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Валенца, Роберт Дж. (1993) [1951]. Линейная алгебра: введение в абстрактную математику . Тексты для бакалавриата по математике (3-е изд.). Springer . ISBN 3-540-94099-5.