Сложный кобордизм - Complex cobordism

В математике комплекс кобордизм является обобщенной теорией когомологий , связанной с кобордизмам из многообразия . Его спектр обозначен MU. Это исключительно мощная теория когомологий , но ее довольно сложно вычислить, поэтому часто вместо того, чтобы использовать ее напрямую, используются некоторые немного более слабые теории, полученные из нее, такие как когомологии Брауна – Петерсона или K-теория Моравы , которые легче вычислить. .

Теории обобщенных гомологий и когомологий комплексных кобордизмов были введены Майклом Атьей ( 1961 ) с использованием спектра Тома .

Спектр сложных кобордизмов

Комплексный бордизм пространства - это, грубо говоря, группа классов бордизмов многообразий над с комплексной линейной структурой на стабильном нормальном расслоении . Комплексный бордизм - это обобщенная теория гомологий , соответствующая спектру MU, который можно явно описать в терминах пространств Тома следующим образом. ${\ displaystyle MU ^ {*} (X)}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$

Пространство является пространством Тома универсальной -плоскости расслоения над сортировочным пространством в унитарных группы . Естественное включение из в индуцирует отображение двойного подвешивания в . Вместе эти карты дают спектр ; а именно, это Гомотопический копредел из . ${\ Displaystyle MU (п)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle BU (п)}$ ${\ Displaystyle U (п)}$ ${\ Displaystyle U (п)}$ ${\ Displaystyle U (п + 1)}$ ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {2} MU (п)}$ ${\ Displaystyle MU (п + 1)}$ ${\ displaystyle MU}$ ${\ Displaystyle MU (п)}$

Примеры: сферический спектр. является desuspension из . ${\ displaystyle MU (0)}$ ${\ displaystyle MU (1)}$ ${\ Displaystyle \ Sigma ^ {\ infty -2} \ mathbb {CP} ^ {\ infty}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {\ infty}}$

Теорема о нильпотентности утверждает, что для любого кольцевого спектра ядро состоит из нильпотентных элементов. Из теоремы, в частности, следует, что если - спектр сферы, то для любого любой элемент из нильпотентен (теорема Горо Нисиды ). (Доказательство: если в , то есть кручение , но его образ , в кольце Лазар , не может быть кручение , так как это кольцо многочленов Таким образом,. Должно быть в ядре.) ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ pi _ {*} R \ to \ operatorname {MU} _ {*} (R)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle n> 0}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {п} \ mathbb {S}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ pi _ {n} S}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ OperatorName {MU} _ {*} (\ mathbb {S}) \ simeq L}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle x}$

Формальные групповые законы

Джон Милнор ( 1960 ) и Сергей Новиков ( 1960 , 1962 ) показали, что кольцо коэффициентов (равное комплексному кобордизму точки или, что эквивалентно, кольцо классов кобордизмов стабильно комплексных многообразий) является кольцом многочленов на бесконечном числе образующих положительного даже градусы. ${\ displaystyle \ pi _ {*} (\ operatorname {MU})}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [x_ {1}, x_ {2}, \ ldots]}$ ${\ displaystyle x_ {i} \ in \ pi _ {2i} (\ operatorname {MU})}$

Запись для бесконечномерного комплексного проективного пространства , которое является классифицирующим пространством для комплексных линейных расслоений, так что тензорное произведение линейных расслоений индуцирует отображение A комплексную ориентация на ассоциативном коммутативном кольцо спектра Е представляет собой элемент х в ограничении которого на 1, если последнее кольцо идентифицируется с коэффициентом кольца Е . Спектр E с таким элементом x называется комплексным ориентированным кольцевым спектром . ${\ Displaystyle \ mathbb {CP} ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle \ mu: \ mathbb {CP} ^ {\ infty} \ times \ mathbb {CP} ^ {\ infty} \ to \ mathbb {CP} ^ {\ infty}.}$ ${\ Displaystyle E ^ {2} (\ mathbb {CP} ^ {\ infty})}$ ${\ Displaystyle E ^ {2} (\ mathbb {CP} ^ {1})}$

Если E - комплексно ориентированный кольцевой спектр, то

{\ Displaystyle E ^ {*} (\ mathbb {CP} ^ {\ infty}) = E ^ {*} ({\ text {point}}) [[x]]}

{\ displaystyle E ^ {*} (\ mathbb {CP} ^ {\ infty}) \ times E ^ {*} (\ mathbb {CP} ^ {\ infty}) = E ^ {*} ({\ text { точка}}) [[x \ otimes 1,1 \ otimes x]]}

и является формальным групповым законом над кольцом . ${\ displaystyle \ mu ^ {*} (x) \ in E ^ {*} ({\ text {point}}) [[x \ otimes 1,1 \ otimes x]]}$ ${\ displaystyle E ^ {*} ({\ text {point}}) = \ pi ^ {*} (E)}$

Сложный кобордизм имеет природную комплексную направленность. Дэниел Квиллен ( 1969 ) показал, что существует естественный изоморфизм его кольца коэффициентов универсальному кольцу Лазара , превращая формальный групповой закон комплексного кобордизма в универсальный формальный групповой закон. Другими словами, для любого формального группового закона F над любым коммутативным кольцом R существует единственный кольцевой гомоморфизм из MU ^* (точка) в R такой, что F является обратным вызовом формального группового закона комплексного кобордизма.

Когомологии Брауна – Петерсона

Комплексный кобордизм над рациональными числами можно свести к обычным когомологиям над рациональными числами, поэтому основной интерес представляет кручение комплексных кобордизмов. Часто проще изучать кручение по одному простому числу за раз, локализуя MU в простом p ; грубо говоря, это означает, что простое кручение убивается с p . Локализация MU _p группы MU в простом p расщепляется как сумма надстроек более простой теории когомологий, называемой когомологиями Брауна – Петерсона , впервые описанных Brown & Peterson (1966) . На практике часто вычисления проводятся с когомологиями Брауна – Петерсона, а не с комплексными кобордизмами. Знание когомологий Брауна – Петерсона пространства для всех простых чисел p примерно эквивалентно знанию его комплексного кобордизма.

Классы Коннера – Флойда

Кольцо изоморфно кольцу формальных степенных рядов, элементы cf которого называются классами Коннера – Флойда. Они являются аналогами классов Черна для комплексных кобордизмов. Их представили Коннер и Флойд (1966) . ${\ displaystyle \ operatorname {MU} ^ {*} (BU)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {MU} ^ {*} ({\ text {point}}) [[cf_ {1}, cf_ {2}, \ ldots]]}$

Аналогично изоморфно кольцу многочленов ${\ displaystyle \ operatorname {MU} _ {*} (BU)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {MU} _ {*} ({\ text {point}}) [[\ beta _ {1}, \ beta _ {2}, \ ldots]]}$

Когомологические операции

Алгебра Хопфа MU _* (MU) изоморфна алгебре многочленов R [b ₁ , b ₂ , ...], где R - приведенное кольцо бордизмов 0-сферы.

Копродукт дается

{\ displaystyle \ psi (b_ {k}) = \ sum _ {i + j = k} (b) _ {2i} ^ {j + 1} \ otimes b_ {j}}

где обозначение () _{2 i} означает взять кусок степени 2 i . Это можно интерпретировать следующим образом. Карта

{\ displaystyle x \ to x + b_ {1} x ^ {2} + b_ {2} x ^ {3} + \ cdots}

является непрерывным автоморфизмом кольца формальных степенных рядов по x , а копроизведение MU _* (MU) дает композицию двух таких автоморфизмов.

Смотрите также

Ноты

использованная литература

Адамс, Дж. Франк (1974), Стабильная гомотопия и обобщенная гомология , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00524-9
Атья, Майкл Фрэнсис (1961), «Бордизм и кобордизм», Proc. Cambridge Philos. Soc. , 57 (2): 200-208, Bibcode : 1961PCPS ... 57..200A , DOI : 10,1017 / S0305004100035064 , МР 0126856
Браун, Эдгар Х., младший ; Петерсон, Франклин П. (1966), "Спектр, когомология которого является алгеброй приведенных p- ^х степеней", Топология , 5 (2): 149–154, DOI : 10.1016 / 0040-9383 (66) 90015-2 , MR 0192494 ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ .
Коннер, Пьер Э .; Флойд, Эдвин Э. (1966), Связь кобордизма с K-теориями , Лекционные заметки по математике, 28 , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / BFb0071091 , ISBN 978-3-540-03610-4 , Руководство по ремонту 0216511
Милнор, Джон (1960), "О кобордизмов и комплексный аналог, часть I", Американский журнал математики , 82 (3): 505-521, DOI : 10,2307 / 2372970 , JSTOR 2372970 ${\ displaystyle \ Omega _ {*}}$
Морава, Джек (2007). «Комплексный кобордизм и алгебраическая топология». arXiv : 0707.3216 [ math.HO ].
Новиков, Сергей П. (1960), "Некоторые вопросы топологии многообразий, связанные с теорией пространств Тома", Изв. Докл. , 1 : 717–720 . Перевод "О некоторых задачах топологии разнообразий, связанных с теорией пространств Тома", Доклады Академии Наук СССР , 132 (5): 1031–1034, MR 0121815 , Zbl 0094.35902 .
Новиков, Сергей П. (1962), "Гомотопические свойства комплексов Тома.", Матем. Сб. , Новая серия, 57 : 407–442, MR 0157381
Куиллен, Дэниел (1969), "О формальных групповых законах теории неориентированных и сложных кобордизмов", Бюллетень Американского математического общества , 75 (6): 1293–1298, DOI : 10.1090 / S0002-9904-1969-12401-8 , Руководство по ремонту 0253350 .
Равенел, Дуглас К. (1980), «Комплексный кобордизм и его приложения к теории гомотопий» , Труды Международного конгресса математиков (Хельсинки, 1978) , 1 , Хельсинки: Акад. Sci. Fennica, стр. 491–496, ISBN 978-951-41-0352-0 , Руководство по ремонту 0562646
Равенел, Дуглас К. (1988), "Теория комплексных кобордизмов для теоретиков чисел", Эллиптические кривые и модулярные формы в алгебраической топологии , Лекционные заметки по математике, 1326 , Берлин / Гейдельберг: Springer, стр. 123–133, doi : 10.1007 / BFb0078042 , ISBN 978-3-540-19490-3 , ISSN 1617-9692
Равенел, Дуглас С. (2003), Комплексный кобордизм и стабильные гомотопические группы сфер (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2967-7 , Руководство по ремонту 0860042
Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], «Кобордизм» , Энциклопедия математики , EMS Press
Стонг, Роберт Э. (1968), Заметки по теории кобордизма , Princeton University Press
Тома, Рене (1954), "Quelques Globales Свойства Варьете différentiables" , Commentarii Mathematici Helvetici , 28 : 17-86, DOI : 10.1007 / BF02566923 , МР 0061823

внешние ссылки

Комплексный бордизм в атласе многообразия
теория когомологий кобордизмов в nLab

Languages

In other projects