Дифференциальная геометрия поверхностей - Differential geometry of surfaces

В математике , то дифференциальная геометрия поверхностей имеют дело с дифференциальной геометрией из гладких поверхностей с различными дополнительными структурами, Чаще всего, риманов метрика . Поверхности были тщательно изучены с различных точек зрения: внешне , в связи с их включением в евклидово пространство, и по сути , отражая их свойства, определяемые исключительно расстоянием внутри поверхности, измеренным по кривым на поверхности. Одним из фундаментальных исследованных понятий является гауссова кривизна , впервые подробно изученная Карлом Фридрихом Гауссом , который показал, что кривизна является внутренним свойством поверхности, независимо от ее изометрического вложения в евклидово пространство.

Поверхности естественно возникают как графики из функций пары переменных , а иногда появляются в параметрической форме или в виде локусов , ассоциированных с пространственными кривыми . Важная роль в исследовании сыграли группы Ли (в духе программы Эрлангена ), а именно группы симметрии в евклидовой плоскости , в сфере и гиперболической плоскость . Эти группы Ли можно использовать для описания поверхностей постоянной гауссовой кривизны; они также являются важным компонентом современного подхода к внутренней дифференциальной геометрии через соединения . С другой стороны, внешние свойства, основанные на вложении поверхности в евклидово пространство, также широко изучаются. Это хорошо иллюстрируется нелинейными уравнениями Эйлера – Лагранжа в вариационном исчислении : хотя Эйлер разработал уравнения с одной переменной для понимания геодезических , определенных независимо от вложения, одно из основных приложений Лагранжа уравнений с двумя переменными было к минимальным поверхностям , концепция, которая может быть определена только в терминах вложения.

История

Объемы некоторых поверхностей второго порядка от вращения были вычислены Архимедом . Развитие исчисления в семнадцатом веке предоставило более систематический способ их вычисления. Кривизну общих поверхностей впервые изучил Эйлер . В 1760 году он доказал формулу кривизны плоского сечения поверхности, а в 1771 году он рассмотрел поверхности, представленные в параметрической форме. Монж заложил основы их теории в своих классических мемуарах L'application de l'analyse à la géometrie, появившихся в 1795 году. Определяющий вклад в теорию поверхностей внес Гаусс в двух замечательных статьях, написанных в 1825 и 1827 годах. ознаменовал новый отход от традиции, потому что впервые Гаусс рассмотрел внутреннюю геометрию поверхности, свойства, которые определяются только геодезическими расстояниями между точками на поверхности, независимо от конкретного способа, которым поверхность расположена в окружающей евклидовой среде. Космос. Главный результат, Теорема Egregium Гаусса, установила, что гауссова кривизна является внутренним инвариантом, то есть инвариантом относительно локальных изометрий . Эта точка зрения была распространена Риманом на многомерные пространства и привела к тому, что сегодня известно как риманова геометрия . Девятнадцатый век был золотым веком теории поверхностей как с топологической, так и с дифференциально-геометрической точки зрения, и большинство ведущих геометров посвятили себя их изучению. Дарбу собрал множество результатов в своем четырехтомном трактате « Теория поверхностей» (1887–1896).

Обзор

Интуитивно довольно привычно сказать, что лист растения, поверхность стекла или форма лица имеют определенные изгибы, и что все эти формы, даже без учета каких-либо отличительных знаков, имеют определенные геометрические формы. особенности, которые отличают одно от другого. Дифференциальная геометрия поверхностей занимается математическим пониманием таких явлений. Изучение этой области, которое было начато в ее современной форме в 1700-х годах, привело к развитию многомерной и абстрактной геометрии, такой как риманова геометрия и общая теория относительности .

Существенный математический объект - это правильная поверхность. Хотя соглашения различаются по точному определению, они образуют общий класс подмножеств трехмерного евклидова пространства ( ℝ ³ ), которые частично отражают знакомое понятие «поверхность». Анализируя класс кривых, лежащих на такой поверхности, и степень, в которой поверхности заставляют их изгибаться в ℝ ³ , можно сопоставить каждой точке поверхности два числа, называемых главными кривизнами. Их среднее значение называется средней кривизной поверхности, а их произведение - гауссовой кривизной.

Есть много классических примеров регулярных поверхностей, в том числе:

• знакомые примеры, такие как плоскости, цилиндры и сферы
• минимальные поверхности , которые определяются тем свойством, что их средняя кривизна равна нулю в каждой точке. Самыми известными примерами являются катеноиды и геликоиды , хотя было обнаружено гораздо больше. Минимальные поверхности также могут быть определены свойствами, связанными с площадью поверхности , в результате чего они обеспечивают математическую модель формы мыльных пленок при растяжении через проволочный каркас.
• линейчатые поверхности , которые представляют собой поверхности, у которых есть по крайней мере одна прямая линия, проходящая через каждую точку; примеры включают цилиндр и гиперболоид одного листа.

Удивительный результат Карла Фридриха Гаусса , известный как теорема эгрегиум , показал, что гауссова кривизна поверхности, которая по своему определению связана с тем, как кривые на поверхности меняют направление в трехмерном пространстве, на самом деле может быть измерена длинами кривых, лежащих на поверхностях, вместе с углами, образованными при пересечении двух кривых на поверхности. Терминологически это означает, что гауссова кривизна может быть вычислена из первой фундаментальной формы (также называемой метрическим тензором ) поверхности. Вторая фундаментальная форма , напротив, представляет собой объект , который кодирует , как длины и углы кривых на поверхности искажены , когда кривые выталкиваются с поверхностью.

Несмотря на измерение различных аспектов длины и угла, первая и вторая фундаментальные формы не являются независимыми друг от друга и удовлетворяют определенным ограничениям, называемым уравнениями Гаусса-Кодацци . Основная теорема, часто называемая фундаментальной теоремой дифференциальной геометрии поверхностей, утверждает, что всякий раз, когда два объекта удовлетворяют ограничениям Гаусса-Кодацци, они возникают как первая и вторая фундаментальные формы регулярной поверхности.

Используя первую фундаментальную форму, можно определять новые объекты на регулярной поверхности. Геодезические - это кривые на поверхности, которые удовлетворяют определенному обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка, которое задается первой фундаментальной формой. Они очень напрямую связаны с изучением длин кривых; геодезическая достаточно короткой длины всегда будет кривой наименьшей длины на поверхности, соединяющей два ее конца. Таким образом, геодезические являются фундаментальными для задачи оптимизации определения кратчайшего пути между двумя заданными точками на регулярной поверхности.

Можно также определить параллельный перенос вдоль любой заданной кривой, что дает рецепт того, как деформировать касательный вектор к поверхности в одной точке кривой до касательных векторов во всех других точках кривой. Рецепт определяется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, которое задается первой фундаментальной формой.

По сути, все вышеперечисленные концепции относятся к многомерному исчислению. Теорема Гаусса-Бонне - более глобальный результат, который связывает гауссову кривизну поверхности с ее топологическим типом. Он утверждает, что среднее значение гауссовой кривизны полностью определяется эйлеровой характеристикой поверхности вместе с ее площадью поверхности.

Понятия риманова многообразия и римановой поверхности являются двумя обобщениями регулярных поверхностей, обсуждаемых выше. В частности, практически вся обсуждаемая здесь теория регулярных поверхностей имеет обобщение в теории римановых многообразий. Это не относится к римановым поверхностям, хотя каждая регулярная поверхность является примером римановой поверхности.

Регулярные поверхности в евклидовом пространстве

Определение

Интуитивно понятно, что сфера гладкая, а конус или пирамида из-за их вершины или ребер - нет. Понятие «регулярная поверхность» является формализацией понятия гладкой поверхности. В определении используется локальное представление поверхности через карты между евклидовыми пространствами . Для таких отображений существует стандартное понятие гладкости; отображение между двумя открытыми подмножествами евклидова пространства является гладким, если его частные производные любого порядка существуют в каждой точке области.

Ниже приведены три эквивалентных способа представления определения; середина определение является , возможно , наиболее визуально интуитивно, так как она , по существу , говорит о том , что регулярная поверхность является подмножеством ℝ ³ , локально график гладкой функции (будь то по области в уг плоскости, в хг плоскости, или ху самолет).

Объекты, используемые в определении	Регулярная поверхность в евклидовом пространстве ℝ 3 представляет собой подмножество S из ℝ 3 таким образом, что каждая точка S имеет ...
Локальные параметризации	... открытая окрестность U ⊂ S , для которого существует открытое подмножество V из ℝ 2 и гомеоморфизм F  : V → U таким образом, что е , как функция V → ℝ 3 , является бесконечно дифференцируемой (т.е. гладкой) для каждой точки V , две частных производных ∂ U F и ∂ v F является линейно независимым в качестве элементов ℝ 3 .
Патчи Monge	... открытая окрестность U ⊂ ℝ 3 , для которого существует открытое подмножество V из ℝ 2 и гладкой функцией ч  : V → ℝ таким образом, что имеет место одно из следующих действий : S ∩  U = {( h ( u , v ), u , v ): ( u , v ) ∈ V } S ∩  U = {( u , h ( u , v ), v ): ( u , v ) ∈ V } S ∩  U = {( u , v , h ( u , v )): ( u , v ) ∈ V }.
Неявные функции	... открытая окрестность U ⊂ ℝ 3, для которой существует гладкая функция F  : U → ℝ такая, что : S ∩  U = {( x , y , z ) ∈ U  : F ( x , y , z ) = 0 } в каждой точке S ∩  U хотя бы одна частная производная F отлична от нуля.

Гомеоморфизмы , фигурирующие в первом определении, известны как местные параметризации или локальные системы координат и локальные карты на S . Эквивалентность первых двух определений утверждает, что вокруг любой точки на регулярной поверхности всегда существуют локальные параметризации вида ( u , v ) ↦ ( h ( u , v ), u , v ) , ( u , v ) ↦ ( u , h ( u , v ), v ) или ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) , известные как патчи Монжа. Функции F, как в третьем определении, называются локальными определяющими функциями . Эквивалентность всех трех определений следует из теоремы о неявной функции .

Для любых двух локальных параметризаций f  : V → U и f ′: V ′ → U ′ регулярной поверхности композиция f ⁻¹ ∘ f ′ обязательно гладкая как отображение между открытыми подмножествами ℝ ² . Это показывает, что любая регулярная поверхность естественным образом имеет структуру гладкого многообразия , причем гладкий атлас задается обратными локальными параметризациями.

В классической теории дифференциальной геометрии поверхности обычно изучаются только в регулярном случае. Однако также распространено изучение нерегулярных поверхностей, в которых две частные производные ∂ _u f и ∂ _v f локальной параметризации могут не быть линейно независимыми . В этом случае S может иметь особенности, такие как ребра возврата . Такие поверхности обычно изучаются в теории особенностей . Другие ослабленные формы регулярных поверхностей возникают при компьютерном проектировании , когда поверхность разбивается на непересекающиеся части, при этом производные локальной параметризации не могут быть даже непрерывными по границам.

Простые примеры. Простым примером регулярной поверхности является 2-сфера {( x , y , z ) | х ² + у ² + z ² = 1 }; эта поверхность может быть покрыта шестью пятнами Монжа (по два каждого из трех типов, указанных выше), принимая h ( u , v ) = ± (1 - u ² - v ² ) ^1/2 . Он также может быть покрыт двумя локальными параметризациями с использованием стереографической проекции . Множество {( х , у , г ): (( х ² + у ² ) ^1/2 - г ) ² + г ² = R ² } является тор вращения с радиусами г и R . Это обычная поверхность; локальные параметризации можно представить в виде

${\ Displaystyle е (s, t) = {\ big (} (R \ cos s + r) \ cos t, (R \ cos s + r) \ sin t, R \ sin s {\ big)}.}$

Гиперболоид на двух листах {( х , у , г ): г ² = 1 + х ² + у ² } является регулярной поверхностью; он может быть покрыт двумя пятнами Монжа с h ( u , v ) = ± (1 + u ² + v ² ) ^1/2 . Геликоида появляется в теории минимальных поверхностей . Он покрывается единственной локальной параметризацией, f ( u , v ) = ( u sin v , u cos v , v ) .

Касательные векторы и нормальные векторы

Пусть S регулярная поверхность в ℝ ³ , и пусть р элемент из S . Использование любого из приведенных выше определений, можно выделить определенные векторы в ℝ ³ , как являющаяся касательная к S в р и некоторые векторы в ℝ ³ , как быть ортогональна S на р .

Объекты, используемые в определении	Вектор X в ℝ 3 касается S в точке p, если ...	Вектор п в ℝ 3 нормально S на р , если ...
Локальные параметризации	... для любой локальной параметризации f  : V → S с p ∈ f ( V ) , X является линейной комбинацией и${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} {\ big |} _ {f ^ {- 1} (p)}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} {\ big |} _ {f ^ {- 1} (p)}}$	... он ортогонален каждому касательному вектору к S в точке p
Патчи Monge	... для любого патча Монжа ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) , диапазон которого включает p , один имеет ${\ displaystyle X ^ {1} {\ frac {\ partial h} {\ partial u}} + X ^ {2} {\ frac {\ partial h} {\ partial v}} - X ^ {3} = 0 ,}$ с частными производными, вычисленными в точке ( p 1 , p 2 ) . Аналогичное определение применимо к заплатам Монжа двух других форм.	... для любого патча Монжа ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) , диапазон которого включает p , n кратно ( ∂ h/∂ u, ∂ h/∂ v, −1) по оценке в точке ( p 1 , p 2 ) . Аналогичное определение применимо к заплатам Монжа двух других форм.
Неявные функции	... для любой локальной определяющей функции F , область определения которой содержит p , X ортогонален ∇ F ( p )	... для любой локальной определяющей функции F , область определения которой содержит p , n делится на ∇ F ( p )

Видно , что касательное пространство или касательная плоскость к S в р , которая определяется состоять из всех касательных векторов к S в р , является двумерный линейным подпространством ℝ ³ ; он часто обозначается через Т _р S . Нормальное пространство к S в р , которая определяется состоять из всех векторов нормали к S в р , является одномерным линейным подпространством ℝ ³ , который ортогонален касательного пространства Т _р S . Таким образом, в каждой точке p на S есть два вектора нормалей единичной длины, называемые единичными векторами нормали. Полезно отметить, что единичные векторы нормали в p могут быть заданы в терминах локальной параметризации, патчей Монжа или локальных определяющих функций с помощью формул

${\ displaystyle \ pm \ left. {\ frac {{\ frac {\ partial f} {\ partial u}} \ times {\ frac {\ partial f} {\ partial v}}} {{\ big \ |} {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} \ times {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} {\ big \ |}}} \ right | _ {f ^ {- 1} ( p)}, \ qquad \ pm \ left. {\ frac {{\ big (} {\ frac {\ partial h} {\ partial u}}, {\ frac {\ partial h} {\ partial v}}, -1 {\ big)}} {\ sqrt {1 + {\ big (} {\ frac {\ partial h} {\ partial u}} {\ big)} ^ {2} + {\ big (} {\ frac {\ partial h} {\ partial v}} {\ big)} ^ {2}}}} \ right | _ {(p_ {1}, p_ {2})}, \ qquad {\ text {или} } \ qquad \ pm {\ frac {\ nabla F (p)} {{\ big \ |} \ nabla F (p) {\ big \ |}}},}$

используя те же обозначения, что и в предыдущих определениях.

Также полезно отметить «внутреннее» определение касательных векторов, которое типично для обобщения теории регулярных поверхностей на случай гладких многообразий . Он определяет касательное пространство как абстрактное двумерное вещественное векторное пространство, а не как линейное подпространство ℝ ³ . В этом определении говорится, что касательный вектор к S в точке p является присвоением каждой локальной параметризации f  : V → S с p ∈ f ( V ) двух чисел X ¹ и X ² , таких что для любого другого локального параметризации f ′: V → S с p ∈ f ( V ) (и с соответствующими числами ( X ′) ¹ и ( X ′) ² ), имеем

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} X ^ {1} \\ X ^ {2} \ end {pmatrix}} = A_ {f '(p)} {\ begin {pmatrix} (X') ^ {1} \\ (X ') ^ {2} \ end {pmatrix}},}$

где A _{f ′ ( p )} - матрица Якоби отображения f ⁻¹ ∘ f ′ , вычисленная в точке f ′ ( p ) . Набор касательных векторов к S в точке p естественным образом имеет структуру двумерного векторного пространства. Касательный вектор в этом смысле соответствует касательному вектору в предыдущем смысле при рассмотрении вектора

${\ displaystyle X ^ {1} {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} + X ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ partial v}}.}$

в ℝ ³ . Условие якобиана на X ¹ и X ² по цепному правилу гарантирует , что этот вектор не зависит от f .

Для гладких функций на поверхности векторные поля (т. Е. Касательные векторные поля) имеют важную интерпретацию как операторы или производные первого порядка. Пусть будет регулярная поверхность, открытое подмножество плоскости и координатная карта. Если , то пространство можно отождествить с . Аналогичным образом идентифицирует векторные поля на включенных векторных полях . Взяв стандартные переменные u и v , векторное поле имеет вид с гладкими функциями a и b . Если - векторное поле и является гладкой функцией, то также является гладкой функцией. Дифференциальный оператор первого порядка является производным , т. Е. Удовлетворяет правилу Лейбница${\ displaystyle S}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f: U \ rightarrow S}$${\ Displaystyle V = е (U)}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (U)}$${\ Displaystyle C ^ {\ infty} (V)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X = a \ partial _ {u} + b \ partial _ {v}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Xg}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle X (gh) = (Xg) h + g (Xh).}$

Для векторных полей X и Y просто проверить, что оператор является производным, соответствующим векторному полю. Она называется скобкой Ли . Он кососимметричен и удовлетворяет тождеству Якоби: ${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$ ${\ displaystyle [X, Y]}$${\ Displaystyle [X, Y] = - [Y, X]}$

${\ displaystyle [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0.}$

Таким образом, векторные поля на или образуют алгебру Ли под скобкой Ли. ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$

Первая и вторая основные формы, оператор формы и кривизна

Пусть S - регулярная поверхность в ℝ ³ . Принимая во внимание локальной параметризации п  : V → S и нормального векторного поле единичного п к е ( V ) , один определяет следующие объекты как вещественные или матрицы-функции на V . Первая фундаментальная форма зависит только от f , а не от n . В четвертом столбце записывается, каким образом эти функции зависят от f , связывая функции E ′, F ′, G ′, L ′ и т. Д., Возникающие при другом выборе локальной параметризации, f ′: V ′ → S , к тем, возникающим для f . Здесь A обозначает матрицу Якоби функции f ^–1 ∘ f ′ . Ключевым соотношением при установлении формул четвертого столбца тогда является

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial f '} {\ partial u}} \\ {\ frac {\ partial f'} {\ partial v}} \ end {pmatrix}} = A { \ begin {pmatrix} {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} \\ {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} \ end {pmatrix}},}$

как следует по цепному правилу .

Терминология	Обозначение	Определение	Зависимость от локальной параметризации
Первая фундаментальная форма	E	${\ displaystyle E = {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial u}}}$	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E '& F' \\ F '& G' \ end {pmatrix}} = A {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} A ^ {T}}$
	F	${\ Displaystyle F = {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial v}}}$
	грамм	${\ displaystyle G = {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} \ cdot {\ frac {\ partial f} {\ partial v}}}$
Вторая фундаментальная форма	L	${\ displaystyle L = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial u ^ {2}}} \ cdot n}$	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L '& M' \\ M '& N' \ end {pmatrix}} = A {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} A ^ {T}}$
	M	${\ displaystyle M = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial u \ partial v}} \ cdot n}$
	N	${\ displaystyle N = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial v ^ {2}}} \ cdot n}$
Оператор формы	п	${\ displaystyle P = {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} ^ {- 1}}$	${\ displaystyle P '= APA ^ {- 1}}$
Гауссова кривизна	K	${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {LN-M ^ {2}} {EG-F ^ {2}}}}$	${\ displaystyle K '= K}$
Средняя кривизна	ЧАС	${\ displaystyle H = {\ frac {GL-2FM + EN} {2 (EG-F ^ {2})}}}$	${\ displaystyle H '= H}$
Основные искривления	${\ displaystyle \ kappa _ {\ pm}}$	${\ displaystyle {\ frac {H \ pm {\ sqrt {H ^ {2} -4K}}} {2}}}$	${\ displaystyle \ kappa _ {\ pm} '= \ kappa _ {\ pm}}$

Путем прямого вычисления с матрицей, определяющей оператор формы, можно проверить, что гауссова кривизна является определителем оператора формы, средняя кривизна является следом оператора формы, а основные кривизны являются собственными значениями оператора формы. ; кроме того, гауссова кривизна - это произведение главных кривизн, а средняя кривизна - их сумма. Эти наблюдения также можно сформулировать как определения этих объектов. Эти наблюдения также показывают, что последние три строки четвертого столбца следуют сразу за предыдущей строкой, поскольку аналогичные матрицы имеют идентичные определитель, след и собственные значения. Важно отметить, что все E , G и EG - F ² обязательно положительны. Это гарантирует, что матрица, обратная в определении оператора формы, хорошо определена, и что главные кривизны являются действительными числами.

Также обратите внимание, что отрицание выбора единичного нормального векторного поля отрицает вторую фундаментальную форму, оператор формы, среднюю кривизну и главные кривизны, но оставит гауссову кривизну неизменной. Таким образом, это показало, что для регулярной поверхности S гауссова кривизна S может рассматриваться как вещественнозначная функция на S ; по отношению к выбору единичного нормального векторного поля на всех S , две главных кривизны и средняя кривизна также вещественные функции на S .

Геометрически, первый и второй основные формы можно рассматривать как предоставление информации о том , как F ( U , V ) движется вокруг в ℝ ³ как ( ¯u , v ) движется вокруг в V . В частности, первая основная форма кодирует, насколько быстро движется f , а вторая основная форма кодирует степень, в которой ее движение происходит в направлении вектора нормали n . Другими словами, вторая основная форма в точке p кодирует длину ортогональной проекции от S на касательную плоскость к S в точке p ; в частности, он дает квадратичную функцию, которая наилучшим образом приближает эту длину. Это мышление можно уточнить с помощью формул

${\ displaystyle {\ begin {align} \ lim _ {(h, k) \ to (0,0)} {\ frac {{\ big |} f (u + h, v + k) -f (u, v) {\ big |} ^ {2} - {\ big (} Eh ^ {2} + 2Fhk + Gk ^ {2} {\ big)}} {h ^ {2} + k ^ {2}}} & = 0 \\\ lim _ {(h, k) \ to (0,0)} {\ frac {{\ big (} f (u + h, v + k) -f (u, v) {\ big)} \ cdot n - {\ frac {1} {2}} {\ big (} Lh ^ {2} + 2Mhk + Nk ^ {2} {\ big)}} {h ^ {2} + k ^ {2}}} & = 0, \ end {выровнено}}}$

как следует непосредственно из определений фундаментальных форм и теоремы Тейлора в двух измерениях. Основные кривизны можно увидеть следующим образом. В данной точке р из S , рассмотрим совокупность всех плоскостей, содержащих ортогональную линию S . Каждая такая плоскость имеет кривую пересечения с S , которую можно рассматривать как плоскую кривую внутри самой плоскости. Две главные кривизны в точке p - это максимальное и минимальное возможные значения кривизны этой плоской кривой в точке p , поскольку рассматриваемая плоскость вращается вокруг нормали.

Ниже приводится сводка вычислений вышеуказанных величин относительно участка Монжа f ( u , v ) = ( u , v , h ( u , v )) . Здесь h _u и h _v обозначают две частные производные от h с аналогичными обозначениями для вторых частных производных. Вторая фундаментальная форма и все последующие величины вычисляются относительно данного выбора единичного нормального векторного поля.

Количество	Формула
Единичное нормальное векторное поле	${\ displaystyle n = {\ frac {(-h_ {u}, - h_ {v}, 1)} {\ sqrt {1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}}} }}$
Первая фундаментальная форма	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 + h_ {u} ^ {2} & h_ {u} h_ {v} \\ h_ {u} h_ {v} & 1 + h_ {v} ^ {2} \ end {pmatrix}}}$
Вторая фундаментальная форма	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}} }} {\ begin {pmatrix} h_ {uu} & h_ {uv} \\ h_ {uv} & h_ {vv} \ end {pmatrix}}}$
Оператор формы	${\ displaystyle P = {\ frac {1} {(1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}) ^ {3/2}}} {\ begin {pmatrix} h_ {uu } (1 + h_ {v} ^ {2}) - h_ {uv} h_ {u} h_ {v} & h_ {uv} (1 + h_ {u} ^ {2}) - h_ {uu} h_ {u } h_ {v} \\ h_ {uv} (1 + h_ {v} ^ {2}) - h_ {vv} h_ {u} h_ {v} & h_ {vv} (1 + h_ {u} ^ {2 }) - h_ {uv} h_ {u} h_ {v} \ end {pmatrix}}}$
Гауссова кривизна	${\ displaystyle K = {\ frac {h_ {uu} h_ {vv} -h_ {uv} ^ {2}} {(1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}) ^ {2}}}}$
Средняя кривизна	${\ displaystyle H = {\ frac {(1 + h_ {v} ^ {2}) h_ {uu} -2h_ {u} h_ {v} h_ {uv} + (1 + h_ {u} ^ {2}) ) h_ {vv}} {(1 + h_ {u} ^ {2} + h_ {v} ^ {2}) ^ {3/2}}}}$

Символы Кристоффеля, уравнения Гаусса – Кодацци и теорема Egregium.

Пусть S регулярная поверхность в ℝ ³ . Кристоффель символы правопреемник, к каждой локальной параметризации F  : V → S , восемь функций на V , определяются

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ Gamma _ {11} ^ {1} & \ Gamma _ {12} ^ {1} & \ Gamma _ {21} ^ {1} & \ Gamma _ {22} ^ { 1} \\\ Gamma _ {11} ^ {2} & \ Gamma _ {12} ^ {2} & \ Gamma _ {21} ^ {2} & \ Gamma _ {22} ^ {2} \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} ^ {- 1} {\ begin {pmatrix} {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial E} { \ partial u}} & {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} & {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial E} { \ partial v}} & {\ frac {\ partial F} {\ partial v}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} \\ {\ frac {\ partial F} {\ partial u}} - {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} и {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} и {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} и {\ frac {1} {2}} {\ frac {\ partial G} {\ partial v}} \ end {pmatrix}}.}$

Их также можно определить с помощью следующих формул, в которых n - единичное нормальное векторное поле вдоль f ( V ), а L , M , N - соответствующие компоненты второй фундаментальной формы:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial u ^ {2}}} & = \ Gamma _ {11} ^ {1} {\ frac {\ partial f } {\ partial u}} + \ Gamma _ {11} ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} + Ln \\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ частичное u \ partial v}} & = \ Gamma _ {12} ^ {1} {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} + \ Gamma _ {12} ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} + Mn \\ {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial v ^ {2}}} & = \ Gamma _ {22} ^ {1} {\ frac { \ partial f} {\ partial u}} + \ Gamma _ {22} ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} + Nn. \ end {align}}}$

Ключ к этому определению заключается в том, что ∂ f/∂ u, ∂ f/∂ vИ п образуют базис ℝ ³ в каждой точке, относительно которой каждый из трех уравнений однозначно задает символы Кристоффеля в качестве координат вторых частных производных F . Выбор единичной нормали не влияет на символы Кристоффеля, так как если n заменяется на его отрицание, то компоненты второй фундаментальной формы также инвертируются, и поэтому знаки Ln , Mn , Nn остаются неизменными.

Второе определение показывает, в контексте локальной параметризации, что символы Кристоффеля геометрически естественны. Хотя формулы в первом определении кажутся менее естественными, они важны для демонстрации того, что символы Кристоффеля могут быть вычислены из первой фундаментальной формы, что не сразу видно из второго определения. Эквивалентность определений можно проверить, непосредственно заменяя первое определение в секунду, и используя определения Е , F , G .

Уравнения Кодацци утверждают, что

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial L} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial M} {\ partial u}} & = L \ Gamma _ {12} ^ {1 } + M (\ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1}) - N \ Gamma _ {11} ^ {2} \\ {\ frac {\ partial M} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial N} {\ partial u}} & = L \ Gamma _ {22} ^ {1} + M (\ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ { 12} ^ {1}) - N \ Gamma _ {12} ^ {2}. \ End {align}}}$

Эти уравнения могут быть непосредственно выведены из второго определения символов Кристоффеля, приведенного выше; например, первое уравнение Кодацци получается дифференцированием первого уравнения по v , второго уравнения по u , вычитания двух и взятия скалярного произведения с n . Уравнение Гаусса утверждает, что

${\ displaystyle {\ begin {align} KE & = {\ frac {\ partial \ Gamma _ {11} ^ {2}} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial \ Gamma _ {21} ^ {2 }} {\ partial u}} + \ Gamma _ {21} ^ {2} \ Gamma _ {11} ^ {1} + \ Gamma _ {22} ^ {2} \ Gamma _ {11} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {2} \ Gamma _ {21} ^ {1} - \ Gamma _ {12} ^ {2} \ Gamma _ {21} ^ {2} \\ KF & = {\ frac { \ partial \ Gamma _ {12} ^ {2}} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial \ Gamma _ {22} ^ {2}} {\ partial u}} + \ Gamma _ {21} ^ {2} \ Gamma _ {12} ^ {1} - \ Gamma _ {11} ^ {2} \ Gamma _ {22} ^ {1} \\ KG & = {\ frac {\ partial \ Gamma _ {22 } ^ {1}} {\ partial u}} - {\ frac {\ partial \ Gamma _ {12} ^ {1}} {\ partial v}} + \ Gamma _ {11} ^ {1} \ Gamma _ {22} ^ {1} + \ Gamma _ {12} ^ {1} \ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {21} ^ {1} \ Gamma _ {12} ^ {1} - \ Gamma _ {22} ^ {1} \ Gamma _ {12} ^ {2} \ end {align}}}$

Они могут быть выведены аналогично уравнениям Кодацци, с использованием уравнения Вейнгартена вместо скалярного произведения с n . Хотя они записаны как три отдельных уравнения, они идентичны, если подставить определения символов Кристоффеля в терминах первой фундаментальной формы. Есть много способов записать результирующее выражение, один из которых был получен в 1852 году Бриоши с умелым использованием детерминант:

${\ displaystyle K = {\ frac {1} {(EG-F ^ {2}) ^ {2}}} \ det {\ begin {pmatrix} - {1 \ over 2} {\ frac {\ partial ^ { 2} E} {\ partial v ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2} F} {\ partial u \ partial v}} - {1 \ over 2} {\ frac {\ partial ^ {2} G} {\ partial u ^ {2}}} & {1 \ over 2} {\ frac {\ partial E} {\ partial u}} & {\ frac {\ partial F} {\ partial u} } - {1 \ over 2} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} \\ {\ frac {\ partial F} {\ partial v}} - {1 \ over 2} {\ frac {\ частичный G} {\ partial u}} & E&F \\ {1 \ over 2} {\ frac {\ partial G} {\ partial v}} & F&G \ end {pmatrix}} - {\ frac {1} {(EG- F ^ {2}) ^ {2}}} \ det {\ begin {pmatrix} 0 & {1 \ over 2} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} & {1 \ over 2} {\ frac {\ partial G} {\ partial u}} \\ {1 \ over 2} {\ frac {\ partial E} {\ partial v}} & E&F \\ {1 \ over 2} {\ frac {\ partial G } {\ partial u}} & F&G \ end {pmatrix}}.}$

Когда символы Кристоффеля рассматриваются как определяемые первой фундаментальной формой, уравнения Гаусса и Кодацци представляют определенные ограничения между первой и второй фундаментальными формами. Уравнение Гаусса заслуживает особого внимания, поскольку оно показывает, что кривизна Гаусса может быть вычислена непосредственно из первой фундаментальной формы без необходимости в какой-либо другой информации; эквивалентно, это говорит о том, что LN - M ^{2 на} самом деле может быть записано как функция от E , F , G , даже если отдельные компоненты L , M , N не могут. Это известно как теорема эгрегия и было крупным открытием Карла Фридриха Гаусса . Это особенно поразительно, если вспомнить геометрическое определение гауссовой кривизны S как определяемого максимальным и минимальным радиусами соприкасающихся окружностей; они , похоже, в основном определяется геометрией , как S изгибы в пределах ℝ ³ . Тем не менее, теорема показывает, что их произведение может быть определено из «внутренней» геометрии S , имея дело только с длинами кривых вдоль S и углами, образованными на их пересечении. Как сказал Марсель Бергер :

Эта теорема сбивает с толку. [...] Это теорема, которые могли бы подождать еще десятки лет, прежде чем их откроет другой математик, поскольку, в отличие от многих других интеллектуальных историй, они не витали в воздухе. [...] Насколько нам известно, сегодня не существует простого геометрического доказательства теоремы эгрегиум.

Уравнения Гаусса-Кодацци также могут быть кратко выражены и выведены на языке форм связи благодаря Эли Картану . На языке тензорного исчисления , используя естественные метрики и связности на тензорных расслоениях , уравнение Гаусса можно записать как H ² - | h | ² = R и два уравнения Кодацци можно записать в виде ∇ ₁ ч ₁₂ = ∇ ₂ ч ₁₁ и ∇ ₁ ч ₂₂ = ∇ ₂ ч ₁₂ ; эти сложные выражения , чтобы сделать с символами Кристоффеля и первой фундаментальной формой полностью поглощаются в определения ковариантного тензор производной ∇ ч и скалярной кривизна R . Пьер Бонне доказал, что две квадратичные формы, удовлетворяющие уравнениям Гаусса-Кодацци, всегда однозначно определяют вложенную поверхность локально. По этой причине уравнения Гаусса-Кодацци часто называют фундаментальными уравнениями для вложенных поверхностей, точно определяя, откуда берутся внутренняя и внешняя кривизна. Они допускают обобщения на поверхности, вложенные в более общие римановы многообразия .

Изометрии

Диффеоморфизм между открытыми множествами и на регулярной поверхности называется изометрией, если он сохраняет метрику, т. Е. Первую фундаментальную форму. Таким образом, для каждой точки в и касательных векторов в есть равенства ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle U}$${\ Displaystyle ш_ {1}, \, \, ш_ {2}}$${\ displaystyle p}$

${\ Displaystyle E (p) w_ {1} \ cdot w_ {1} + 2F (p) w_ {1} \ cdot w_ {2} + G (p) w_ {2} \ cdot w_ {2} = E ( \ varphi (p)) \ varphi ^ {\ prime} (w_ {1}) \ cdot \ varphi ^ {\ prime} (w_ {1}) + 2F (\ varphi (p)) \ varphi ^ {\ prime} (w_ {1}) \ cdot \ varphi ^ {\ prime} (w_ {2}) + G (\ varphi (p)) \ varphi ^ {\ prime} (w_ {1}) \ cdot \ varphi ^ {\ prime} (w_ {2}).}$

С точки зрения внутреннего продукта, происходящего из первой фундаментальной формы, это можно переписать как

${\ displaystyle (w_ {1}, w_ {2}) _ {p} = (\ varphi ^ {\ prime} (w_ {1}), \ varphi ^ {\ prime} (w_ {2})) _ { \ varphi (p)}}$.

С другой стороны, длину параметризованной кривой можно рассчитать как ${\ Displaystyle \ гамма (т) = (х (т), у (т))}$

${\ displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {E {\ dot {x}} \ cdot {\ dot {x}} + 2F {\ dot {x}} \ cdot {\ dot {y}} + G {\ dot {y}} \ cdot {\ dot {y}}}} \, dt}$

и, если кривая лежит в , правила замены переменных показывают, что ${\ displaystyle U}$

${\ Displaystyle L (\ varphi \ circ \ gamma) = L (\ gamma).}$

И наоборот, если сохраняет длины всех параметризованных кривых, то это изометрия. Действительно, при подходящем выборе касательные векторы и задают произвольные касательные векторы и . Равенства должны выполняться для все выбора касательных векторов и , а также и , так что . ${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ dot {x}}}$${\ displaystyle {\ dot {y}}}$${\ displaystyle w_ {1}}$${\ displaystyle w_ {2}}$${\ displaystyle w_ {1}}$${\ displaystyle w_ {2}}$${\ Displaystyle \ varphi ^ {\ prime} (ш_ {1})}$${\ Displaystyle \ varphi ^ {\ prime} (ш_ {2})}$${\ displaystyle (\ varphi ^ {\ prime} (w_ {1}), \ varphi ^ {\ prime} (w_ {2})) _ {\ varphi (p)} = (w_ {1}, w_ {1 })_{п}}$

Простой пример изометрии дается двумя параметризациями и открытым множеством в регулярные поверхности и . Если , и , то это изометрия на . ${\ displaystyle f_ {1}}$${\ displaystyle f_ {2}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle S_ {1}}$${\ displaystyle S_ {2}}$${\ displaystyle E_ {1} = E_ {2}}$${\ displaystyle F_ {1} = F_ {2}}$${\ displaystyle G_ {1} = G_ {2}}$${\ displaystyle \ varphi = f_ {2} \ circ f_ {1} ^ {- 1}}$${\ displaystyle f_ {1} (U)}$${\ displaystyle f_ {2} (U)}$

Цилиндр и плоскость являются примерами поверхностей, которые являются локально изометричными, но которые не могут быть расширены до изометрии по топологическим причинам. В качестве другого примера катеноид и геликоид локально изометричны.

Ковариантные производные

Тангенциальное векторное поле Х на S правопреемников, к каждому р в S , касательного вектора X _р к S в р . Согласно «внутреннему» определению касательных векторов, данному выше, касательное векторное поле X затем назначает каждой локальной параметризации f  : V → S две вещественнозначные функции X ¹ и X ² на V , так что

${\ displaystyle X_ {p} = X ^ {1} {\ big (} f ^ {- 1} (p) {\ big)} {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} {\ Big | } _ {f ^ {- 1} (p)} + X ^ {2} {\ big (} f ^ {- 1} (p) {\ big)} {\ frac {\ partial f} {\ partial v }} {\ Big |} _ {f ^ {- 1} (p)}}$

для каждого р в S . Говорят, что X гладко, если функции X ¹ и X ² гладкие при любом выборе f . Согласно другим определениям касательных векторов, данным выше, можно также рассматривать касательное векторное поле X на S как отображение X  : S → ℝ ³ такое, что X ( p ) содержится в касательном пространстве T _p S ⊂ ℝ ³ для каждый р в S . Как обычно в более общей ситуации гладких многообразий , касательные векторные поля также могут быть определены как некоторые дифференциальные операторы на пространстве гладких функций на S .

В ковариантные производные (также называемые «тангенциальные производные») из Леви-Чивита и Риччи-Курбастро обеспечивают средства дифференциации гладких касательных векторных полей. Учитывая касательное векторное поле X и касательный вектор Y к S в точке p , ковариантная производная ∇ _Y X является некоторым касательным вектором к S в точке p . Следовательно, если X и Y оба являются касательными векторными полями, то ∇ _Y X также можно рассматривать как касательное векторное поле; итеративно, если X , Y и Z - тангенциальные векторные поля, можно вычислить ∇ _Z ∇ _Y X , которое будет другим касательным векторным полем. Есть несколько способов определить ковариантную производную; в первом ниже используются символы Кристоффеля и «внутреннее» определение касательных векторов, а во втором - более явно геометрическая форма.

Учитывая касательное векторное поле X и касательный вектор Y к S в точке p , можно определить ∇ _Y X как касательный вектор к p, который присваивает локальной параметризации f  : V → S два числа

${\ displaystyle (\ nabla _ {Y} X) ^ {k} = D _ {(Y ^ {1}, Y ^ {2})} X ^ {k} {\ Big |} _ {f ^ {- 1 } (p)} + \ sum _ {i = 1} ^ {2} \ sum _ {j = 1} ^ {2} {\ big (} \ Gamma _ {ij} ^ {k} X ^ {j} {\ big)} {\ Big |} _ {f ^ {- 1} (p)} Y ^ {i}, \ qquad (k = 1,2)}$

где D _{( Y ¹ , Y ² )} - производная по направлению . Это часто сокращается в менее громоздкой форме (∇ _Y X ) ^k = ∂ _Y ( X ^k ) + Y ⁱ Γ ^k
_ijX ^j , используя нотацию Эйнштейна и неявно понимая места вычисления функций. Это следует стандартному рецепту в римановой геометрии для получения соединения из римановой метрики . Это фундаментальный факт, что вектор

${\ displaystyle (\ nabla _ {Y} X) ^ {1} {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} + (\ nabla _ {Y} X) ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ partial v}}}$

в ℝ ³ не зависит от выбора локального parametization е , хотя это довольно утомительно , чтобы проверить.

Также можно определить ковариантную производную с помощью следующего геометрического подхода, который не использует символы Кристоффеля или локальные параметризации. Пусть X - векторное поле на S , рассматриваемое как функция S → ℝ ³ . Для любой кривой c  : ( a , b ) → S можно рассмотреть композицию X ∘ c  : ( a , b ) → ℝ ³ . В карте между евклидовы пространства, его можно дифференцировать при любом значении входного , чтобы получить элемент ( Х ∘ с ) '( т ) из ℝ ³ . Ортогональная проекция этого вектора на Т _{с ( т )} S определяет ковариантную производную ∇ _{C '( т )} X . Хотя это очень геометрически чистое определение, необходимо показать, что результат зависит только от c ′ ( t ) и X , а не от c и X ; Для этого небольшого технического аргумента можно использовать локальные параметризации.

Из второго определения не сразу видно, что ковариантное дифференцирование зависит только от первой фундаментальной формы S ; однако это непосредственно следует из первого определения, поскольку символы Кристоффеля могут быть определены непосредственно из первой фундаментальной формы. Несложно проверить, что эти два определения эквивалентны. Ключ в том, что когда мы рассматриваем X ¹∂ f/∂ u+ X ²∂ f/∂ vкак ℝ ³ -значная функция, ее дифференцирование по кривой приводит к вторым частным производным ∂ ² f ; символы Кристоффеля входят с ортогональной проекцией в касательное пространство из-за формулировки символов Кристоффеля как тангенциальных компонентов вторых производных f относительно базиса∂ f/∂ u, ∂ f/∂ v, п . Это обсуждается в предыдущем разделе.

Правую часть трех уравнений Гаусса можно выразить с помощью ковариантного дифференцирования. Например, правая часть

${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ Gamma _ {11} ^ {2}} {\ partial v}} - {\ frac {\ partial \ Gamma _ {21} ^ {2}} {\ partial u}} + \ Gamma _ {21} ^ {2} \ Gamma _ {11} ^ {1} + \ Gamma _ {22} ^ {2} \ Gamma _ {11} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {2} \ Gamma _ {21} ^ {1} - \ Gamma _ {12} ^ {2} \ Gamma _ {21} ^ {2}}$

можно распознать как вторую координату

${\ displaystyle \ nabla _ {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} \ nabla _ {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} {\ frac {\ partial f} {\ partial u} } - \ nabla _ {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} \ nabla _ {\ frac {\ partial f} {\ partial v}} {\ frac {\ partial f} {\ partial u}} }$

относительно основы ∂ f/∂ u, ∂ f/∂ v, что можно непосредственно проверить, используя определение ковариантного дифференцирования по символам Кристоффеля. На языке римановой геометрии это наблюдение можно также сформулировать как утверждение, что правые части уравнений Гаусса являются различными компонентами кривизны Риччи связи Леви-Чивиты первой фундаментальной формы, когда интерпретируется как риманова метрика. .

Примеры

Поверхности революции

Поверхность вращения получается вращением кривой в плоскости xz вокруг оси z . К таким поверхностям относятся сферы, цилиндры, конусы, торы и катеноид . Обычные эллипсоиды , гиперболоиды и параболоиды - нет. Предположим, что кривая параметризована

${\ Displaystyle х = c_ {1} (s), \, \, z = c_ {2} (s)}$

с s, взятым из интервала ( a , b ) . Если c ₁ никогда не равняется нулю, если c ₁ ' и c ₂ ' оба никогда не равны нулю, и если оба c ₁ и c ₂ гладкие, то соответствующая поверхность вращения

${\ Displaystyle S = {\ Big \ {} {\ big (} c_ {1} (s) \ cos t, c_ {1} (s) \ sin t, c_ {2} (s) {\ big)} \ двоеточие s \ in (a, b) {\ text {и}} t \ in \ mathbb {R} {\ Big \}}}$

будет регулярная поверхность в ℝ ³ . Локальная параметризация f  : ( a , b ) × (0, 2π) → S задается формулой

${\ Displaystyle f (s, t) = {\ big (} c_ {1} (s) \ cos t, c_ {1} (s) \ sin t, c_ {2} (s) {\ big)}. }$

Относительно этой параметризации геометрические данные:

Количество	Формула
Единичное нормальное векторное поле	${\ Displaystyle п = {\ гидроразрыва {{\ big (} -c_ {2} '(s) \ cos t, -c_ {2}' (s) \ sin t, c_ {1} '(s) {\ большой)}} {\ sqrt {c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2}}}}}$
Первая фундаментальная форма	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} E&F \\ F&G \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2 } & 0 \\ 0 & c_ {1} (s) ^ {2} \ end {pmatrix}}}$
Вторая фундаментальная форма	${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} L&M \\ M&N \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} {\ frac {c_ {1} '(s) c_ {2}' '(s) -c_ { 2} '(s) c_ {1}' '(s)} {\ sqrt {c_ {1}' (s) ^ {2} + c_ {2} '(s) ^ {2}}}} & 0 \ \ 0 & {\ frac {c_ {1} (s) c_ {2} '(s)} {\ sqrt {c_ {1}' (s) ^ {2} + c_ {2} '(s) ^ {2 }}}} \ end {pmatrix}}}$
Основные искривления	${\ Displaystyle {\ frac {c_ {1} '(s) c_ {2}' '(s) -c_ {2}' (s) c_ {1} '' (s)} {{\ big (} c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2} {\ big)} ^ {3/2}}} \ quad {\ text {and}} \ quad {\ гидроразрыв {c_ {2} '(s)} {c_ {1} (s) {\ sqrt {c_ {1}' (s) ^ {2} + c_ {2} '(s) ^ {2}}} }}}$
Гауссова кривизна	${\ Displaystyle К = {\ гидроразрыва {c_ {2} '(s) {\ big (} c_ {1}' (s) c_ {2} '' (s) -c_ {2} '(s) c_ { 1} '' (s) {\ big)}} {c_ {1} (s) {\ big (} c_ {1} '(s) ^ {2} + c_ {2}' (s) ^ {2 } {\ big)} ^ {2}}}}$
Средняя кривизна	${\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} {\ frac {c_ {1} '(s) c_ {2}' '(s) -c_ {2}' (s) c_ {1} ' '(s)} {{\ big (} c_ {1}' (s) ^ {2} + c_ {2} '(s) ^ {2} {\ big)} ^ {3/2}}} + {\ frac {1} {2}} {\ frac {c_ {2} '(s)} {c_ {1} (s) {\ sqrt {c_ {1}' (s) ^ {2} + c_ { 2} ^ {2}}}}}.}$

В частном случае, когда исходная кривая параметризована длиной дуги, то есть ( c ₁ ′ ( s )) ² + ( c ₁ ′ ( s )) ² = 1 , можно дифференцировать, чтобы найти c ₁ ′ ( s ) c ₁ ′ ′ ( S ) + c ₂ ′ ( s ) c ₂ ′ ′ ( s ) = 0 . При подстановке в гауссову кривизну получаем упрощенный

${\ displaystyle K = - {\ frac {c_ {1} '' (s)} {c_ {1} (s)}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad H = c_ {1} '(s ) c_ {2} '' (s) -c_ {2} '(s) c_ {1}' '(s) + {\ frac {c_ {2}' (s)} {c_ {1} (s) }}.}$

Простота этой формулы позволяет особенно легко изучить класс вращательно-симметричных поверхностей с постоянной гауссовой кривизной. Сведением к альтернативному случаю, когда c ₂ (s) = s , можно изучать вращательно-симметричные минимальные поверхности, в результате чего любая такая поверхность является частью плоскости или масштабированного катеноида.

Каждую кривую постоянного t на S можно параметризовать как геодезическую; кривая постоянной s на S может быть параметризована как геодезическая тогда и только тогда, когда c ₁ ′ (s) равно нулю. Обычно геодезические на S регулируются соотношением Клеро .

Квадрические поверхности

Рассмотрим квадратичную поверхность, заданную формулой

${\ displaystyle {x ^ {2} \ over a} + {y ^ {2} \ over b} + {z ^ {2} \ over c} = 1.}$

Эта поверхность допускает параметризацию

${\ displaystyle x = {\ sqrt {a (au) (av) \ over (ab) (ac)}}, \, \, y = {\ sqrt {b (bu) (bv) \ over (ba) ( bc)}}, \, \, z = {\ sqrt {c (cu) (cv) \ over (cb) (ca)}}.}.$

Кривизна Гаусса и средняя кривизна задаются формулами

${\ displaystyle K = {abc \ over u ^ {2} v ^ {2}}, \, \, K_ {m} = - (u + v) {\ sqrt {abc \ over u ^ {3} v ^ {3}}}.}$

Линейчатые поверхности

Линейчатая поверхность - это поверхность, которая может быть создана движением прямой линии в E ³ . Выбрав направляющую на поверхности, т.е. гладкую кривую единичной скорости c ( t ), ортогональную прямым линиям, и затем выбрав u ( t ) в качестве единичных векторов вдоль кривой в направлении линий, вектор скорости v = c _т и вы удовлетворяете

${\ Displaystyle и \ cdot v = 0, \, \, \ | u \ | = 1, \, \, \ | v \ | = 1.}$

Поверхность состоит из точек

${\ Displaystyle с (т) + s \ cdot и (т)}$

поскольку s и t меняются.

Тогда, если

${\ displaystyle a = \ | u_ {t} \ |, \, \, b = u_ {t} \ cdot v, \, \, \ alpha = - {\ frac {b} {a ^ {2}}} , \, \, \ beta = {\ frac {\ sqrt {a ^ {2} -b ^ {2}}} {a ^ {2}}},}$

гауссова и средняя кривизна определяются как

${\ displaystyle K = - {\ beta ^ {2} \ over ((s- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2}) ^ {2}}, \, \, K_ {m} = - {r [(s- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2})] + \ beta _ {t} (s- \ alpha) + \ beta \ alpha _ {t} \ over [(s- \ alpha) ^ {2} + \ beta ^ {2}] ^ {\ frac {3} {2}}}.}$

Гауссова кривизна линейчатой ​​поверхности равна нулю тогда и только тогда, когда u _t и v пропорциональны. Это условие эквивалентно тому, что поверхность является огибающей плоскостей вдоль кривой, содержащей касательный вектор v и ортогональный вектор u , то есть поверхности будучи развертывающаяся вдоль кривой. В более общем смысле поверхность в E ³ имеет исчезающую гауссову кривизну около точки тогда и только тогда, когда она может развиваться около этой точки. (Эквивалентное условие приводится ниже в терминах метрики.)

Минимальные поверхности

В 1760 году Лагранж расширил результаты Эйлера по вариационному исчислению, включающему интегралы от одной переменной, до двух переменных. Он имел в виду следующую проблему:

Для данной замкнутой кривой в E ³ найдите поверхность, граница которой имеет кривую с минимальной площадью.

Такая поверхность называется минимальной .

В 1776 году Жан Батист Мюзнье показал, что дифференциальное уравнение, полученное Лагранжем, эквивалентно обращению в нуль средней кривизны поверхности:

Поверхность минимальна тогда и только тогда, когда ее средняя кривизна равна нулю.

Минимальные поверхности имеют простую интерпретацию в реальной жизни: они представляют собой форму, которую примет мыльная пленка, если проволочный каркас, имеющий форму кривой, погрузить в мыльный раствор, а затем осторожно вынуть. Вопрос о том, существует ли минимальная поверхность с заданной границей, называется проблемой Плато в честь бельгийского физика Джозефа Плато, который проводил эксперименты с мыльными пленками в середине девятнадцатого века. В 1930 году Джесси Дуглас и Тибор Радо дали утвердительный ответ на проблему Плато (Дуглас был награжден одной из первых медалей Филдса за эту работу в 1936 году).

Многие явные примеры минимальной поверхности известны в явном виде, например , как катеноид , в геликоиде , на Шерка поверхность и поверхность Эннепер . В этой области проводились обширные исследования, обобщенные в Osserman (2002) . В частности , в результате Оссерман показывает , что если минимальная поверхность не является плоской, то ее образ при отображении Гаусса плотно в S ² .

Поверхности постоянной гауссовой кривизны

Если поверхность имеет постоянную гауссову кривизну, она называется поверхностью постоянной кривизны .

• Единичная сфера в E ³ имеет постоянную гауссову кривизну +1.
• Евклидова плоскость и цилиндр имеют постоянную гауссову кривизну 0.
• Поверхности вращения с φ _tt = φ имеют постоянную гауссову кривизну –1. Частные случаи получаются, если взять φ ( t ) = C ch t , C sh t и C e ^t . Последний случай представляет собой классическую псевдосферу, создаваемую вращением трактрисы вокруг центральной оси. В 1868 году Эухенио Бельтрами показал, что геометрия псевдосферы напрямую связана с геометрией гиперболической плоскости , независимо открытой Лобачевским (1830) и Бойяи (1832). Уже в 1840 г. ученик Гаусса Ф. Миндинг получил тригонометрические формулы для псевдосферы, идентичные формулам для гиперболической плоскости. Внутренняя геометрия этой поверхности теперь лучше понимается в терминах метрики Пуанкаре на верхней полуплоскости или единичном круге и описывается другими моделями, такими как модель Клейна или модель гиперболоида , полученная при рассмотрении двухлистной модели. гиперболоид q ( x , y , z ) = −1 в трехмерном пространстве Минковского , где q ( x , y , z ) = x ² + y ² - z ² .

Каждая из этих поверхностей постоянной кривизны имеет транзитивную группу симметрий Ли . Этот теоретико-групповой факт имеет далеко идущие последствия, особенно из-за центральной роли, которую эти специальные поверхности играют в геометрии поверхностей, в силу теоремы Пуанкаре об униформизации (см. Ниже).

Другие примеры поверхностей с гауссовой кривизной 0 включают конусы , касательные разворачивающиеся поверхности и вообще любую разворачивающуюся поверхность.

Локальная метрическая структура

Для любой поверхности, встроенной в евклидово пространство размерности 3 или выше, можно измерить длину кривой на поверхности, угол между двумя кривыми и площадь области на поверхности. Эта структура бесконечно кодируется в римановой метрике на поверхности через линейные элементы и элементы площади . Классически в девятнадцатом и начале двадцатого веков рассматривались только поверхности, вложенные в R ^3, а метрика задавалась как положительно определенная матрица 2 × 2, плавно меняющаяся от точки к точке в локальной параметризации поверхности. Идея локальной параметризации и изменения координат была позже формализована через современное абстрактное понятие многообразия , топологического пространства, где гладкая структура задается локальными картами на многообразии, точно так же, как планета Земля отображается сегодня в атласах . Изменения координат между разными картами одного и того же региона должны быть плавными. Подобно тому, как контурные линии на реальных картах кодируют изменения высоты с учетом локальных искажений поверхности Земли для расчета истинных расстояний, так и риманова метрика описывает расстояния и площади «в малом» на каждой локальной карте. В каждой локальной карте риманова метрика задается гладким сопоставлением положительно определенной матрицы 2 × 2 каждой точке; когда берется другой график, матрица преобразуется в соответствии с матрицей Якоби изменения координат. В этом случае многообразие имеет структуру двумерного риманова многообразия .

Оператор формы

Дифференциала дп из Гаусс отображения п может быть использована для определения типа внешней кривизны, известный как оператор формы или Weingarten карта. Этот оператор впервые неявно появился в работе Вильгельма Блашке, а затем явно в трактате Бурали-Форти и Бургати. Поскольку в каждой точке x поверхности касательное пространство является внутренним пространством продукта , оператор формы S _x может быть определен как линейный оператор на этом пространстве по формуле

${\ displaystyle (S_ {x} v, w) = (dn (v), w)}$

для касательных векторов v , w (внутреннее произведение имеет смысл, потому что dn ( v ) и w оба лежат в E ³ ). Правая часть симметрична по v и w , поэтому оператор формы самосопряжен на касательном пространстве. Собственные значения S _x - это просто главные кривизны k ₁ и k ₂ в точке x . В частности, определителем оператора формы в точке является гауссова кривизна, но он также содержит другую информацию, поскольку средняя кривизна составляет половину следа оператора формы. Средняя кривизна - внешний инвариант. В внутренней геометрии цилиндр является разворачивающимся, что означает, что каждый его элемент неотличим от части плоскости, поскольку его кривизна Гаусса одинаково равна нулю. Однако его средняя кривизна не равна нулю; следовательно, внешне он отличается от самолета.

Эквивалентно, оператор форма может быть определена как линейный оператор на касательных пространствах, S _р :  Т _р М → Т _р М . Если n - единичное нормальное поле к M, а v - касательный вектор, то

${\ Displaystyle S (v) = \ pm \ nabla _ {v} n}$

(нет стандартного соглашения, использовать ли + или - в определении).

В общем, собственные векторы и собственные значения оператора формы в каждой точке определяют направления, в которых поверхность изгибается в каждой точке. Собственные значения соответствуют главным кривизнам поверхности, а собственные векторы - соответствующим главным направлениям. Основные направления определяют направления, по которым кривизна, встроенная в поверхность, должна двигаться, чтобы иметь максимальную и минимальную кривизну, которые задаются главными кривизнами.

Геодезические кривые на поверхности

Кривые на поверхности, которые минимизируют длину между конечными точками, называются геодезическими ; это форма, которую примет резинка, натянутая между двумя точками. Математически они описываются с помощью обыкновенных дифференциальных уравнений и вариационного исчисления . Дифференциальная геометрия поверхностей вращается вокруг изучения геодезических. Остается открытым вопрос, возникает ли каждая риманова метрика на 2-мерной локальной карте в результате вложения в 3-мерное евклидово пространство: теория геодезических использовалась, чтобы показать, что это верно в важном случае, когда компоненты метрики являются аналитическими .

Геодезические

Для кусочно-гладкого пути c ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) в карте для t в [ a , b ] его длина определяется равенством

${\ displaystyle L (c) = \ int _ {a} ^ {b} (E {\ dot {x}} ^ {2} + 2F {\ dot {x}} {\ dot {y}} + G { \ dot {y}} ^ {2}) ^ {\ frac {1} {2}} \, dt}$

и энергии по

${\ displaystyle E (c) = \ int _ {a} ^ {b} (E {\ dot {x}} ^ {2} + 2F {\ dot {x}} {\ dot {y}} + G { \ dot {y}} ^ {2}) \, dt.}$

Длина не зависит от параметризации пути. Согласно уравнениям Эйлера – Лагранжа , если c ( t ) представляет собой путь, минимизирующий длину, параметризованный длиной дуги , он должен удовлетворять уравнениям Эйлера

${\ displaystyle {\ ddot {x}} + \ Gamma _ {11} ^ {1} {\ dot {x}} ^ {2} +2 \ Gamma _ {12} ^ {1} {\ dot {x} } {\ dot {y}} + \ Gamma _ {22} ^ {1} {\ dot {y}} ^ {2} = 0}$

${\ displaystyle {\ ddot {y}} + \ Gamma _ {11} ^ {2} {\ dot {x}} ^ {2} +2 \ Gamma _ {12} ^ {2} {\ dot {x} } {\ dot {y}} + \ Gamma _ {22} ^ {2} {\ dot {y}} ^ {2} = 0}$

где символы Кристоффеля Γ^k
_ij даны

${\ displaystyle \ Gamma _ {ij} ^ {k} = {\ tfrac {1} {2}} \ sum _ {m} g ^ {km} (\ partial _ {j} g_ {im} + \ partial _ {i} g_ {jm} - \ partial _ {m} g_ {ij})}$

где g ₁₁ = E , g ₁₂ = F , g ₂₂ = G и g ^ij - матрица, обратная к g _ij . Путь, удовлетворяющий уравнениям Эйлера, называется геодезической . Согласно неравенству Коши – Шварца путь, минимизирующий энергию, - это просто геодезическая, параметризованная длиной дуги; и для любой геодезической параметр t пропорционален длине дуги.

Геодезическая кривизна

Геодезическая кривизна к _г в точке кривой с ( т ) , параметрирован длиной дуги, на ориентированной поверхности определяется как

${\ displaystyle k_ {g} = {\ ddot {c}} (t) \ cdot \ mathbf {n} (t).}$

где n ( t ) - «главная» единичная нормаль к кривой на поверхности, построенная путем поворота единичного касательного вектора ċ ( t ) на угол + 90 °.

• Геодезическая кривизна в точке является внутренним инвариантом, зависящим только от метрики около точки.
• Кривая единичной скорости на поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда ее геодезическая кривизна равна нулю во всех точках кривой.
• Кривая единичной скорости c ( t ) во вложенной поверхности является геодезической тогда и только тогда, когда ее вектор ускорения c̈ ( t ) нормален к поверхности.

Геодезическая кривизна точно определяет, насколько кривая на поверхности отличается от геодезической.

Ортогональные координаты

Когда F = 0 на всей координатной карте, например, с геодезическими полярными координатами, обсуждаемыми ниже, изображения линий, параллельных осям x и y , ортогональны и обеспечивают ортогональные координаты . Если H = ( EG ) ^{1 ⁄ 2} , то гауссова кривизна определяется выражением

${\ displaystyle K = - {1 \ over 2H} \ left [\ partial _ {x} \ left ({\ frac {G_ {x}} {H}} \ right) + \ partial _ {y} \ left ( {\ frac {E_ {y}} {H}} \ right) \ right].}$

Если дополнительно E = 1 , так что H = G ^{1 ⁄ 2} , то угол φ на пересечении геодезической ( x ( t ), y ( t )) и прямой y = constant определяется уравнением

${\ displaystyle \ tan \ varphi = H \ cdot {\ frac {\ dot {y}} {\ dot {x}}}.}$

Производная φ задается классической формулой Гаусса для производных:

${\ displaystyle {\ dot {\ varphi}} = - H_ {x} \ cdot {\ dot {y}}.}$

Геодезические полярные координаты

Как только метрика задана на поверхности и базовая точка зафиксирована, существует уникальная геодезическая, соединяющая базовую точку с каждой достаточно близкой точкой. Направление геодезической в ​​базовой точке и расстояние однозначно определяют другую конечную точку. Эти два бита данных, направление и величина, таким образом, определяют касательный вектор в базовой точке. Карта от касательных векторов к конечным точкам плавно сметает окрестности базовой точки и определяет то, что называется «экспоненциальной картой», определяя локальную карту координат в этой базовой точке. Выметанная окрестность имеет те же свойства, что и шары в евклидовом пространстве, а именно любые две точки в ней соединены единственной геодезической. Это свойство называется «геодезической выпуклостью», а координаты - «нормальными координатами». Явное вычисление нормальных координат может быть выполнено путем рассмотрения дифференциального уравнения, которому удовлетворяют геодезические. Свойства выпуклости являются следствием леммы Гаусса и ее обобщений. Грубо говоря, эта лемма утверждает, что геодезические, начинающиеся в базовой точке, должны разрезать сферы фиксированного радиуса с центром в базовой точке под прямым углом. Геодезические полярные координаты получаются путем объединения экспоненциальной карты с полярными координатами касательных векторов в базовой точке. Гауссова кривизна поверхности тогда определяется отклонением метрики в точке второго порядка от евклидовой метрики. В частности, гауссова кривизна является инвариантом метрики, знаменитой теоремы Гаусса Egregium . Удобный способ понять кривизну - это обыкновенное дифференциальное уравнение, сначала рассмотренное Гауссом, а затем обобщенное Якоби, возникающее в результате изменения нормальных координат в двух разных точках. Уравнение Гаусса – Якоби предоставляет другой способ вычисления гауссовой кривизны. Геометрически он объясняет, что происходит с геодезическими от фиксированной базовой точки, когда конечная точка изменяется вдоль небольшого сегмента кривой через данные, записанные в поле Якоби , векторное поле вдоль геодезической. Через полтора века после Гаусса и Якоби Марстон Морс дал более концептуальную интерпретацию поля Якоби в терминах вторых производных функции энергии на бесконечномерном гильбертовом многообразии путей.

Экспоненциальная карта

Теория обыкновенных дифференциальных уравнений показывает, что если f ( t , v ) гладкая, то дифференциальное уравнениеdv/dt= f ( t , v ) с начальным условием v (0) = v ₀ имеет единственное решение для | т | достаточно мало, и решение гладко зависит от t и v ₀ . Отсюда следует, что для достаточно малых касательных векторов v в данной точке p = ( x ₀ , y ₀ ) существует геодезическая c _v ( t ), определенная на (−2, 2) с c _v (0) = ( x ₀ , y ₀ ) и ċ _v (0) = v . Более того, если | s | ≤ 1 , то c _sv = c _v ( st ) . Экспоненциальное отображение определяется

ехр _p ( v ) = c _v (1)

и задает диффеоморфизм между диском ‖ v ‖ < δ и окрестностью точки p ; в более общем смысле отображение, отправляющее ( p , v ) в exp _p ( v ), дает локальный диффеоморфизм на окрестность ( p , p ) . Экспоненциальное отображение дает геодезические нормальные координаты около p .

Вычисление нормальных координат

Существует стандартный метод (см., Например, Berger (2004) ) для вычисления замены переменных к нормальным координатам u , v в точке в виде формального разложения в ряд Тейлора. Если координаты x , y в точке (0,0) локально ортогональны, напишите

x ( u , v ) = αu + L ( u , v ) + λ ( u , v ) +…

y ( u , v ) = βv + M ( u , v ) + μ ( u , v ) +…

где L , М являются квадратичными и Л , μ кубических однородные многочлены в U и V . Если u и v фиксированы, x ( t ) = x ( tu , tv ) и y ( t ) = y ( tu , tv ) можно рассматривать как решения формального степенного ряда уравнений Эйлера: это однозначно определяет α , β , L , M , λ и μ .

Лемма Гаусса

В этих координатах матрица g ( x ) удовлетворяет условию g (0) = I, а прямые t ↦ tv являются геодезическими через 0. Из уравнений Эйлера следует матричное уравнение

g ( v ) v = v ,

ключевой результат, обычно называемый леммой Гаусса . Геометрически это утверждает, что

геодезические, проходящие через 0, перпендикулярно разрезают окружности с центром в 0 .

Взяв полярные координаты ( r , θ ) , следует, что метрика имеет вид

DS ² = DR ² + G ( г , θ ) dθ ² .

В геодезических координатах легко проверить, что геодезические до нуля минимизируют длину. Тогда топология на римановом многообразии задается функцией расстояния d ( p , q ) , а именно точной гранью длин кусочно гладких путей между p и q . Это расстояние реализуется локально геодезическими, так что в нормальных координатах d (0, v ) = ‖ v ‖ . Если радиус δ берется достаточно мало, небольшое заострение показывают леммы Гаусса , что образ U диска ‖ об ‖ < δ при экспоненциальном отображении геодезический выпуклым , т.е. любых две точек U соединены уникальным геодезическим лжи полностью внутри U .

Теорема Эгрегиум

Гаусс Theorema Egregium , то «Замечательная теорема», показывает , что гауссова кривизну поверхности можно вычислить только в терминах метрики и, таким образом , внутренняя инвариант поверхности, независимо от любого изометрического вложения в Й ³ и неизменных при преобразовании координат . В частности, изометрии поверхностей сохраняют гауссову кривизну.

Эта теорема может быть выражена в терминах разложения метрики ds в степенной ряд , заданной в нормальных координатах ( u , v ) как

DS ² = ди ² + DV ² - К ( у Dv - против его ) ² /12 + ... .

Уравнение Гаусса – Якоби

Переход от нормальных координат в точке p к нормальным координатам в ближайшей точке q приводит к уравнению Штурма – Лиувилля, которому удовлетворяет H ( r , θ ) = G ( r , θ ) ^{1 ⁄ 2} , обнаруженное Гауссом и позднее обобщенное формулой Якоби ,

H rr = - KH

Якобиан этого координат при изменении ц равна H _г . Это дает еще один способ установить внутреннюю природу гауссовой кривизны. Поскольку H ( r , θ ) можно интерпретировать как длину линейного элемента в направлении θ , уравнение Гаусса – Якоби показывает, что гауссова кривизна измеряет распространение геодезических на геометрической поверхности по мере их удаления от точки.

Оператор Лапласа – Бельтрами

На поверхности с локальной метрикой

${\ displaystyle ds ^ {2} = E \, dx ^ {2} + 2F \, dx \, dy + G \, dy ^ {2}}$

и оператор Лапласа – Бельтрами

${\ displaystyle \ Delta f = {1 \ over H} \ left (\ partial _ {x} {G \ over H} \ partial _ {x} f- \ partial _ {x} {F \ over H} \ partial _ {y} f- \ partial _ {y} {F \ over H} \ partial _ {x} f + \ partial _ {y} {E \ over H} \ partial _ {y} f \ right),}$

где H ² = EG - F ² , гауссова кривизна в точке определяется формулой

${\ Displaystyle К = -3 \ lim _ {r \ rightarrow 0} \ Delta (\ log r),}$

где r обозначает геодезическое расстояние от точки.

В изотермических координатах , впервые рассмотренных Гауссом, требуется, чтобы метрика имела специальный вид

${\ displaystyle ds ^ {2} = e ^ {\ varphi} (dx ^ {2} + dy ^ {2}). \,}$

В этом случае оператор Лапласа – Бельтрами имеет вид

${\ displaystyle \ Delta = e ^ {- \ varphi} \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} { \ partial y ^ {2}}} \ right)}$

и φ удовлетворяет уравнению Лиувилля

${\ displaystyle \ Delta \ varphi = -2K. \,}$

Известно, что изотермические координаты существуют в окрестности любой точки на поверхности, хотя все доказательства на сегодняшний день опираются на нетривиальные результаты по уравнениям в частных производных . Для минимальных поверхностей существует элементарное доказательство.

Теорема Гаусса – Бонне.

На сфере или гиперболоиде площадь геодезического треугольника , то есть треугольника, все стороны которого являются геодезическими, пропорциональна разности суммы внутренних углов и π . Константа пропорциональности - это просто гауссова кривизна, постоянная для этих поверхностей. Для тора разница равна нулю, что отражает тот факт, что его гауссова кривизна равна нулю. Это стандартные результаты сферической, гиперболической и школьной тригонометрии (см. Ниже). Гаусс обобщил эти результаты на произвольную поверхность, показав, что интеграл гауссовой кривизны по внутренней части геодезического треугольника также равен этой угловой разнице или превышению. Его формула показала, что кривизна Гаусса может быть вычислена вблизи точки как предел площади над угловым превышением для геодезических треугольников, сужающихся к точке. Поскольку любую замкнутую поверхность можно разложить на геодезические треугольники, формулу можно также использовать для вычисления интеграла кривизны по всей поверхности. Как частный случай того, что сейчас называется теоремой Гаусса – Бонне , Гаусс доказал, что этот интеграл всегда был 2π, умноженным на целое число, топологический инвариант поверхности, называемый эйлеровой характеристикой . Этот инвариант легко вычислить комбинаторно, исходя из числа вершин, ребер и граней треугольников в разложении, также называемом триангуляцией . Это взаимодействие между анализом и топологией было предшественником многих более поздних результатов в геометрии, кульминацией которых стала теорема Атьи-Зингера об индексе . В частности, свойства кривизны накладывают ограничения на топологию поверхности.

Геодезические треугольники

Гаусс доказал, что если ∆ - геодезический треугольник на поверхности с углами α , β и γ в вершинах A , B и C , то

${\ displaystyle \ int _ {\ Delta} K \, dA = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi.}$

Фактически, принимая геодезические полярные координаты с началом A и AB , AC радиусы при полярных углах 0 и α :

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {\ Delta} K \, dA & = \ int _ {\ Delta} KH \, dr \, d \ theta = - \ int _ {0} ^ {\ alpha} \ int _ {0} ^ {r _ {\ theta}} \! H_ {rr} \, dr \, d \ theta \\ & = \ int _ {0} ^ {\ alpha} 1-H_ {r} ( r _ {\ theta}, \ theta) \, d \ theta = \ int _ {0} ^ {\ alpha} d \ theta + \ int _ {\ pi - \ beta} ^ {\ gamma} \! \! d \ varphi \\ & = \ alpha + \ beta + \ gamma - \ pi, \ end {align}}}$

где второе равенство следует из уравнения Гаусса – Якоби, а четвертое - из формулы производной Гаусса в ортогональных координатах ( r , θ ) .

Формула Гаусса показывает, что кривизна в точке может быть вычислена как предел превышения угла α + β + γ - π по площади для последовательно уменьшающихся геодезических треугольников около точки. Качественно поверхность имеет положительную или отрицательную кривизну по знаку превышения угла для сколь угодно малых геодезических треугольников.

Теорема Гаусса – Бонне.

Поскольку каждое компактное ориентированное двумерное многообразие M может быть триангулировано малыми геодезическими треугольниками, отсюда следует, что

${\ displaystyle \ int _ {M} KdA = 2 \ pi \, \ chi (M)}$

где χ ( M ) обозначает эйлерову характеристику поверхности.

Фактически, если имеется F граней, E ребер и V вершин, то 3 F = 2 E и левая часть равна 2π V - π F = 2π ( V - E + F ) = 2π χ ( M ) .

Это знаменитая теорема Гаусса – Бонне : она показывает, что интеграл от гауссовой кривизны является топологическим инвариантом многообразия, а именно эйлеровой характеристикой. Эту теорему можно интерпретировать по-разному; возможно, одной из самых далеко идущих стала теорема об индексе для эллиптического дифференциального оператора на M , один из простейших случаев теоремы Атьи-Зингера об индексе . Другой связанный результат, который может быть доказан с помощью теоремы Гаусса – Бонне, - это теорема Пуанкаре-Хопфа об индексах для векторных полей на M, которые обращаются в нуль только в конечном числе точек: сумма индексов в этих точках равна эйлеровой характеристике, где индекс точки определяется следующим образом: на маленьком круге вокруг каждого изолированного нуля векторное поле определяет отображение в единичный круг; индекс - это просто номер этой карты.)

Кривизна и вложения

Если гауссова кривизна поверхности М всюду положительна, то характеристика Эйлера положительна , так М гомеоморфно (и , следовательно , диффеоморфен) к S ² . Если, кроме того, поверхность изометрически вложена в E ³ , отображение Гаусса дает явный диффеоморфизм. Как заметил Адамар , в этом случае поверхность выпуклая ; этот критерий выпуклости можно рассматривать как двумерное обобщение известного критерия второй производной выпуклости плоских кривых. Гильберт доказал, что каждая изометрически вложенная замкнутая поверхность должна иметь точку положительной кривизны. Таким образом, замкнутое риманово 2-многообразие неположительной кривизны никогда не может быть вложено изометрически в E ³ ; однако, как показал Адриано Гарсиа, используя уравнение Бельтрами для квазиконформных отображений , это всегда возможно для некоторой конформно эквивалентной метрики.

Поверхности постоянной кривизны

В односвязные поверхности постоянной кривизны 0, +1 и -1 , являются евклидова плоскость, единичный шар в Е ³ , и гиперболической плоскости . Каждый из них имеет транзитивную трехмерную группу Ли сохраняющих ориентацию изометрий G , которую можно использовать для изучения их геометрии. Каждый из двух некомпактных поверхностей может быть идентифицирован с фактором G / K , где K является максимальной компактной подгруппой в G . Здесь K изоморфен SO (2) . Любое другое замкнутое риманово 2-многообразие M постоянной гауссовой кривизны, после масштабирования метрики постоянным множителем, если необходимо, будет иметь одну из этих трех поверхностей в качестве своего универсального накрывающего пространства . В ориентируемом случае фундаментальная группы Γ из M может быть идентифицирована с помощью кручения равномерной подгруппы из G и М могут быть идентифицированы с помощью двойного пространства смежного класса Γ \ G / K . В случае сферы и евклидовой плоскости единственными возможными примерами являются сама сфера и торы, полученные как частные R ² дискретными подгруппами ранга 2. Для замкнутых поверхностей рода г ≥ 2 , то пространство модулей римановых поверхностей получается как Γ пробегает все такие подгруппы, имеет вещественную размерность 6 г - 6 . По теореме Пуанкаре об униформизации любое ориентируемое замкнутое двумерное многообразие конформно эквивалентно поверхности постоянной кривизны 0, +1 или –1. Другими словами, путем умножения метрики положительным коэффициентом масштабирования, гауссова кривизна может быть сделано , чтобы принять ровно одно из этих значений (знаком Эйлера характеристики из М ).

Евклидова геометрия

В случае евклидовой плоскости группа симметрии - это группа евклидовых движений , полупрямое произведение двумерной группы перемещений на группу вращений. Геодезические - это прямые линии, а геометрия закодирована в элементарных формулах тригонометрии , таких как правило косинуса для треугольника со сторонами a , b , c и углами α , β , γ :

${\ displaystyle c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2} -2ab \, \ cos \ gamma.}$

Плоские торы могут быть получены путем факторизации R ² по решетке , т. Е. Свободной абелевой подгруппе ранга 2. Эти замкнутые поверхности не имеют изометрических вложений в E ³ . Тем не менее они допускают изометрические вложения в E ⁴ ; в простейшем случае это следует из того факта, что тор является произведением двух окружностей, и каждая окружность может быть изометрически вложена в E ² .

Сферическая геометрия

Группа изометрий единичной сферы S ² в Й ³ является ортогональной группой О (3) , с группой вращений SO (3) в качестве подгруппы изометрии , сохраняющей ориентацию. Это прямое произведение SO (3) с антиподальным отображением , отправляющее x в - x . Группа SO (3) действует транзитивно на S ² . Стабилизатор подгруппа единичного вектора (0,0,1) может быть идентифицирована с SO (2) , так что S ² = SO (3) / SO (2) .

Геодезические между двумя точками на сфере - дуги большого круга с данными конечными точками. Если точки не антиподы, между точками существует единственная кратчайшая геодезическая. Геодезические также могут быть описаны группой теоретически: каждая геодезическая через северный полюс (0,0,1) является орбитой подгруппы вращений вокруг оси через противоположные точки на экваторе.

Сферический треугольник является геодезическим треугольником на сфере. Он определяется точками A , B , C на сфере со сторонами BC , CA , AB, образованными дугами большого круга длиной меньше π . Если длины сторон равны a , b , c и углы между сторонами α , β , γ , то закон сферического косинуса утверждает, что

${\ displaystyle \ cos c = \ cos a \, \ cos b + \ sin a \, \ sin b \, \ cos \ gamma.}$

Площадь треугольника определяется выражением

Площадь = α + β + γ - π .

Используя стереографическую проекцию с северного полюса, сферу можно отождествить с расширенной комплексной плоскостью C ∪ {∞} . Явное отображение дается

${\ displaystyle \ pi (x, y, z) = {x + iy \ over 1-z} \ Equiv u + iv.}$

При этом соответствии каждое вращение S ² соответствует к трансформации Мёбиуса в SU (2) , единственно с точностью до знака. Относительно координат ( u , v ) на комплексной плоскости сферическая метрика принимает вид

${\ displaystyle ds ^ {2} = {4 (du ^ {2} + dv ^ {2}) \ over (1 + u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {2}}.}$

Единичная сфера - это единственная замкнутая ориентируемая поверхность постоянной кривизны +1. Фактор SO (3) / O (2) можно отождествить с действительной проективной плоскостью . Он неориентируемый и может быть описан как фактор S ² по антиподальному отображению (умножение на -1). Сфера односвязна, а вещественная проективная плоскость имеет фундаментальную группу Z ₂ . Эти конечные подгруппы SO (3) , соответствующие конечные подгруппы O (2) и группы симметрии платонических твердых веществ , не может свободно действовать на S ² , так что соответствующие факторы не являются 2-многообразием, просто орбифолдами .

Гиперболическая геометрия

Неевклидова геометрия впервые обсуждалась в письмах Гаусса, который провел обширные вычисления на рубеже девятнадцатого века, которые, несмотря на частное распространение, он решил не печатать. В 1830 г. Лобачевский и независимо в 1832 г. Бойяи , сын одного из корреспондентов Гаусса, опубликовали синтетические версии этой новой геометрии, за что подверглись резкой критике. Однако только в 1868 году Бельтрами, а затем Клейн в 1871 году и Пуанкаре в 1882 году дали конкретные аналитические модели для того, что Клейн назвал гиперболической геометрией . Появились четыре модели двумерной гиперболической геометрии:

• модель Бельтрами-Клейна ;
• диск Пуанкаре ;
• Пуанкаре верхней полуплоскости ;
• гиперболоид модель из Киллинг в 3-мерном пространстве Минковского .

Первая модель, основанная на диске, имеет то преимущество, что геодезические на самом деле являются отрезками прямых (то есть пересечениями евклидовых прямых с открытым единичным кругом). Последняя модель имеет то преимущество, что она дает конструкцию, полностью параллельную конструкции единичной сферы в трехмерном евклидовом пространстве. Однако из-за их применения в комплексном анализе и геометрии наиболее широко используются модели Пуанкаре: они взаимозаменяемы благодаря преобразованиям Мёбиуса между диском и верхней полуплоскостью.

Позволять

${\ Displaystyle D = \ {z \, \ двоеточие | z | <1 \}}$

- круг Пуанкаре на комплексной плоскости с метрикой Пуанкаре

${\ displaystyle ds ^ {2} = {4 (dx ^ {2} + dy ^ {2}) \ over (1-x ^ {2} -y ^ {2}) ^ {2}}.}$

В полярных координатах ( r , θ ) метрика задается формулой

${\ displaystyle ds ^ {2} = {4 (dr ^ {2} + r ^ {2} \, d \ theta ^ {2}) \ over (1-r ^ {2}) ^ {2}}. }$

Длина кривой γ : [ a , b ] → D определяется формулой

${\ displaystyle \ ell (\ gamma) = \ int _ {a} ^ {b} {2 | \ gamma ^ {\ prime} (t) | \, dt \ over 1- | \ gamma (t) | ^ { 2}}.}$

Группа G = SU (1,1), заданная формулой

${\ displaystyle G = \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ alpha & \ beta \\ {\ overline {\ beta}} & {\ overline {\ alpha}} \ end {pmatrix}}: \ alpha, \ бета \ in \ mathbf {C}, \, | \ alpha | ^ {2} - | \ beta | ^ {2} = 1 \ right \}}$

действует транзитивно преобразованиями Мёбиуса на D, а стабилизирующая подгруппа 0 является группой вращений

${\ displaystyle K = \ left \ {{\ begin {pmatrix} \ zeta & 0 \\ 0 & {\ overline {\ zeta}} \ end {pmatrix}}: \ zeta \ in \ mathbf {C}, \, | \ zeta | = 1 \ right \}.}$

Фактор - группа SU (1,1) / ± я это группа сохраняющих ориентацию изометрий D . Любые две точки z , w в D соединены уникальной геодезической, заданной частью окружности или прямой, проходящей через z и w и ортогональной граничной окружности. Расстояние между z и w определяется выражением

${\ displaystyle d (z, w) = 2 \ tanh ^ {- 1} {\ frac {| zw |} {| 1 - {\ overline {w}} z |}}.}$

В частности, d (0, r ) = 2 tanh ⁻¹ r и c ( t ) =1/2tanh t - геодезическая, проходящая через 0 вдоль вещественной оси, параметризованная длиной дуги.

Топология, определяемая этой метрикой, эквивалентна обычной евклидовой топологии, хотя как метрическое пространство ( D , d ) является полным.

Гиперболический треугольник является геодезическим треугольником для этой метрики: любые три точек в D являются вершинами гиперболического треугольника. Если стороны имеют длину a , b , c с соответствующими углами α , β , γ , то правило гиперболического косинуса утверждает, что

${\ Displaystyle \ сш с = \ сш а \, \ сш b- \ зп а \, \ зп б \, \ соз \ гамма.}$

Площадь гиперболического треугольника определяется выражением

Площадь = π - α - β - γ .

Единичный диск и верхняя полуплоскость

${\ Displaystyle Н = \ {вес = х + iy \, \ двоеточие \, y> 0 \}}$

конформно эквивалентны преобразованиями Мёбиуса

${\ displaystyle w = i {1 + z \ over 1-z}, \, \, z = {wi \ over w + i}.}$

При этом соответствии действия SL (2, R) с помощью преобразований Мёбиуса на H соответствует таковому SU (1,1) на D . Метрика на H принимает вид

${\ displaystyle ds ^ {2} = {dx ^ {2} + dy ^ {2} \ over y ^ {2}}.}$

Поскольку прямые или окружности сохраняются при преобразованиях Мёбиуса, геодезические снова описываются прямыми или окружностями, ортогональными действительной оси.

Единичный круг с метрикой Пуанкаре - это единственное односвязное ориентированное двумерное риманово многообразие постоянной кривизны −1. Любая ориентированная замкнутая поверхность M с этим свойством имеет D как универсальное накрывающее пространство. Его фундаментальная группа может быть отождествлена ​​с компактной подгруппой без кручения Γ группы SU (1,1) таким образом, что

${\ Displaystyle M = \ Gamma \ обратная косая черта G / K.}$

В этом случае Γ является конечно определенной группой . Генераторы и отношения кодируются в геодезический выпуклом фундаментальном геодезическом многоугольнике в D (или Н ) , что соответствуют геометрический замкнутым геодезическим на М .

Примеры .

• поверхность Больца рода 2;
• Клейн квартик рода 3;
• поверхность MacBeath рода 7;
• первых гурвицев триплет рода 14.

Униформа

Для ориентированной замкнутой поверхности M с гауссовой кривизной K метрика на M может быть изменена конформно, масштабируя ее в e ^{2 u раз} . Новая гауссова кривизна K ′ тогда определяется выражением

${\ Displaystyle К ^ {\ простое} (х) = е ^ {- 2u} (К (х) - \ Delta u),}$

где Δ - лапласиан исходной метрики. Таким образом, чтобы показать, что данная поверхность конформно эквивалентна метрике постоянной кривизны K ′, достаточно решить следующий вариант уравнения Лиувилля :

${\ displaystyle \ Delta u = K ^ {\ prime} e ^ {2u} + K (x).}$

Когда M имеет эйлерову характеристику 0, поэтому он диффеоморфен тору , K ′ = 0 , поэтому это сводится к решению

${\ displaystyle \ Delta u = K (x).}$

Согласно стандартной эллиптической теории это возможно, потому что интеграл от K по M равен нулю по теореме Гаусса – Бонне.

Когда M имеет отрицательную эйлерову характеристику, K ′ = −1 , поэтому решаемое уравнение:

${\ displaystyle \ Delta u = -e ^ {2u} + K (x).}$

Используя непрерывность экспоненциального отображения на пространство Соболева из - за Нил Трудингер , это нелинейное уравнение всегда может быть решено.

Наконец, в случае 2-сферы K ′ = 1, и уравнение принимает следующий вид:

${\ displaystyle \ Delta u = e ^ {2u} + K (x).}$

До сих пор это нелинейное уравнение не анализировалось напрямую, хотя классические результаты, такие как теорема Римана-Роха, подразумевают, что оно всегда имеет решение. Метод потока Риччи , разработанный Ричардом С. Гамильтоном , дает еще одно доказательство существования, основанное на нелинейных уравнениях в частных производных для доказательства существования. На самом деле Риччи поток на конформных метрик на S ² определяется на функции у ( х , т ) по

${\ displaystyle u_ {t} = 4 \ pi -K '(x, t) = 4 \ pi -e ^ {- 2u} (K (x) - \ Delta u).}$

Через конечное время Чоу показал, что K ' становится положительным; предыдущие результаты Гамильтона затем могут быть использованы, чтобы показать, что K ' сходится к +1. До получения этих результатов о потоке Риччи Осгуд, Филлипс и Сарнак (1988) предложили альтернативный и технически более простой подход к униформизации, основанный на потоке на римановой метрике g, определяемой как log det Δ _g .

Простое доказательство с использованием только эллиптических операторов, открытых в 1988 г., можно найти в Ding (2001) . Пусть G будет в функции Грина на S ² , удовлетворяющий Д G = 1 + 4л & delta ; _P , где δ _P является точкой измерения в фиксированной точке Р из S ² . Уравнение Δ v = 2 K - 2 имеет гладкое решение v , поскольку правая часть имеет интеграл 0 по теореме Гаусса – Бонне. Таким образом , ф = 2 G + V удовлетворяет условию Д ф = 2 K от P . Отсюда следует, что g ₁ = e ^φ g - полная метрика постоянной кривизны 0 на дополнении к P , которая, следовательно, изометрична плоскости. Компоновка с стереографической проекции , то отсюда следует , что существует гладкая функция U такая , что е ^{2 у} г имеет гауссова кривизна +1 на дополнении к P . Функция u автоматически продолжается до гладкой функции на всем S ² .

Риманова связь и параллельный транспорт

Классический подход Гаусса к дифференциальной геометрии поверхностей был стандартным элементарным подходом, который предшествовал появлению понятий риманова многообразия, инициированных Бернхардом Риманом в середине девятнадцатого века, и связи, разработанной Туллио Леви-Чивита , Эли Картаном и Германом. Вейля в начале ХХ века. Понятия связи, ковариантной производной и параллельного переноса дали более концептуальный и единообразный способ понимания кривизны, который не только позволил обобщить многообразия более высокой размерности, но также предоставил важный инструмент для определения новых геометрических инвариантов, называемых характеристическими классами . Подход с использованием ковариантных производных и связей в настоящее время принят в более продвинутых учебниках.

Ковариантная производная

Связи на поверхности можно определить с различных эквивалентных, но одинаково важных точек зрения. Риманова связность или связность Леви-Чивита . возможно, наиболее легко понять в терминах подъемных векторных полей , рассматриваемых как дифференциальные операторы первого порядка, действующие на функции на многообразии, до дифференциальных операторов на касательном расслоении или расслоении реперов . В случае вложенной поверхности подъем к оператору над векторными полями, называемый ковариантной производной , очень просто описывается в терминах ортогональной проекции. Действительно, векторное поле на поверхности, вложенной в R ^3, можно рассматривать как функцию от поверхности в R ³ . Другое векторное поле действует как дифференциальный оператор покомпонентно. Результирующее векторное поле не будет касаться поверхности, но это можно исправить, взяв его ортогональную проекцию на касательное пространство в каждой точке поверхности. Как осознали Риччи и Леви-Чивита на рубеже двадцатого века, этот процесс зависит только от метрики и может быть локально выражен в терминах символов Кристоффеля.

Параллельный транспорт

Параллельная транспортировка касательных векторов по кривой на поверхности была следующим крупным достижением в этой области, благодаря Леви-Чивите . Это связано с более ранним понятием ковариантной производной, потому что это Монодромия из обыкновенного дифференциального уравнения на кривойопределяемой ковариантной производной по отношению к вектору скорости кривой. Параллельный перенос по геодезическим, «прямым линиям» поверхности, также можно легко описать напрямую. Вектор в касательной плоскости переносится по геодезической как единственное векторное поле постоянной длины и составляющее постоянный угол с вектором скорости геодезической. Для общей кривой этот процесс должен быть изменен с использованием геодезической кривизны, которая измеряет, насколько кривая отклоняется от геодезической.

Векторное поле v ( t ) вдоль кривой единичной скорости c ( t ) с геодезической кривизной k _g ( t ) называется параллельным вдоль кривой, если

• он имеет постоянную длину
• угол θ ( t ), который он образует с вектором скорости ċ ( t ), удовлетворяет

${\ Displaystyle {\ точка {\ theta}} (т) = - к_ {г} (т)}$

Это повторяет правило параллельного переноса по геодезической или кусочно-геодезической кривой, потому что в этом случае k _g = 0 , так что угол θ ( t ) должен оставаться постоянным на любом геодезическом отрезке. Существование параллельного переноса следует из того, что θ ( t ) можно вычислить как интеграл геодезической кривизны. Так как он, следовательно, непрерывно зависит от L ² нормы k _g , отсюда следует, что параллельный перенос для произвольной кривой может быть получен как предел параллельного переноса на аппроксимирующих кусочно-геодезических кривых.

Таким образом, связь может быть описана в терминах подъемных путей в многообразии к путям в касательном или ортонормированном расслоении реперов, что формализует классическую теорию « движущейся системы отсчета », одобренную французскими авторами. Подъем петель вокруг точки порождает группу голономии в этой точке. Гауссова кривизна в точке может быть восстановлена ​​путем параллельного переноса вокруг все более мелких петель в точке. Эквивалентно кривизну можно вычислить непосредственно на бесконечно малом уровне в терминах скобок Ли поднятых векторных полей.

Подключение 1-форма

Подход Картанна и Г. Вейля, используя подключение 1-формы на раму пачку из М , дает третий способ понять риманов связи. Они заметили, что параллельный перенос требует, чтобы путь на поверхности поднимался до пути в связке кадров так, чтобы его касательные векторы лежали в специальном подпространстве коразмерности один в трехмерном касательном пространстве связки кадров. Проекция на это подпространство определяется дифференциальной 1-формой на пучке ортонормированных реперов, формой связности . Это позволило кодировать свойства кривизны поверхности в дифференциальных формах на связке кадров и формулах, включающих их внешние производные .

Этот подход особенно прост для заделанной поверхности. Благодаря результату Кобаяши (1956) , 1-форма связности на поверхности, вложенной в евклидово пространство E ^3, является просто обратным ходом при отображении Гаусса 1-формы связности на S ² . Используя отождествление S ² с однородным пространством SO (3) / SO (2) , 1-форма связности является просто компонентом 1-формы Маурера – Картана на SO (3) .

Глобальная дифференциальная геометрия поверхностей

Несмотря на то характеристика кривизны включает в себя только локальную геометрию поверхности, существует важные глобальные аспекты , такие как Гаусс-Бонн теорема , по теореме униформизации , теоремы Мангольдта-Адамар, и теорема вложимости. Есть и другие важные аспекты глобальной геометрии поверхностей. Это включает:

• Радиус приемности , определяемый как наибольшее значение r , при котором две точки на расстоянии меньше r соединяются уникальной геодезической. Вильгельм Клингенберг в 1959 году доказал, что радиус инъективности замкнутой поверхности ограничен снизу минимумом δ =π/√ sup Kи длина ее наименьшей замкнутой геодезической. Это улучшило теорему Бонне, который в 1855 г. показал, что диаметр замкнутой поверхности положительной гауссовой кривизны всегда ограничен сверху величиной δ ; другими словами, геодезическая, реализующая метрическое расстояние между двумя точками, не может иметь длину больше δ .
• Жесткость . В 1927 году Кон-Фоссен доказал, что два овалоида - замкнутые поверхности с положительной гауссовой кривизной - которые изометричны, обязательно конгруэнтны по изометрии E ³ . Более того, замкнутая вложенная поверхность с положительной гауссовой кривизной и постоянной средней кривизной обязательно является сферой; аналогично замкнутая вложенная поверхность постоянной гауссовой кривизны должна быть сферой (Liebmann 1899). Хайнц Хопф показал в 1950 году, что замкнутая вложенная поверхность с постоянной средней кривизной и родом 0, т. Е. Гомеоморфная сфере, обязательно является сферой; пять лет спустя Александров снял топологическое предположение. В 1980-х годах Венте построил погруженные торы постоянной средней кривизны в евклидовом трехмерном пространстве.
• Гипотеза Каратеодори : эта гипотеза утверждает, что замкнутая выпуклая трижды дифференцируемая поверхность допускает по крайней мере две омбилические точки . Первая работа над этой гипотезой была в 1924 году Гансом Гамбургером , который отметил, что она следует из следующего более сильного утверждения: полуцелозначный индекс основного слоения кривизны изолированной омбилики не превосходит единицы.
• Нулевая гауссова кривизна : полная поверхность в E ³ с нулевой гауссовой кривизной должна быть цилиндром или плоскостью.
• Теорема Гильберта (1901): никакая полная поверхность с постоянной отрицательной кривизной не может быть изометрически погружена в E ³ .

• Гипотеза Уиллмора . Эта гипотеза утверждает, что интеграл от квадрата средней кривизны тора, погруженного в E ^3, должен быть ограничен снизу величиной 2π ² . Известно, что интеграл инвариант Мебиуса. Ее решили в 2012 году Фернандо Кода Маркес и Андре Невес .
• Изопериметрические неравенства . В 1939 году Шмидт доказал, что классическое изопериметрическое неравенство для кривых в евклидовой плоскости справедливо также на сфере или в гиперболической плоскости: а именно, он показал, что среди всех замкнутых кривых, ограничивающих область фиксированной площади, периметр минимизируется, когда кривая круг для метрики. В одном измерении выше известно, что среди всех замкнутых поверхностей в E ^3, возникающих как граница ограниченной области единичного объема, площадь поверхности минимизирована для евклидова шара.
• Систолические неравенства для кривых на поверхностях . Учитывая замкнутую поверхность, ее систола определяется как наименьшая длина любой несжимаемой замкнутой кривой на поверхности. В 1949 г. Лёвнер доказал торическое неравенство для метрик на торе, а именно, что площадь тора над квадратом его систолы ограничена снизу величиной√ 3/2, с равенством в плоском (постоянная кривизна) случае. Аналогичный результат дает неравенство Пу для вещественной проективной плоскости 1952 г. с оценкой снизу2/πтакже достигается в случае постоянной кривизны. Для бутылки Клейна Блаттер и Бавард позже получили нижнюю границу√ 8/π. Для замкнутой поверхности рода g Хебда и Бураго показали, что отношение ограничено снизу величиной1/2. Три года спустя Михаил Громов нашел нижнюю границу, заданную постоянным умножением на g ^{1 ⁄ 2} , хотя это не оптимально. Асимптотически точные верхняя и нижняя границы, заданные постоянными временамиграмм/(журнал г ) ²принадлежат Громову и Бузеру-Сарнаку и могут быть найдены у Каца (2007) . Также существует вариант для метрики на сфере, взяв за систолу длину наименьшей замкнутой геодезической . Громов предположил нижнюю оценку1/2 √ 3 в 1980 г .: лучший результат - нижняя граница 1/8 получена Региной Ротман в 2006 году.

Руководство по чтению

Один из наиболее полных вводных обзоров предмета, показывающий историческое развитие от периода до Гаусса до наших дней, сделан Бергером (2004) . Изложение классической теории дано в Eisenhart (2004) , Kreyszig (1991) и Struik (1988) ; более современные, обильно иллюстрированные учебники для бакалавров, написанные Греем, Аббеной и Саламоном (2006) , Прессли (2001) и Уилсоном (2008), могут оказаться более доступными. Доступное изложение классической теории можно найти в Hilbert & Cohn-Vossen (1952) . Более сложные методы лечения на уровне выпускников с использованием римановой связи на поверхности можно найти у Singer & Thorpe (1967) , do Carmo (2016) и O'Neill (2006) .

Смотрите также

• Плоскость (математика)
• Касательный вектор
• Zoll поверхность

Примечания

использованная литература

• Эндрюс, Бен; Брайан, Пол (2010), "Границы кривизны путем изопериметрического сравнения для нормализованного потока Риччи на двумерной сфере", Calc. Вар. Уравнения в частных производных , 39 (3–4): 419–428, arXiv : 0908.3606 , doi : 10.1007 / s00526-010-0315-5
• Арнольд В.И. (1989), Математические методы классической механики , Graduate Texts in Mathematics, 60 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90314-9; перевод с русского К. Фогтманна и А. Вайнштейна.
• Бергер, Марсель (2004), Панорамный вид римановой геометрии , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65317-2
• Бергер, Мелвин С. (1977), Нелинейность и функциональный анализ , Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
• Бонола, Роберто; Карслав, HS; Энрикес, Ф. (1955), Неевклидова геометрия: критическое и историческое исследование ее развития , Дувр, ISBN 978-0-486-60027-7
• Бутби, Уильям М. (1986), Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию , Чистая и прикладная математика, 120 (2-е изд.), Academic Press, ISBN 0121160521
• Картан, Эли (1983), Геометрия римановых пространств , Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-34-7; переведено из 2-го издания Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann (1951) Джеймса Глейзбрука.
• Картан, Эли (2001), Риманова геометрия в ортогональной системе отсчета (из лекций, прочитанных Э Картаном в Сорбонне в 1926-1927 гг.) (PDF) , World Scientific, ISBN 978-981-02-4746-1; перевод с русского В. В. Гольдберга с предисловием С. С. Черна .
• Картан, Анри (1971), Calcul Differentiel (на французском языке), Герман , ISBN 9780395120330
• Чен, Xiuxiong; Лу, Пэн; Тиан, Ганг (2006), "Замечание об униформизации римановых поверхностей потоком Риччи", Proc. АМС , 134 (11): 3391-3393, DOI : 10,1090 / S0002-9939-06-08360-2
• Черн, С.С. (1967), Кривые и поверхности в евклидовых пространствах , Исследования MAA по математике, Математическая ассоциация Америки
• Чоу Б. (1991), "Поток Риччи на двумерной сфере", J. Diff. Геом. , 33 (2): 325-334, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214446319
• Курант, Ричард (1950), принцип Дирихле, конформное отображение и минимальные поверхности , John Wiley & Sons, ISBN 978-0-486-44552-6
• Дарбу, Гастон , Leçons sur la théorie générale des поверхностей , Готье-Виллар Том I (1887) , Том II (1915) [1889] , Том III (1894) , Том IV (1896) .
• Динг, В. (2001), "Доказательство теоремы униформизации на S ² ", J. Partial Differential Equations , 14 : 247–250.
• ду Карму, Манфредо П. (2016), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (пересмотренное и обновленное 2-е изд.), Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-80699-5
• ду Карму, Манфредо (1992), Риманова геометрия , Математика: теория и приложения, Биркхойзер, ISBN 0-8176-3490-8
• Эйзенхарт, Лютер Пфалер (2004), Трактат о дифференциальной геометрии кривых и поверхностей (перепечатка издания 1909 года), Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-43820-1
• Эйлер, Леонард (1760 г.), « Исследования по курбюру поверхностей» , Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin (опубликовано в 1767 г.), 16 : 119–143.
• Эйлер, Леонард (1771 г.), «De solidis quorum superficiem in planum explicare licet» , Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae (опубликовано в 1772 г.), 16 : 3–34.
• Гаусс, Карл Фридрих (1902), Общие исследования криволинейных поверхностей 1825 и 1827 годов , Библиотека Принстонского университетаперевод AM Hiltebeitel и JC Morehead; "Disquisitiones generales около superficies curvas" , Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores Vol. VI (1827), стр. 99–146.
  • Гаусс, Карл Фридрих (1965), Общие исследования криволинейных поверхностей , перевод AM Hiltebeitel; JC Morehead, Hewlett, NY: Raven Press, OCLC  228665499.
  • Гаусс, Карл Фридрих (2005), Общие исследования криволинейных поверхностей , отредактированный с новым введением и примечаниями Питера Пешича, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications, ISBN 978-0-486-44645-5.
• Грей, Альфред; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica® , Исследования по высшей математике (3-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC, ISBN 978-1-58488-448-4
• Хан, Цин; Хун, Цзя-Син (2006), Изометрическое вложение римановых многообразий в евклидовы пространства , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4071-9
• Хелгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия ， Группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, Нью-Йорк, ISBN 978-0-12-338460-7
• Гильберт, Дэвид ; Кон-Фоссен, Стефан (1952), Геометрия и воображение (2-е изд.), Нью-Йорк: Челси, ISBN 978-0-8284-1087-8
• Хитчин, Найджел (2013), Геометрия поверхностей (PDF)
• Хопф, Хайнц (1989), Лекции по дифференциальной геометрии в целом , Лекционные заметки по математике, 1000 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-51497-8
• Imayoshi, Y .; Танигучи, М. (1992), Введение в пространства Техмюллера , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-70088-5
• Ivey, Thomas A .; Ландсберг, Дж. М. (2003), Картан для начинающих: дифференциальная геометрия с помощью движущихся рамок и внешних систем , Аспирантура по математике, 61 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3375-9
• Кац, Михаил Г. (2007), Систолическая геометрия и топология , Математические обзоры и монографии, 137 , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4177-8
• Кобаяси, Шошичи (1956), «Индуцированные связи и вложенное риманово пространство», Nagoya Math. J. , 10 : 15-25, DOI : 10,1017 / S0027763000000052
• Kobayashi, Shoshichi (1957), "Теория связи", Annali ди Matematica Pura эд Applicata , серия 4, 43 : 119-194, DOI : 10.1007 / BF02411907,
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1963), Основы дифференциальной геометрии, т. Я , Wiley Interscience, ISBN 978-0-470-49648-0
• Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1969), Основы дифференциальной геометрии, т. II , Wiley Interscience, ISBN 978-0-470-49648-0
• Крейсциг, Эрвин (1991), Дифференциальная геометрия , Дувр, ISBN 978-0-486-66721-8
• Кюнель, Вольфганг (2006), Дифференциальная геометрия: кривые - поверхности - многообразия , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3988-1
• Леви-Чивита, Туллио (1917), "Nozione di parallelismo in una varietà qualunque" (PDF) , Rend. Circ. Мат. Палермо , 42 : 173-205, DOI : 10.1007 / BF03014898
• О'Нил, Барретт (2006), Элементарная дифференциальная геометрия (пересмотренное 2-е изд.), Амстердам: Elsevier / Academic Press, ISBN 0-12-088735-5
• Осгуд, Б .; Phillips, R .; Сарнак, П. (1988), "Экстремали определителей лапласианов", J. Funct. Анальный. , 80 : 148-211, DOI : 10,1016 / 0022-1236 (88) 90070-5
• Оссерман, Роберт (2002), Обзор минимальных поверхностей , Дувр, ISBN 978-0-486-49514-9
• Ян Р. Портеус (2001) « Геометрическая дифференциация: интеллектуальность кривых и поверхностей» , Cambridge University Press, ISBN  0-521-00264-8 .
• Прессли, Эндрю (2001), Элементарная дифференциальная геометрия , серия Springer для студентов-математиков, Springer-Verlag, ISBN 978-1-85233-152-8
• Sacks, J .; Уленбек, Карен (1981), "Существование минимальных погружений 2-сфер", Ann. математики. , 112 (1): 1-24, DOI : 10,2307 / 1971131 , JSTOR  1971131
• Певец, Исадор М .; Торп, Джон А. (1967), Конспект лекций по элементарной топологии и геометрии , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90202-9
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях. Современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления , В. А. Бенджамин
• Стиллвелл, Джон (1996), Источники гиперболической геометрии , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-0558-9
• Струик, Дирк (1987), Краткая история математики (4-е изд.), Dover Publications, ISBN 0486602559
• Струик, Дирк Дж. (1988), Лекции по классической дифференциальной геометрии (перепечатка 2-го изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., ISBN 0-486-65609-8
• Тейлор, Майкл Э. (1996a), Уравнения в частных производных II: Качественные исследования линейных уравнений , Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-7051-0
• Тейлор, Майкл Э. (1996b), Уравнения в частных производных III: Нелинейные уравнения , Springer-Verlag, ISBN 978-1-4419-7048-0
• Торп, Джон А. (1994), Элементарные темы в дифференциальной геометрии , Тексты для студентов по математике, Springer-Verlag, ISBN 0387903577
• Топоногов, Виктор А. (2005), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: Краткое руководство , Springer-Verlag, ISBN 978-0-8176-4384-3
• Валирон, Жорж (1986), Классическая дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Math Sci Press, ISBN 978-0-915692-39-2 Полный текст книги
• Уорнер, Франк В. (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Тексты для выпускников по математике, 94 , Springer, ISBN 0-387-90894-3
• Уэллс, РО (2017), Дифференциальная и сложная геометрия: истоки, абстракции и вложения , Springer, ISBN 9783319581842
• Уилсон, Пелхам (2008), искривленное пространство: от классической геометрии к элементарной дифференциальной геометрии , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71390-0

внешние ссылки

• СМИ, связанные с дифференциальной геометрией поверхностей на Викискладе?