Конечность - Finitism

Финитизм - это философия математики, которая допускает существование только конечных математических объектов . Лучше всего это понимать по сравнению с основной философией математики, где бесконечные математические объекты (например, бесконечные множества ) принимаются как законные.

Смысл

Основная идея финитистической математики - неприятие существования бесконечных объектов, таких как бесконечные множества. Хотя все натуральные числа считаются существующими, набор всех натуральных чисел не считается существующим как математический объект. Поэтому количественная оценка в бесконечных областях не считается значимой. Математическая теория, часто связанная с финитизмом, - это примитивная рекурсивная арифметика Торальфа Сколема .

История

Введение бесконечных математических объектов произошло несколько столетий назад , когда использование бесконечных объектов было уже спорная тема среди математиков. Проблема вступила в новую фазу, когда Георг Кантор в 1874 году представил то, что сейчас называется наивной теорией множеств, и использовал ее в качестве основы для своей работы по трансфинитным числам . Когда парадоксы , такие как парадокс Рассела , парадокс Берри и парадокс Burali-Forti были обнаружены в наивной теории множеств Кантора, вопрос стал подогреваемой темой среди математиков.

Математики занимали разные позиции. Все согласились с конечными математическими объектами, такими как натуральные числа. Однако были разногласия по поводу бесконечных математических объектов. Одной из позиций была интуиционистская математика, которую отстаивал Л. Дж. Брауэр , которая отвергала существование бесконечных объектов до тех пор, пока они не созданы.

Другая позиция была поддержана Дэвидом Гильбертом : конечные математические объекты - это конкретные объекты, бесконечные математические объекты - идеальные объекты, и принятие идеальных математических объектов не вызывает проблем в отношении конечных математических объектов. Говоря более формально, Гильберт считал, что можно показать, что любую теорему о конечных математических объектах, которые могут быть получены с использованием идеальных бесконечных объектов, можно получить и без них. Следовательно, разрешение бесконечных математических объектов не вызовет проблем с конечными объектами. Это привело к программе Гильберта по доказательству непротиворечивости теории множеств с использованием финитистических средств, поскольку это означало бы, что добавление идеальных математических объектов консервативно по сравнению с финитистской частью. Взгляды Гильберта также связаны с формалистической философией математики . Цель Гильберта доказать непротиворечивость теории множеств или даже арифметики конечными средствами оказалась невыполнимой задачей из-за теорем Курта Гёделя о неполноте . Тем не менее, Харви Фридман «s великий гипотеза будет означать , что большинство математических результаты доказуемы с использованием finitistic средств.

Гильберт не дал строгого объяснения того, что он считал конечным и называл элементарным. Однако, основываясь на его работе с Полом Бернейсом, некоторые эксперты, такие как Уильям Тейт , утверждали, что примитивная рекурсивная арифметика может считаться верхней границей того, что Гильберт считал конечной математикой.

В годы, прошедшие после теорем Гёделя, когда стало ясно, что нет никакой надежды на доказательство непротиворечивости математики, и с развитием аксиоматических теорий множеств, таких как теория множеств Цермело – Френкеля, и отсутствием каких-либо доказательств против ее непротиворечивости, большинство математиков потеряли интерес в теме. Сегодня большинство классических математиков считаются платониками и охотно используют бесконечные математические объекты и теоретико-множественную вселенную.

Классический финитизм против строгого финитизма

В своей книге Философия теории множеств , Мэри Плитки характеризуется тем , кто позволяет потенциально бесконечные объекты как классические finitists , и те , кто не позволяет потенциально бесконечных объектов , как строгие finitists : например, классическая finitist позволило бы такие утверждения, как «каждое натуральное число имеет преемника »и принял бы осмысленность бесконечных рядов в смысле пределов конечных частичных сумм, в то время как строгий финитист - нет. Исторически сложилось так, что письменная история математики была классически финитистской, пока Кантор не создал иерархию трансфинитных кардиналов в конце 19 века.

Взгляды на бесконечные математические объекты

Леопольд Кронекер оставался ярым противником теории множеств Кантора:

Бог создал целые числа; все остальное - дело рук человека.

Рубен Гудштейн был еще одним сторонником финитизма. Некоторые из его работ включали построение анализа на финитистских основаниях.

Хотя он отрицал это, большая часть работ Людвига Витгенштейна по математике имеет сильное сходство с финитизмом.

Если финитистов противопоставлять трансфинитистам (сторонникам, например, иерархии бесконечностей Георга Кантора ), то и Аристотеля можно охарактеризовать как строгого финитиста. Аристотель особенно продвигал потенциальную бесконечность как средний вариант между строгим конечностью и актуальной бесконечностью (последняя представляет собой актуализацию чего-то бесконечного в природе, в отличие от кантористской актуальной бесконечности, состоящей из трансфинитных кардинальных и порядковых чисел, в которых нет ничего общего. делать с вещами в природе):

Но с другой стороны, предположение, что бесконечное не существует, очевидно, ведет ко многим невозможным последствиям: будет начало и конец времени, величина не будет делиться на величины, число не будет бесконечным. Если в таком случае с учетом приведенных выше соображений ни одна из альтернатив не представляется возможной, необходимо вызвать арбитра.

-  Аристотель, Физика, Книга 3, Глава 6

Другие родственные философии математики

Ультрафинитизм (также известный как ультраинтуиционизм ) имеет даже более консервативное отношение к математическим объектам, чем финитизм, и возражает против существования конечных математических объектов, когда они слишком велики.

К концу 20 века Джон Пенн Мэйберри разработал систему конечной математики, которую назвал «евклидовой арифметикой». Наиболее ярким принципом его системы является полный и строгий отказ от особого основополагающего статуса, обычно присваиваемого итерационным процессам, включая, в частности, построение натуральных чисел с помощью итерации «+1». Следовательно, Мэйберри категорически не согласен с теми, кто пытается приравнять финитную математику к арифметике Пеано или любым ее фрагментам, таким как примитивная рекурсивная арифметика .

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Фэн Е (2011). Строгий финитизм и логика математических приложений . Springer. ISBN   978-94-007-1347-5 .

внешняя ссылка