В теории чисел произведение Эйлера - это расширение ряда Дирихле в бесконечное произведение, индексируемое простыми числами . Первоначальный такой продукт был дан для суммы всех положительных целых чисел, возведенных в определенную степень, как доказал Леонард Эйлер . Этот ряд и его продолжение на всю комплексную плоскость позже стали известны как дзета-функция Римана .
Определение
В общем случае, если a - ограниченная мультипликативная функция , то ряд Дирихле
равно
где произведение берется по простым числам p , а P ( p , s ) - сумма
Фактически, если мы рассматриваем их как формальные производящие функции , существование такого формального разложения Эйлера-произведения является необходимым и достаточным условием того, что a ( n ) будет мультипликативным: это в точности говорит о том, что a ( n ) является произведением a ( p k ) всякий раз, когда n разлагается на множители как произведение степеней p k различных простых чисел p .
Важный частный случай является то , что , в котором ( п ) является полностью мультипликативным , так что Р ( р , ев ) является геометрической прогрессией . потом
как в случае дзета-функции Римана , где a ( n ) = 1 , и в более общем случае для характеров Дирихле .
Конвергенция
На практике все важные случаи таковы, что разложения бесконечного ряда и бесконечного произведения абсолютно сходятся в некоторой области
то есть в некоторой правой полуплоскости в комплексных числах. Это уже дает некоторую информацию, поскольку бесконечное произведение, чтобы сойтись, должно давать ненулевое значение; следовательно, функция, заданная бесконечным рядом, не равна нулю в такой полуплоскости.
В теории модулярных форм типично иметь здесь произведения Эйлера с квадратичными многочленами в знаменателе. Общая философия Ленглендса включает сопоставимое объяснение связи многочленов степени m и теорию представлений для GL m .
Примеры
В следующих примерах будут использоваться обозначения для набора всех простых чисел, а именно:
Произведение Эйлера, присоединенное к дзета-функции Римана ζ ( s ) , также использующее сумму геометрического ряда, равно
а для функции Лиувилля λ ( n ) = (−1) ω ( n ) она равна
Используя обратные, два произведения Эйлера для функции Мёбиуса μ ( n ) равны
а также
Соотношение этих двух дает
Поскольку для четных значений s дзета-функция Римана ζ ( s ) имеет аналитическое выражение в терминах рационального кратного π s , то для четных показателей это бесконечное произведение вычисляется как рациональное число. Например, поскольку ζ (2) =
π 2/6, ζ (4) =π 4/90, и ζ (8) =π 8/9450, тогда
и так далее, с первым результатом, известным Рамануджану . Это семейство бесконечных произведений также эквивалентно
где ω ( n ) подсчитывает количество различных простых делителей n , а 2 ω ( n ) - количество делителей без квадратов .
Если χ ( n ) - характер Дирихле проводника N , так что χ вполне мультипликативен и χ ( n ) зависит только от n по модулю N , а χ ( n ) = 0, если n не взаимно просто с N , то
Здесь удобно опустить штрихи p, отделяющие провод N от продукта. В своих записных книжках Рамануджан обобщил произведение Эйлера для дзета-функции как
для s > 1, где Li s ( x ) - полилогарифм . Для x = 1 указанный выше продукт просто1/ζ ( s ).
Известные константы
Многие хорошо известные константы имеют разложения Эйлера.
Формула Лейбница для π
может быть интерпретирован как ряд Дирихле с использованием (уникального) символа Дирихле по модулю 4 и преобразован в произведение Эйлера сверхчастичных соотношений (дроби, в которых числитель и знаменатель отличаются на 1):
где каждый числитель является простым числом, а каждый знаменатель - ближайшим кратным 4.
Другие продукты Эйлера для известных констант включают:
- и его аналог OEIS : A065489 :
Примечания
использованная литература
-
Дж. Поля , Индукция и аналогия в математике, том 1, Princeton University Press (1954) LC Card 53-6388 (очень доступный английский перевод мемуаров Эйлера об этом «необычайном законе чисел» появляется, начиная со страницы 91)
-
Апостол, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, Нью-Йорк-Гейдельберг: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту 0434929 , Zbl 0335.10001 (Обеспечивает вводное обсуждение произведения Эйлера в контексте классической теории чисел.)
-
Г. Х. Харди и Э. М. Райт , Введение в теорию чисел , 5-е изд., Оксфорд (1979) ISBN 0-19-853171-0 (в главе 17 приведены дополнительные примеры).
- Джордж Эндрюс, Брюс С. Берндт, Потерянная записная книжка Рамануджана: Часть I , Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
- Г. Никлаш, Некоторые теоретические числовые константы: 1000-значные значения "
внешние ссылки