Пустой домен - Empty domain

В современной логике применимы только противоречия в квадрате оппозиции , потому что домены могут быть пустыми.

(Черные области пусты,
красные области непустые.)

В логике первого порядка пустой домен является пустым множеством , не имеющие членов. В традиционной и классической логике области ограниченно непусты для того, чтобы определенные теоремы были справедливыми. Показано, что интерпретации с пустой областью являются тривиальным случаем в соответствии с соглашением, появившимся, по крайней мере, в 1927 году с Бернейсом и Шёнфинкелем (хотя, возможно, и ранее), но часто приписываемым Куайну 1951. Соглашение заключается в том, чтобы присвоить любой формуле, начинающейся с универсального квантора, значение ценить истину, в то время как любой формуле, начинающейся с квантора существования, присваивается значение ложь . Это следует из идеи, что квантифицированные экзистенциальные утверждения имеют экзистенциальное значение (т.е. они подразумевают существование чего-то), в то время как универсально квантифицированные утверждения - нет. Эта интерпретация по сообщениям происходит от Джорджа Буля в конце 19 -го века , но это спорно. В современной теории моделей из условий истинности количественных предложений немедленно следует:

• ${\ Displaystyle A \ models \ существует x \ phi (x) {\ text {если есть}} a \ in A {\ text {такой, что}} A \ models \ phi [a]}$
• ${\ displaystyle A \ models \ forall x \ phi (x) {\ text {iff every}} a \ in A {\ text {таков, что}} A \ models \ phi [a]}$

Другими словами, экзистенциальная количественная оценка открытой формулы φ истинна в модели, если и только если в области (модели) есть элемент, удовлетворяющий формуле; т.е. если этот элемент имеет свойство, обозначенное открытой формулой. Универсальное количественное определение открытой формулы φ истинно в модели тогда и только тогда, когда каждый элемент в области удовлетворяет этой формуле. (Обратите внимание, что в метаязыке «все, что таково, что X является таким, что Y» интерпретируется как универсальное обобщение материального условного условия «если что-либо такое, что X, то это такое, что Y». Кроме того, даны кванторы их обычное объектное прочтение, так что положительное экзистенциальное утверждение имеет экзистенциальное значение, а универсальное - нет.) Аналогичный случай касается пустого союза и пустой дизъюнкции. Семантические предложения для союзов и дизъюнкций, соответственно, задаются

• ${\ displaystyle A \ models \ phi _ {1} \ land \ dots \ land \ phi _ {n} \ iff \ forall \ phi _ {i} (1 \ leq i \ leq n), A \ models \ phi _ {я}}$
• ${\ Displaystyle A \ модели \ phi _ {1} \ lor \ dots \ lor \ phi _ {n} \ iff \ exists \ phi _ {i} (1 \ leq i \ leq n), A \ models \ phi _ {я}}$.

Легко видеть, что пустая конъюнкция тривиально истинна, а пустая дизъюнкция тривиально ложна.

Логики, теоремы которых справедливы в любой, включая пустую, области, были впервые рассмотрены Ясковским 1934, Мостовски 1951, Хейлперином 1953, Куайном 1954, Леонардом 1956 и Хинтиккой 1959. Хотя Куайн называл такие логики «инклюзивной» логикой, они теперь относятся к ним. как свободная логика .

Смотрите также

• Таблица логических символов

Эта статья о логике - незавершенная . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . v т е