Экзистенциальная количественная оценка - Existential quantification

В логике предикатов , экзистенциальная Количественное представляет собой тип квантификатора , А логическая константа , которая интерпретируется как «существует», «существует, по крайней мере , один», или «для некоторых». Обычно это обозначается символом логического оператора ∃, который при использовании вместе с переменной-предикатом называется квантификатором существования (« $\exists$ $x$ » или « $\exists ($ $x$ $)$ »). Экзистенциальная количественная оценка отличается от универсальной количественной оценки («для всех»), которая утверждает, что свойство или отношение сохраняется для всех членов области. Некоторые источники используют термин экзистенциализация для обозначения экзистенциальной количественной оценки.

Основы

Рассмотрим формулу, которая утверждает, что некоторое натуральное число, умноженное само на себя, равно 25.

0 · 0 = 25, или 1 · 1 = 25, или 2 · 2 = 25, или 3 · 3 = 25, и так далее.

Это могло бы показаться логическим противоречием из-за многократного использования «или». Однако «и так далее» делает невозможным его интегрирование и интерпретацию как дизъюнкцию в формальной логике . Вместо этого заявление можно было бы более формально перефразировать как

В течение некоторого натурального числа п , п · п = 25.

Это единое утверждение, использующее экзистенциальную количественную оценку.

Это утверждение более точное, чем исходное, поскольку фраза «и так далее» не обязательно включает все натуральные числа и исключает все остальное. А поскольку домен не был указан явно, фразу нельзя было интерпретировать формально. Однако в количественном выражении натуральные числа упоминаются явно.

Этот конкретный пример верен, потому что 5 - натуральное число, и когда мы подставляем 5 вместо n , мы получаем «5 · 5 = 25», что верно. Не имеет значения, что « n · n = 25» верно только для одного натурального числа 5; даже существования единственного решения достаточно, чтобы доказать истинность этой экзистенциальной количественной оценки. Напротив, «для некоторого четного числа n , n · n = 25» неверно, потому что нет четных решений.

Таким образом, область дискурса , которая определяет значения, которые разрешено принимать переменной n , имеет решающее значение для истинности или ложности утверждения. Логические союзы используются, чтобы ограничить область дискурса выполнением данного предиката. Например:

Для некоторого положительного нечетного числа n , n · n = 25

является логическим эквивалентом для

В течение некоторого натурального числа п , п нечетно и п · п = 25.

Здесь «и» - это логическое соединение.

В символической логике «∃» (повернутая буква « E » шрифтом без засечек ) используется для обозначения экзистенциальной количественной оценки. Таким образом, если P ( a , b , c ) является предикатом « a · b = c» и является множеством натуральных чисел, то ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$

{\ Displaystyle \ существует {п} {\ in} \ mathbb {N} \, P (п, п, 25)}

это (истинное) утверждение

В течение некоторого натурального числа п , п · п = 25.

Аналогично, если Q ( n ) - предикат « n четно», то

{\ Displaystyle \ существует {п} {\ in} \ mathbb {N} \, {\ big (} Q (n) \; \! \; \! {\ клин} \; \! \; \! P ( n, n, 25) {\ big)}}

это (ложное) утверждение

В течение некоторого натурального числа п , п четно и п · п = 25.

В математике доказательство «некоторого» утверждения может быть достигнуто либо конструктивным доказательством , которое демонстрирует объект, удовлетворяющим «некоторому» утверждению, либо неконструктивным доказательством , которое показывает, что такой объект должен быть, но не демонстрирует его. .

Характеристики

Отрицание

Количественная пропозициональная функция - это утверждение; таким образом, как и утверждения, количественные функции могут быть инвертированы. Этот символ используется для обозначения отрицания. ${\ Displaystyle \ lnot \}$

Например, если P ( x ) - это предикат « x больше 0 и меньше 1», то для области дискурса X всех натуральных чисел экзистенциальная квантификация «Существует натуральное число x, которое больше, чем 0 и менее 1 "можно символически обозначить как:

{\ Displaystyle \ существует {х} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x)}

Это может быть доказано как ложное. По правде говоря, следует сказать: «Это не тот случай, когда существует натуральное число x , которое больше 0 и меньше 1», или, символически:

{\ Displaystyle \ lnot \ \ существует {х} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x)}

.

Если в области дискурса нет элемента, для которого утверждение истинно, то оно должно быть ложным для всех этих элементов. То есть отрицание

{\ Displaystyle \ существует {х} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x)}

логически эквивалентно «Для любого натурального числа x , x не больше 0 и меньше 1», или:

{\ Displaystyle \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x)}

В общем, тогда отрицание экзистенциальной квантификации пропозициональной функции является универсальной квантификацией отрицания этой пропозициональной функции; символически,

{\ displaystyle \ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x )}

(Это обобщение законов Де Моргана на логику предикатов.)

Распространенной ошибкой является утверждение «все люди не состоят в браке» (т. Е. «Не существует ни одного человека, который состоит в браке»), когда подразумевается «не все люди состоят в браке» (т. Е. «Существует человек, который не состоит в браке»). :

{\ displaystyle \ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x ) \ not \ Equiv \ \ lnot \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, \ lnot P (x)}

Отрицание также можно выразить выражением «за нет», в отличие от «для некоторых»:

{\ Displaystyle \ nexists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ Equiv \ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x)}

В отличие от универсального квантификатора, квантор существования распределяет по логическим дизъюнкциям:

${\ Displaystyle \ существует {х} {\ in} \ mathbf {X} \, п (х) \ лор Q (х) \ к \ (\ существует {х} {\ in} \ mathbf {X} \, п (х) \ lor \ exists {x} {\ in} \ mathbf {X} \, Q (x))}$

Правила вывода

Правило вывода является правилом оправдывая логический шаг от гипотезы к заключению. Есть несколько правил вывода, в которых используется квантор существования.

Экзистенциальное введение (∃I) заключает, что, если известно, что пропозициональная функция истинна для определенного элемента области дискурса, то должно быть истинным то, что существует элемент, для которого пропозициональная функция истинна. Символично,

{\ Displaystyle Р (а) \ к \ \ существует {х} {\ in} \ mathbf {X} \, Р (х)}

Экзистенциальная инстанциация , когда она проводится с использованием дедукции в стиле Fitch, осуществляется путем ввода новой вторичной производной с заменой экзистенциально количественно оцениваемой переменной для объекта, которая не появляется в какой-либо активной дочерней производной. Если можно прийти к выводу в рамках этой подвыводной ветви, в которой замещенный субъект не появляется, то можно выйти из этой подвыводки с этим заключением. Обоснование экзистенциального исключения (∃E) заключается в следующем: если дано, что существует элемент, для которого функция предложения истинна, и если вывод может быть сделан, дав этому элементу произвольное имя, этот вывод обязательно истинен. , если он не содержит имени. Символически, для произвольного c и для предложения Q, в котором c не появляется:

{\ Displaystyle \ существует {х} {\ in} \ mathbf {X} \, P (x) \ к \ ((P (c) \ к \ Q) \ к \ Q)}

${\ Displaystyle Р (с) \ к \ Q}$ должно быть истинным для всех значений c в одной и той же области X ; иначе логика не следует: если c не является произвольным, а вместо этого является конкретным элементом области дискурса, то утверждение P ( c ) может необоснованно дать больше информации об этом объекте.

Пустой набор

Формула всегда неверна, независимо от P ( x ). Это потому, что обозначает пустое множество , и никакой x любого описания - не говоря уже о x, удовлетворяющем заданному предикату P ( x ) - не существует в пустом множестве. См. Также Пустую правду для получения дополнительной информации. ${\ Displaystyle \ существует {х} {\ in} \ emptyset \, P (x)}$ ${\ displaystyle \ emptyset}$

Как примыкающий

В категории теории и теории элементарных топосов , квантор существования может быть понят как левый , сопряженные о наличии функтора между множествами мощности , на прообраз функтором функции между множествами; аналогично, универсальный квантор является правым сопряженным .

Кодирование

В Unicode и HTML, символы кодируются U + 2203 ∃ СУЩЕСТВУЕТ (HTML ∃ · ∃, &Exists; · как математический символ) и U + 2204 ∄ Там , НЕ EXIST (HTML - ∄ ° &nexist;, &nexists;, &NotExists; ).

В TeX символ создается с помощью "\ exists".

Смотрите также

Примечания

^ ^a ^b «Исчерпывающий список логических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-06 . Проверено 4 сентября 2020 .
^ «Предикаты и квантификаторы» . www.csm.ornl.gov . Проверено 4 сентября 2020 .
^ «1.2 Квантификаторы» . www.whitman.edu . Проверено 4 сентября 2020 .
^ Аллен, Колин; Рука, Майкл (2001). Logic Primer . MIT Press. ISBN 0262303965.
^ Этот символ также известен как экзистенциальный оператор . Это иногда представляется с V .
^ «Окончательный словарь высшего математического жаргона: конструктивное доказательство» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 4 сентября 2020 .
^ Маклейн , Ик Моердижк (1992) Пучки в геометрии и логики Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 См. Стр. 58

использованная литература

Хинман, П. (2005). Основы математической логики . А.К. Петерс. ISBN 1-56881-262-0.

[:0-1] «Исчерпывающий список логических символов» . Математическое хранилище . 2020-04-06 . Проверено 4 сентября 2020 .

[2] «Предикаты и квантификаторы» . www.csm.ornl.gov . Проверено 4 сентября 2020 .

[3] «1.2 Квантификаторы» . www.whitman.edu . Проверено 4 сентября 2020 .

[4] Аллен, Колин; Рука, Майкл (2001). Logic Primer . MIT Press. ISBN 0262303965.

[5] Этот символ также известен как экзистенциальный оператор . Это иногда представляется с V .

[6] «Окончательный словарь высшего математического жаргона: конструктивное доказательство» . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 4 сентября 2020 .

[7] Маклейн , Ик Моердижк (1992) Пучки в геометрии и логики Springer-Verlag. ISBN 0-387-97710-4 См. Стр. 58

Languages

In other projects