Модульная эллиптическая кривая - Modular elliptic curve

Графики эллиптических кривых y ² = x ³ - x и y ² = x ³ - x + 1. Если мы рассматриваем их как кривые над рациональными числами, то теорема модульности утверждает, что они могут быть параметризованы модулярной кривой.

Модульная эллиптическая кривая является эллиптической кривой Е , которая допускает параметризацию X ₀ ( N ) →  E с помощью модульной кривой . Это не то же самое, что модульная кривая, которая оказывается эллиптической кривой, которую можно назвать эллиптической модульной кривой. Теорема модульности , также известная как гипотеза Таниямы – Шимуры , утверждает, что каждая эллиптическая кривая, определенная над рациональными числами, является модулярной.

История и значение

В 1950-х и 1960-х годах японский математик Горо Шимура предположил связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами на основе идей Ютаки Таниямы . На Западе об этом стало известно благодаря статье Андре Вейля 1967 года . Поскольку Вейль дает концептуальное подтверждение этому, это иногда называют гипотезой Таниямы – Шимуры – Вейля . Он утверждает, что каждая рациональная эллиптическая кривая является модульной .

На отдельной ветви развития, в конце 1960-х годов Ив Хеллегуарх придумал идею связать решения ( a , b , c ) уравнения Ферма с совершенно другим математическим объектом: эллиптической кривой. Кривая состоит из всех точек на плоскости, координаты ( x ,  y ) которых удовлетворяют соотношению

${\ displaystyle y ^ {2} = x (xa ^ {n}) (x + b ^ {n}). \,}$

Такая эллиптическая кривая будет обладать очень особыми свойствами, которые связаны с появлением в ее уравнении больших степеней целых чисел и тем фактом, что a ⁿ  +  b ⁿ = c ^{n также} является n- й степенью.

Летом 1986 года Кен Рибет продемонстрировал, что, как и ожидал Фрей, частный случай гипотезы Таниямы – Шимуры (еще не доказанной в то время) вместе с уже доказанной эпсилон-гипотезой влечет Великую теорему Ферма. Таким образом, если гипотеза Таниямы – Шимуры верна для полустабильных эллиптических кривых, то Великая теорема Ферма будет верной. Однако этот теоретический подход считался недостижимым, поскольку гипотеза Таниямы-Шимуры сама по себе считалась совершенно недоступной для доказательства с учетом имеющихся данных. Например, бывший руководитель Уайлса Джон Коутс заявляет, что это казалось «невозможно на самом деле доказать», а Кен Рибет считал себя «одним из подавляющего большинства людей, которые считали [это] полностью недоступным».

Услышав в 1986 году доказательство эпсилон-гипотезы, Уайлс решил начать исследования исключительно в направлении доказательства гипотезы Таниямы – Шимуры. Позже Рибет прокомментировал, что «Эндрю Уайлс, вероятно, был одним из немногих людей на земле, у которых хватило смелости мечтать, что вы действительно можете пойти и доказать [это]». 

Впервые Уайлс объявил о своем доказательстве в среду, 23 июня 1993 г., на лекции в Кембридже под названием «Эллиптические кривые и представления Галуа». Однако в сентябре 1993 года было обнаружено, что доказательство содержит ошибку. Год спустя, в понедельник 19 сентября 1994 года, в то, что он назвал «самым важным моментом [его] трудовой жизни», Уайлс наткнулся на откровение ». так неописуемо красиво ... так просто и так элегантно », что позволило ему исправить доказательство к удовлетворению математического сообщества. Правильное доказательство было опубликовано в мае 1995 года. Доказательство использует многие методы из алгебраической геометрии и теории чисел и имеет много ответвлений в этих разделах математики. Он также использует стандартные конструкции современной алгебраической геометрии, такие как категории из схем и теории Ивасавы , и других метод 20-го века , не доступных для Ферма.

Теорема модульности

Теорема утверждает , что любая эллиптическая кривая над Q может быть получена с помощью рационального отображения с целыми коэффициентами от классической модульной кривой

${\ Displaystyle X_ {0} (N) \}$

для некоторого целого N ; это кривая с целыми коэффициентами с явным определением. Это отображение называется модульной параметризацией уровня N . Если N - наименьшее целое число, для которого может быть найдена такая параметризация (которая, согласно самой теореме модульности, теперь известна как число, называемое проводником ), то параметризация может быть определена в терминах отображения, генерируемого определенным типом модульная форма веса два и уровня N , нормализованная новая форма с целочисленным q -расширением, за которым, если необходимо, следует изогения .

Теорема модульности влечет близкое аналитическое утверждение: к эллиптической кривой E над Q мы можем присоединить соответствующий L-ряд . В L -ряды представляет собой ряд Дирихле , обычно пишется

${\ Displaystyle L (s, E) = \ prod _ {p} L_ {p} (s, E) ^ {- 1} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ { п}} {п ^ {s}}}}$

где произведение и коэффициенты определены в дзета-функции Хассе – Вейля . Тогда производящая функция коэффициентов равна ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle f (q, E) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} q ^ {n}.}$

Если мы сделаем замену

${\ Displaystyle д = е ^ {2 \ пи я \ тау} \}$

мы видим, что мы написали разложение Фурье функции комплексной переменной τ , поэтому коэффициенты q- ряда также считаются коэффициентами Фурье . Примечательно, что функция, полученная таким образом, является куспообразной формой веса два и уровня N, а также собственной формой (собственным вектором всех операторов Гекке ); это гипотеза Хассе – Вейля , вытекающая из теоремы модульности. ${\ Displaystyle е (\ тау, Е)}$${\ displaystyle f}$

Некоторые модулярные формы веса два, в свою очередь, соответствуют голоморфным дифференциалам эллиптической кривой. Якобиан модулярной кривой можно (с точностью до изогении) записать как произведение неприводимых абелевых многообразий , соответствующих собственным формам Гекке веса 2. Одномерные множители являются эллиптическими кривыми (могут быть также множители более высокой размерности, поэтому не все собственные формы Гекке соответствуют рациональным эллиптическим кривым). Кривая, полученная путем нахождения соответствующей формы возврата и последующего построения кривой из нее, изогенна исходной кривой (но, как правило, не изоморфна ей).

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Уайлс, Эндрю (1995), "Модульные эллиптические кривые и теорема Ферма", Анналы математики , вторая серия, 141 (3): 443-551, CiteSeerX  10.1.1.169.9076 , DOI : 10,2307 / 2118559 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2118559 , Руководство по ремонту  1333035
• Уайлс, Эндрю (1995), "Модульные формы, эллиптические кривые и последняя теорема Ферма", Труды Международного конгресса математиков, Vol. 1, 2 (Цюрих, 1994) , Базель, Бостон, Берлин: Birkhäuser, стр. 243–245, MR  1403925