Аксиома бесконечности - Axiom of infinity

В аксиоматической теории множеств и ветвей математики и философии , которые используют его, аксиомой бесконечности является одной из аксиом в теории множеств Цермело-Френкеля . Это гарантирует существование хотя бы одного бесконечного множества , а именно набора, содержащего натуральные числа . Впервые он был опубликован Эрнстом Цермело как часть его теории множеств в 1908 году.

Официальное заявление

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

{\ Displaystyle \ существует \ mathbf {I} \, (\ emptyset \ in \ mathbf {I} \, \ land \, \ forall x \ in \ mathbf {I} \, (\, (x \ cup \ {x \}) \ in \ mathbf {I})).}

На словах есть множество Я (набор , который постулировал быть бесконечным), таким образом, что пустое множество в I , и таким образом, что всякий раз , когда какой - либо х является членом I , набор , образованный принимая объединение по х с его одноэлементный { х } также является членом I . Такой набор иногда называют индуктивным .

Толкование и последствия

Эта аксиома тесно связана с строительством фон Неймана натуральных чисел в теории множеств, в которых правопреемником по х определяется как х ∪ { х }. Если x - множество, то из других аксиом теории множеств следует, что этот последователь также является однозначно определенным множеством. Последователи используются для определения обычного теоретико-множественного кодирования натуральных чисел . В этой кодировке ноль - это пустой набор:

0 = {}.

Число 1 является преемником 0:

1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = {{}}.

Аналогично, 2 является преемником 1:

2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1} = {{}, {{}}},

и так далее:

3 = {0,1,2} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}};

4 = {0,1,2,3} = {{}, {{}}, {{}, {{}}}, {{}, {{}}, {{}, {{}}}} }.

Следствием этого определения является то, что каждое натуральное число равно множеству всех предшествующих натуральных чисел. Количество элементов в каждом наборе на верхнем уровне такое же, как представленное натуральное число, а глубина вложенности наиболее глубоко вложенного пустого набора {}, включая его вложение в набор, который представляет количество, из которых он часть также равна натуральному числу, которое представляет набор.

Эта конструкция образует натуральные числа. Однако других аксиом недостаточно для доказательства существования множества всех натуральных чисел $ℕ 0$ . Поэтому его существование принимается за аксиому - аксиому бесконечности. Эта аксиома утверждает, что существует множество I , содержащее 0 и замкнутое относительно операции выбора преемника; то есть, для каждого элемента I , наследник этого элемента также в I .

Таким образом, суть аксиомы такова:

Есть набор I , который включает в себя все натуральные числа.

Аксиома бесконечности также является одной из аксиом фон Неймана – Бернейса – Гёделя .

Извлечение натуральных чисел из бесконечного множества

Бесконечное множество I - это надмножество натуральных чисел. Чтобы показать, что натуральные числа сами по себе составляют набор, схему аксиом спецификации можно применить для удаления нежелательных элементов, оставляя набор N всех натуральных чисел. Это множество уникально по аксиоме протяженности .

Чтобы извлечь натуральные числа, нам нужно определить, какие множества являются натуральными числами. Натуральные числа могут быть определены способом, который не предполагает никаких аксиом, кроме аксиомы экстенсиональности и аксиомы индукции: натуральное число либо равно нулю, либо является последователем, и каждый из его элементов является либо нулем, либо является преемником другого его элемента. элементы. На формальном языке определение гласит:

{\ Displaystyle \ forall п (п \ в \ mathbf {N} \ iff ([п = \ emptyset \, \, \ лор \, \, \ существует к (п = к \ чашка \ {к \})] \ , \, \ land \, \, \ forall m \ in n [m = \ emptyset \, \, \ lor \, \, \ exists k \ in n (m = k \ cup \ {k \})]) ).}

Или, еще более формально:

{\ Displaystyle \ forall n (п \ in \ mathbf {N} \ iff ([\ forall k (\ lnot k \ in n) \ lor \ существует k \ forall j (j \ in n \ iff (j \ in k) \ lor j = k))] \ land}

{\ Displaystyle \ forall м (м \ in п \ Rightarrow [\ forall k (\ lnot k \ in m) \ lor \ существует k (k \ in n \ land \ forall j (j \ in m \ iff (j \ in k \ lor j = k)))]))).}

Альтернативный метод

Альтернативный способ - следующий. Позвольте быть формулой, которая говорит: «x является индуктивным»; то есть . Неформально мы сделаем пересечение всех индуктивных множеств. Более формально мы хотим доказать существование единственного множества, такого что ${\ Displaystyle \ Phi (х)}$ ${\ Displaystyle \ Phi (х) = (\ emptyset \ в х \ клин \ forall у (у \ в х \ к (у \ чашка \ {у \} \ в х)))}$ ${\ displaystyle W}$

{\ displaystyle \ forall x (x \ in W \ leftrightarrow \ forall I (\ Phi (I) \ to x \ in I)).}

(*)

Для существования мы будем использовать Аксиому Бесконечности в сочетании со схемой спецификации Аксиомы . Позвольте быть индуктивным множеством, гарантированным Аксиомой бесконечности. Затем мы используем схему спецификации аксиом, чтобы определить наш набор, то есть набор, все элементы которого также являются элементами любого другого индуктивного набора. Это явно удовлетворяет гипотезе (*), так как if , then присутствует в каждом индуктивном множестве, а if есть в каждом индуктивном множестве, в частности, в , поэтому он также должен быть в . ${\ displaystyle I}$ ${\ Displaystyle W = \ {x \ in I: \ forall J (\ Phi (J) \ к x \ in J) \}}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle x \ in W}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle W}$

Для уникальности сначала обратите внимание, что любой набор, который удовлетворяет (*), сам по себе является индуктивным, поскольку 0 присутствует во всех индуктивных наборах, а если элемент присутствует во всех индуктивных наборах, то по индуктивному свойству он является его преемником. Таким образом, если бы существовал другой набор, удовлетворяющий (*), мы имели бы это, поскольку индуктивно, а поскольку индуктивно. Итак . Позвольте обозначить этот уникальный элемент. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle W '}$ ${\ Displaystyle W '\ substeq W}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ Displaystyle W \ substeq W '}$ ${\ displaystyle W '}$ ${\ Displaystyle W = W '}$ ${\ displaystyle \ omega}$

Это определение удобно, потому что немедленно следует принцип индукции : если индуктивно, то также , так что . ${\ Displaystyle I \ substeq \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega \ substeq I}$ ${\ displaystyle I = \ omega}$

Оба эти метода создают системы, которые удовлетворяют аксиомам арифметики второго порядка , поскольку аксиома набора степеней позволяет нам количественно определять набор степеней , как в логике второго порядка . Таким образом, они оба полностью определяют изоморфные системы, и, поскольку они изоморфны относительно тождественного отображения , они фактически должны быть равны . ${\ displaystyle \ omega}$

Видимо более слабая версия

В некоторых старых текстах используется явно более слабая версия аксиомы бесконечности, а именно:

{\ Displaystyle \ существует х \, (\ существует у \, (у \ в х) \, \ земля \, \ для всех у (у \ в х \, \ вправо \, \ существует г (г \ в х \, \ land \, y \ substeq z \, \ land \, y \ neq z))) \ ,.}

Это говорит о том, что в x есть элемент, и для каждого элемента y из x существует другой элемент x, который является строгим надмножеством y . Это означает, что x - бесконечное множество, не говоря уже о его структуре. Однако с помощью других аксиом ZF мы можем показать, что это влечет существование ω. Во-первых, если мы возьмем набор мощности любого бесконечного множества x , то этот набор мощности будет содержать элементы, которые являются подмножествами x любой конечной мощности (среди других подмножеств x ). Доказательство существования этих конечных подмножеств может потребовать либо аксиомы разделения, либо аксиом спаривания и объединения. Тогда мы можем применить аксиому замещения для замены каждого элемента этой Powerset из й по начальному порядковому номеру тех же мощностей (или ноля, если нет таких порядкового). Результатом будет бесконечный набор порядковых номеров. Затем мы можем применить к этому аксиому объединения, чтобы получить порядковый номер, больший или равный ω.

Независимость

Аксиома бесконечности не может быть доказана из других аксиом ZFC, если они согласованы. (Чтобы понять, почему, обратите внимание на ZFC Con (ZFC - Infinity) и воспользуйтесь второй теоремой Гёделя о неполноте .) ${\ displaystyle \ vdash}$

Отрицание аксиомы бесконечности не может быть выведено из остальных аксиом ZFC, если они согласованы. (Это равносильно утверждению, что ZFC непротиворечива, если другие аксиомы непротиворечивы.) Мы верим в это, но не можем это доказать (если это правда).

Действительно, используя вселенную фон Неймана , мы можем построить модель ZFC - Infinity + (¬Infinity). Это класс наследственно конечных множеств с унаследованным отношением принадлежности. Обратите внимание, что если аксиома пустого множества не является частью этой системы (поскольку она может быть получена из ZF + Infinity), то пустая область также удовлетворяет ZFC - Infinity + ¬Infinity, поскольку все ее аксиомы универсально определяется количественно и, таким образом, тривиально удовлетворяется, если набор не существует. ${\ displaystyle V _ {\ omega} \!}$

Мощность множества натуральных чисел, aleph null ( ), обладает многими свойствами большого кардинала . Таким образом, аксиома бесконечности иногда рассматривается как первая большая кардинальная аксиома , и наоборот, большие кардинальные аксиомы иногда называют более сильными аксиомами бесконечности. ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Languages

In other projects