Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера - Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

В математике , то гипотеза Березы и Swinnerton-Дайер описывает множество рациональных решений для уравнений , определяющих эллиптические кривой . Это открытая проблема в области теории чисел, которая широко признана одной из самых сложных математических проблем. Он назван в честь математиков Брайана Джона Берча и Питера Суиннертон-Дайера , которые разработали гипотезу в первой половине 1960-х годов с помощью машинных вычислений. По состоянию на 2021 год доказаны только частные случаи гипотезы.

Современная формулировка гипотезы связывает арифметические данные, связанные с эллиптической кривой E над числовым полем K, с поведением L -функции Хассе – Вейля L ( E ,  s ) кривой E при s  = 1. Более конкретно, это гипотеза. что ранг из абелева группы E ( K ) точек Е есть порядок нуля L ( E ,  s ) при х = 1, а первый ненулевой коэффициент в разложении Тейлора из L ( E ,  s ) при s = 1 дается более точными арифметическими данными, прикрепленными к E над K ( Wiles, 2006 ).

Гипотеза была выбрана в качестве одной из семи задач Премии тысячелетия, перечисленных Институтом математики Клэя , который предложил приз в размере 1 000 000 долларов за первое правильное доказательство.

Фон

Морделл (1922) доказал теорему Морделла : группа рациональных точек эллиптической кривой имеет конечный базис . Это означает, что для любой эллиптической кривой существует конечное подмножество рациональных точек на кривой, из которых могут быть сгенерированы все дальнейшие рациональные точки.

Если количество рациональных точек на кривой бесконечно, то некоторая точка в конечном базисе должна иметь бесконечный порядок. Число независимых базисных точек с бесконечным порядком называется рангом кривой и является важным инвариантным свойством эллиптической кривой.

Если ранг эллиптической кривой равен 0, то кривая имеет только конечное число рациональных точек. С другой стороны, если ранг кривой больше 0, то кривая имеет бесконечное количество рациональных точек.

Хотя теорема Морделла показывает, что ранг эллиптической кривой всегда конечен, она не дает эффективного метода вычисления ранга каждой кривой. Ранг некоторых эллиптических кривых может быть вычислен с использованием численных методов, но (в текущем уровне знаний) неизвестно, обрабатывают ли эти методы все кривые.

Л -функции л ( Е ,  ев ) могут быть определены для эллиптической кривой Е путем построения продукта Эйлера от числа точек на кривой по модулю каждый простое р . Эта L -функция аналогична дзета-функции Римана и L-ряду Дирихле, который определен для двоичной квадратичной формы . Это частный случай L-функции Хассе – Вейля .

Естественное определение L ( E ,  s ) сходится только для значений s в комплексной плоскости с Re ( s )> 3/2. Хельмут Хассе предположил, что L ( E ,  s ) можно продолжить аналитическим продолжением на всю комплексную плоскость. Эта гипотеза была впервые доказана Дейрингом (1941) для эллиптических кривых с комплексным умножением . Впоследствии было показано, что это верно для всех эллиптических кривых над Q как следствие теоремы модулярности .

Нахождение рациональных точек на общей эллиптической кривой - сложная задача. Нахождение точек эллиптической кривой по модулю данного простого числа p концептуально несложно, поскольку существует лишь конечное число возможностей для проверки. Однако для больших простых чисел это требует больших вычислительных ресурсов.

История

В начале 1960-х Питер Суиннертон-Дайер использовал компьютер EDSAC-2 в компьютерной лаборатории Кембриджского университета для вычисления количества точек по модулю p (обозначенного N _p ) для большого числа простых чисел p на эллиптических кривых, ранг которых был известен. На основе этих численных результатов Берч и Суиннертон-Дайер (1965) предположили, что N _p для кривой E ранга r подчиняется асимптотическому закону

${\ displaystyle \ prod _ {p \ leq x} {\ frac {N_ {p}} {p}} \ приблизительно C \ log (x) ^ {r} {\ mbox {as}} x \ rightarrow \ infty}$

где C - постоянная.

Первоначально это было основано на несколько незначительных тенденциях в графических графиках; это вызвало некоторую долю скептицизма у Дж. В. С. Касселса (научного руководителя Берча). Со временем числовые свидетельства накапливались.

Это, в свою очередь, привело их к общей гипотезе о поведении L-функции кривой L ( E ,  s ) при s = 1, а именно, что в этой точке у нее будет нуль порядка r . Это было дальновидное предположение для того времени, учитывая, что аналитическое продолжение L ( E ,  s ) было установлено только для кривых с комплексным умножением, которые также были основным источником численных примеров. (Обратите внимание, что обратная величина L-функции с некоторых точек зрения является более естественным объектом изучения; иногда это означает, что следует рассматривать полюсы, а не нули.)

Гипотеза была впоследствии расширена, чтобы включить предсказание точного старшего коэффициента Тейлора L-функции при s  = 1. Это предположительно дается формулой

${\ displaystyle {\ frac {L ^ {(r)} (E, 1)} {r!}} = {\ frac {\ # \ mathrm {Sha} (E) \ Omega _ {E} R_ {E} \ prod _ {p | N} c_ {p}} {(\ # E _ {\ mathrm {Tor}}) ^ {2}}}}$

где величины в правой части являются инвариантами кривой, изученными Касселсом, Тейтом , Шафаревичем и другими: они включают порядок торсионной группы , порядок группы Тейта – Шафаревича и канонические высоты базиса рациональные точки ( Wiles 2006 ).

Текущий статус

График кривой y ²  =  x ³  - 5 x, когда X изменяется в течение первых 100000 простых чисел. Х ось представляет журнал (журнал ( Х )) и Y оси в логарифмическом масштабе , так что гипотеза предсказывает , что данные должны сформировать линию наклона равен рангу кривых, которая является 1 в этом случае. Для сравнения на графике красным цветом нарисована линия наклона 1.${\ displaystyle \ prod _ {p \ leq X} {\ frac {N_ {p}} {p}}}$

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера доказана только в частных случаях:

1. Coates & Уайлзли (1977) доказано , что если Е является кривым над числовым полем F с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле K из числа классов 1, Р = К или Q и L ( Е , 1) не равен 0 , то Е ( F ) - конечная группа. Это было распространено на случай , когда F является любым конечным абелевым расширением в K по Arthaud (1978) .
2. Гросс и Загье (1986) показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при s = 1, то она имеет рациональную точку бесконечного порядка; см. теорему Гросса – Загьера .
3. Колывагин (1989) показал, что модулярная эллиптическая кривая E, для которой L ( E , 1) не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая E, для которой L ( E , 1) имеет нуль первого порядка при s = 1 имеет ранг 1.
4. Рубин (1991) показал, что для эллиптических кривых, определенных над мнимым квадратичным полем K с комплексным умножением на K , если L- ряд эллиптической кривой отличен от нуля при s = 1, то p -часть группы Тейта – Шафаревича имел порядок, предсказанный гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера для всех простых чисел p > 7.
5. Breuil et al. (2001) , расширяя работу Wiles (1995) , доказал, что все эллиптические кривые, определенные над рациональными числами, являются модульными , что распространяет результаты № 2 и № 3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что L -функции всех эллиптические кривые над Q определены при s = 1.
6. Бхаргава и Шанкар (2015) доказали, что средний ранг группы Морделла – Вейля эллиптической кривой над Q ограничен сверху величиной 7/6. Объединяя это с теоремой о p-четности Нековаржа (2009) и Докчицером и Докчицером (2010) и с доказательством основной гипотезы теории Ивасавы для GL (2) Скиннером и Урбаном (2014) , они заключают, что положительная пропорция эллиптических кривых над Q имеют аналитический ранг нуль и, следовательно, согласно Колывагину (1989) , удовлетворяют гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера.

Для кривых с рангом выше 1 ничего не было доказано, хотя есть обширные численные доказательства истинности гипотезы.

Последствия

Подобно гипотезе Римана , эта гипотеза имеет несколько следствий, включая следующие два:

• Пусть n - нечетное целое число без квадратов . Предполагая гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера, n - это площадь прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон ( конгруэнтное число ) тогда и только тогда, когда количество троек целых чисел ( x , y , z ) удовлетворяет 2 x ² + y ² + 8 z ² = n - удвоенное количество троек, удовлетворяющих 2 x ² + y ² + 32 z ² = n . Это утверждение, согласно теореме Таннелла ( Tunnell, 1983 ), связано с тем фактом, что n является конгруэнтным числом тогда и только тогда, когда эллиптическая кривая y ² = x ³ - n ² x имеет рациональную точку бесконечного порядка (таким образом, при согласно гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера, ее L- функция имеет нуль в точке 1 ). Это утверждение интересно тем, что условие легко проверяется.
• С другой стороны, некоторые аналитические методы позволяют оценивать порядок нуля в центре критической полосы семейств L- функций. Если допустить гипотезу BSD, эти оценки соответствуют информации о ранге рассматриваемых семейств эллиптических кривых. Например: предположим, что обобщенная гипотеза Римана и гипотеза BSD, средний ранг кривых, заданный формулой y ² = x ³ + ax + b , меньше 2 .

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Суиннертона-Дайера" . MathWorld .
• "Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера" . PlanetMath .
• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера : интервью Агнес Ф. Бодри с профессором Анри Дармоном
• Что такое гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера? лекция Манджула Бхаргавы (сентябрь 2016 г.), прочитанная во время конференции по исследованию глины в Оксфордском университете