Локальный диффеоморфизм - Local diffeomorphism

В математике , точнее в дифференциальной топологии , локальный диффеоморфизм интуитивно представляет собой отображение между гладкими многообразиями , сохраняющее локальную дифференцируемую структуру . Формальное определение локального диффеоморфизма дается ниже.

Формальное определение

Пусть и - дифференцируемые многообразия . функция ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

{\ displaystyle f: от X \ до Y}

является локальным диффеоморфизмом , если для каждой точки существует открытое множество, содержащее такое, что

{\ displaystyle x \ in X}

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle x,}

{\ displaystyle f (U)}

открыт в и

{\ displaystyle Y}

{\ displaystyle f | _ {U}: от U \ до f (U)}

является диффеоморфизмом .

Локальный диффеоморфизм представляет собой частный случай погружения , где

изображение из под локально имеет дифференциальную структуру подмногообразия в Тогда и может иметь более низкое , чем измерение

{\ displaystyle f: от X \ до Y,}

{\ displaystyle f (U)}

{\ displaystyle U}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle Y.}

{\ displaystyle f (U)}

{\ displaystyle X}

{\ displaystyle Y.}

Обсуждение

Например, даже если все многообразия выглядят локально одинаково (как и некоторые ) в топологическом смысле, естественно спросить, ведут ли их дифференцируемые структуры локально одинаково. Например, можно наложить два различные

дифференцируемые структуры на этой марке в дифференцируемое многообразие, но обе структуры не локально диффеоморфна (см . Ниже) Хотя локальные диффеоморфизмы локально сохраняют дифференцируемую структуру, необходимо иметь возможность «заделать» эти (локальные) диффеоморфизмы, чтобы гарантировать, что область является всем (гладким) многообразием . Например, не может быть глобального диффеоморфизма 2-сферы в 2-евклидово пространство, хотя они действительно имеют одинаковую локальную дифференцируемую структуру. Это потому, что все локальные диффеоморфизмы непрерывны , непрерывный образ компактного пространства компактен, сфера компактна, а евклидово 2-пространство - нет.

{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}

{\ displaystyle n}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

Характеристики

Каждый локальный диффеоморфизм также является локальным гомеоморфизмом и, следовательно, открытым отображением .
Локальный диффеоморфизм имеет постоянный ранг в ${\ displaystyle n.}$
Диффеоморфизм является биективен локальным диффеоморфизмом.
Гладкое накрытие является локальным диффеоморфизмом таким образом, что каждая точка цели имеет окрестность , которая равномерно покрыт на карте.
Согласно теореме об

обратной функции , гладкое отображение является локальным диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда производная является линейным изоморфизмом для всех точек. Обратите внимание, что это означает, что и она должна иметь одинаковую размерность.

{\ displaystyle f: M \ to N}

{\ displaystyle Df_ {p}: T_ {p} M \ to T_ {f (p)} N}

{\ displaystyle p \ in M.}

{\ displaystyle M}

{\ displaystyle N}

Диффеоморфизмы локальных потоков

Смотрите также

Инвариантность области - теорема в топологии о гомеоморфных подмножествах евклидова пространства
Симметрии пространства-времени

использованная литература

Мичор, Питер В. (2008), Темы по дифференциальной геометрии , Аспирантура по математике , 93 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2003-2, MR 2428390.

Languages

In other projects