Аксиома протяженности - Axiom of extensionality

В аксиоматической теории множеств и ветвей логики , математики и информатики , которые используют его, в аксиомы объемности , или аксиомой расширения , является одной из аксиом в теории множеств Цермело-Френкеля . Он говорит, что наборы, содержащие одинаковые элементы, являются одним и тем же набором.

Официальное заявление

На формальном языке аксиом Цермело – Френкеля аксиома гласит:

${\ displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B) \ подразумевает A = B)}$

или словами:

Для любого набора A и любого множества B , если для каждого множества X , Х является членом А тогда и только тогда , когда Х является членом B , то является равным для B .

(На самом деле не обязательно, чтобы X здесь был набором,  но в ZF все так. См. Ur-elements ниже, когда это нарушается.)

Обратное этой аксиомы следует из подстановочного свойства равенства . ${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (A = B \ подразумевает \ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B)),}$

Интерпретация

Чтобы понять эту аксиому, обратите внимание, что предложение в скобках в символьном утверждении выше просто утверждает, что A и B имеют точно такие же члены. Таким образом, аксиома на самом деле говорит о том, что два множества равны тогда и только тогда, когда они имеют точно такие же члены. Суть этого:

Набор определяется его членами однозначно.

Аксиома экстенсиональности может использоваться с любым утверждением формы , где P - любой унарный предикат , не упоминающий A , для определения уникального множества , членами которого являются именно те множества, которые удовлетворяют этому предикату . Затем мы можем ввести новый символ для ; Именно таким образом определения в обычной математике в конечном итоге работают, когда их утверждения сводятся к чисто теоретико-множественным терминам. ${\ Displaystyle \ существует A \, \ forall X \, (X \ in A \ iff P (X) \,)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle A}$

Аксиома протяженности обычно не вызывает споров в теоретико-множественных основаниях математики, и она или ее эквивалент появляется практически в любой альтернативной аксиоматизации теории множеств. Однако для некоторых целей может потребоваться модификация, как показано ниже.

В логике предикатов без равенства

Приведенная выше аксиома предполагает, что равенство является примитивным символом в логике предикатов . Некоторые трактовки аксиоматической теории множеств предпочитают обходиться без этого и вместо этого рассматривают вышеприведенное утверждение не как аксиому, а как определение равенства. Затем необходимо включить обычные аксиомы равенства из логики предикатов в качестве аксиом об этом определенном символе. Большинство аксиом равенства все еще вытекают из определения; оставшаяся часть - свойство подстановки,

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ forall X \, (X \ in A \ iff X \ in B) \ подразумевает \ forall Y \, (A \ in Y \ iff B \ in Y) \,),}$

и именно эта аксиома называется аксиомой экстенсиональности в данном контексте.

В теории множеств с ур-элементами

Урэлемент является членом набора , который не является сам по себе набор. В аксиомах Цермело – Френкеля нет ur-элементов, но они включены в некоторые альтернативные аксиоматизации теории множеств. Ur-элементы можно рассматривать как логический тип, отличный от множеств; в этом случае не имеет смысла, если является ur-элементом, поэтому аксиома экстенсиональности просто применяется только к множествам. ${\ displaystyle B \ in A}$${\ displaystyle A}$

В качестве альтернативы, в нетипизированной логике, мы можем потребовать ложь всякий раз, когда является ur-элементом. В этом случае обычная аксиома экстенсиональности будет означать, что каждый ur-элемент равен пустому множеству . Чтобы избежать этого следствия, мы можем изменить аксиому расширенности, применив ее только к непустым множествам, так, чтобы она читалась так: ${\ displaystyle B \ in A}$${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ forall A \, \ forall B \, (\ существует X \, (X \ in A) \ подразумевает [\ forall Y \, (Y \ in A \ iff Y \ in B) \ подразумевает A = B ] \,).}$

То есть:

Для любого множества A и любого множества B , если A - непустое множество (то есть, если существует член X из A ), то если A и B имеют точно такие же элементы, то они равны.

Еще одна альтернатива в нетипизированной логике - определить себя как единственный элемент всякий раз, когда является ur-элементом. Хотя этот подход может служить для сохранения аксиомы протяженности, аксиома регулярности вместо этого потребует корректировки. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$

Смотрите также

• Расширяемость для общего обзора.

использованная литература

• Пол Халмос , Наивная теория множеств . Принстон, Нью-Джерси: D. Van Nostrand Company, 1960. Перепечатано Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (издание Springer-Verlag).
• Jech, Thomas , 2003. Теория множеств: издание третьего тысячелетия, переработанное и расширенное . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .
• Кунен, Кеннет , 1980. Теория множеств: введение в доказательства независимости . Эльзевир. ISBN  0-444-86839-9 .