Алгебраическое дифференциальное уравнение - Algebraic differential equation

В математике , алгебраическое дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение , которое может быть выражено с помощью дифференциальной алгебры . В соответствии с используемой концепцией дифференциальной алгебры существует несколько таких понятий.

Намерение состоит в том, чтобы включить уравнения, сформированные с помощью дифференциальных операторов , в которых коэффициенты являются рациональными функциями переменных (например, гипергеометрическое уравнение ). Алгебраические дифференциальные уравнения широко используются в компьютерной алгебре и теории чисел .

Простая концепция - это концепция полиномиального векторного поля , другими словами, векторного поля, выраженного относительно стандартного координатного базиса как первые частные производные с полиномиальными коэффициентами. Это тип алгебраического дифференциального оператора первого порядка.

Составы

• Выводы D могут использоваться как алгебраические аналоги формальной части дифференциального исчисления , так что алгебраические дифференциальные уравнения имеют смысл в коммутативных кольцах .
• Теория дифференциальных полей была создана, чтобы выразить дифференциальную теорию Галуа в алгебраических терминах.
• Алгебра Вейля W дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами можно рассматривать; определенные модули М могут быть использованы для выражения дифференциальных уравнений, в соответствии с представлением М .
• Концепция связи Кошуля - это то, что легко транскрибируется в алгебраическую геометрию , давая алгебраический аналог того, как системы дифференциальных уравнений геометрически представлены векторными расслоениями со связностями.
• Понятие струи может быть описано в чисто алгебраических терминах, как это было сделано в рамках Гротендик «s EGA проекта.
• Теория D-модулей - это глобальная теория линейных дифференциальных уравнений, которая была разработана для включения существенных результатов в алгебраическую теорию (включая соответствие Римана-Гильберта для высших измерений).

Алгебраические решения

Обычно не бывает, что общее решение алгебраического дифференциального уравнения является алгебраической функцией : решение уравнений обычно дает новые трансцендентные функции . Однако случай алгебраических решений представляет значительный интерес; классический список Шварца касается случая гипергеометрического уравнения. В дифференциальной теории Галуа случай алгебраических решений - это тот случай, когда дифференциальная группа Галуа G конечна (эквивалентно размерности 0 или конечной группы монодромии в случае римановых поверхностей и линейных уравнений). Этот случай относится ко всей теории примерно так же, как теория инвариантов относится к теории представлений групп . Группа G в общем случае трудно вычислить, понимание алгебраических решений является показателем верхних границ для G .

внешние ссылки

• Михалев А.В.; Панкратьев, Е.В. (2001) [1994], "Дифференциальная алгебра" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Михалев А.В.; Панкратьев, Е.В. (2001) [1994], "Расширение дифференциального поля" , Энциклопедия математики , EMS Press.