Развитие (дифференциальная геометрия) - Development (differential geometry)

В классической дифференциальной геометрии , разработка относится к простой идее прокатки одну гладкой поверхности над другим в евклидове пространства . Например, касательную плоскость к поверхности (такой как сфера или цилиндр ) в одной точке можно катить по поверхности, чтобы получить касательную плоскость в других точках.

Свойства

Тангенциальный контакт между поверхностями, катящимися друг по другу, обеспечивает связь между точками на двух поверхностях. Если это отношение (возможно, только в локальном смысле) является взаимно однозначным соответствием между поверхностями, то говорят, что эти две поверхности могут разворачиваться друг на друга или развиваться друг на друга. Иными словами, соответствие обеспечивает локальную изометрию между двумя поверхностями.

В частности, если одна из поверхностей является плоскостью, тогда другая называется развертывающейся поверхностью : таким образом, развертывающаяся поверхность - это поверхность, которая локально изометрична плоскости. Цилиндр разворачивающийся, а шар - нет.

Плоские соединения

Дальнейшее развитие можно обобщить, используя плоские соединения. С этой точки зрения катание касательной плоскости по поверхности определяет аффинное соединение на поверхности (это дает пример параллельного переноса по кривой ), а разворачивающаяся поверхность - это поверхность, для которой это соединение является плоским.

В более общем плане любая плоская картановская связность на многообразии определяет развертывание этого многообразия на пространство модели . Возможно, самый известный пример - это разработка конформно плоских n -многообразий, в которых модельное пространство является n- сферой. Развитие конформно плоское многообразия является конформным локальным диффеоморфизмом из универсального накрытия многообразия в п -сферу.

Неразвивающиеся поверхности

К классу поверхностей двойной кривизны (неразвертываемые поверхности) относятся объекты, которые нельзя просто развернуть (развернуть). Такие поверхности можно развить только приближенно с некоторыми искажениями линейных элементов поверхности (см. Метод растянутой сетки ).

Смотрите также

• Развивающаяся поверхность
• Линейчатая поверхность

Ссылки

• Шарп, RW (1997). Дифференциальная геометрия: Картановское обобщение программы Клейна Эрлангена . Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк. ISBN 0-387-94732-9.