Войтех Ярник - Vojtěch Jarník

Войтех Ярник
Родившийся	( 1897-12-22 ) 22 декабря 1897 г. Прага , Богемия , Австрийская Империя
Умер	22 сентября 1970 г. (1970-09-22) (72 года) Прага , Чехословакия
Национальность	Чехословакия
Известен
Научная карьера
Поля	Математика
Учреждения	Карлов университет
Докторант	Карел Петр
Другие научные консультанты	Эдмунд Ландау
Докторанты

Войтех Ярник ( чешское произношение: [ˈvojcɛx ˈjarɲiːk] ; 1897–1970) - чешский математик , много лет проработавший профессором и администратором в Карловом университете , а также помог основать Чехословацкую академию наук . Он является тезкой алгоритма Ярника для минимальных остовных деревьев .

Ярник занимался теорией чисел , математическим анализом и алгоритмами графов . Его называли «вероятно первым чехословацким математиком, чьи научные работы получили широкий и устойчивый международный резонанс». Наряду с разработкой алгоритма Ярника, он нашел жесткие ограничения на количество точек решетки на выпуклых кривых , изучил взаимосвязь между размерностью Хаусдорфа наборов действительных чисел и тем, насколько хорошо они могут быть аппроксимированы рациональными числами , и исследовал свойства нигде -дифференцируемые функции .

Образование и карьера

Ярник родился 22 декабря 1897 года. Он был сыном Яна Урбана Ярника  [ CS ] , профессора филологии романского языка в Карловом университете , а его старший брат Гертвик Ярник также стал профессором лингвистики. Несмотря на это, Ярник не изучал латынь в своей гимназии (CK české vyšší reálné Gymnasium, Ječná, Прага), поэтому, когда он поступил в Карлов университет в 1915 году, ему пришлось делать это как выдающийся студент, пока он не смог сдать экзамен по латинскому языку за три семестра потом.

Он изучал математику и физику в Карловом университете с 1915 по 1919 год под руководством Карла Петра . После завершения учебы он стал ассистентом Яна Войтеха в Технологическом университете Брно , где он также познакомился с Матиасом Лерхом . В 1921 году он защитил докторскую степень (RNDr.) В Карловом университете, защитив диссертацию о функциях Бесселя под руководством Петра, затем вернулся в Карлов университет в качестве ассистента Петра.

Сохраняя свою позицию в Карловом университете, он учился у Эдмунда Ландау в Геттингенском университете с 1923 по 1925 год и снова с 1927 по 1929 год. По возвращении в Карлов университет он защитил свою абилитацию , а по возвращении из второго визита ему дали кафедру математики как экстраординарного профессора. В 1935 году он был назначен профессором, а затем занимал должности декана наук (1947–1948) и проректора (1950–1953). Он вышел на пенсию в 1968 году.

Ярник руководил защитой диссертаций 16 докторантов. Среди них особо выделяются шахматный мастер Мирослав Катетов , ставший ректором Карлова университета, Ярослав Курцвейл , известный своим интегралом Хенштока – Курцвейла , и словацкий математик Тибор Шалат .

Он умер 22 сентября 1970 года.

Взносы

Хотя диссертация Ярника 1921 года, как и некоторые из его более поздних публикаций, была посвящена математическому анализу , его основная область работы была в теории чисел . Он изучил проблему гауссова круга и доказал ряд результатов по диофантовым приближениям , решеточным точечным задачам и геометрии чисел . Он также внес новаторский, но давно забытый вклад в комбинаторную оптимизацию .

Теория чисел

Выпуклая кривая, проходящая через 13 целочисленных точек решетки

Задача о круге Гаусса требует количества точек целочисленной решетки, заключенных в данную окружность . Одна из теорем Ярника ( 1926 ), связанная с этой проблемой, состоит в том, что любая выпуклая кривая длиной L проходит не более

${\ displaystyle {\ frac {3} {\ sqrt [{3}] {2 \ pi}}} L ^ {2/3} + O (L ^ {1/3})}$

точки целочисленной решетки. В этой формуле представляет собой экземпляр Big O нотации . Ни показатель степени L, ни старшая константа этой границы не могут быть улучшены, поскольку существуют выпуклые кривые с таким количеством узлов сетки. ${\ displaystyle O}$

Другая теорема Ярника в этой области показывает, что для любой замкнутой выпуклой кривой на плоскости с четко определенной длиной абсолютная разница между площадью, которую она охватывает, и количеством целых точек, которые она охватывает, составляет не более ее длины.

Ярник также опубликовал несколько результатов в диофантовых приближении , изучение приближения действительных чисел по рациональным числам . Он доказал ( 1928–1929 ), что плохо аппроксимируемые действительные числа (числа с ограниченными членами в их цепных дробях ) имеют размерность Хаусдорфа один. Это то же измерение, что и набор всех действительных чисел, интуитивно предполагая, что набор плохо аппроксимируемых чисел велик. Он также рассмотрел числа x, для которых существует бесконечно много хороших рациональных приближений p / q , с

${\ displaystyle \ left | x - {\ frac {p} {q}} \ right | <{\ frac {1} {q ^ {k}}}}$

для данного показателя k > 2 и доказал ( 1929 ), что они имеют меньшую размерность Хаусдорфа 2 / k . Второй из этих результатов позже был переоткрыт Безиковичем . Безикович использовал другие методы, чем Ярник, чтобы доказать это, и результат стал известен как теорема Ярника – Безиковича.

Математический анализ

Работа Ярника в области реального анализа началась с того, что в неопубликованных работах Бернарда Больцано было найдено определение непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема . Открытие Больцано в 1830 году предшествовало публикации в 1872 году функции Вейерштрасса , которая ранее считалась первым примером такой функции. Основываясь на своем исследовании функции Больцано, Ярник был приведен к более общей теореме: если вещественная функция из замкнутого интервала не имеет ограниченную вариацию в любом отрезке, то есть плотное подмножество своей области , на котором по крайней мере один его производных по Дини бесконечно. В частности, это относится к нигде не дифференцируемым функциям, поскольку они должны иметь неограниченное изменение во всех интервалах. Позже, узнав результат Стефана Банаха и Стефана Мазуркевича о том, что общие функции (то есть члены остаточного множества функций) нигде не дифференцируемы, Ярник доказал, что почти во всех точках все четыре производные Дини такой функции равны бесконечно. Большая часть его более поздних работ в этой области касалась распространения этих результатов на приближенные производные.

Комбинаторная оптимизация

Анимация алгоритма Ярника для минимальных остовных деревьев

В области информатики и комбинаторной оптимизации Ярник известен алгоритмом построения минимальных остовных деревьев, который он опубликовал в 1930 году в ответ на публикацию алгоритма Борувки другим чешским математиком Отакаром Борувкой . Алгоритм Ярника строит дерево из одной начальной вершины данного взвешенного графа , многократно добавляя самое дешевое соединение к любой другой вершине, пока не будут соединены все вершины. Тот же алгоритм был позже открыт в конце 1950-х годов Робертом К. Примом и Эдсгером В. Дейкстра . Он также известен как алгоритм Прима или алгоритм Прима-Дейкстры.

Он также опубликовал вторую связанную статью с Милошем Кёсслером  [ CS ] ( 1934 ) по проблеме евклидова дерева Штейнера . В этой задаче нужно снова сформировать дерево, соединяющее данный набор точек, со стоимостью ребер, заданной евклидовым расстоянием . Однако могут быть добавлены дополнительные точки, которые не являются частью входных данных, чтобы сделать общее дерево короче. Эта статья - первая серьезная трактовка общей проблемы дерева Штейнера (хотя она появилась ранее в письме Гаусса ), и она уже содержит «практически все общие свойства деревьев Штейнера», позже приписываемые другим исследователям.

Признание и наследие

Ярник был членом Чешской академии наук и искусств, с 1934 года как экстраординарный член, а с 1946 года как постоянный член. В 1952 году он стал одним из основателей Чехословацкой академии наук . Он также был удостоен Чехословацкой Государственной премии в 1952 году.

Улица Ярникова, автобусная остановка Ярникова и памятный знак в честь Ярника.

Ярник Международный математический конкурс, проводится ежегодно с 1991 года в Остраве , назван в его честь, как Jarníkova Улица в Ходах районе Праги . Серия почтовых марок опубликованных Чехословакии в 1987 году в честь 125 - летие Союза чехословацких математиков и физиков включает один штамп с участием Ярника вместе с Петцваль и Винценцем Строугал .

В марте 1998 года в Праге прошла конференция, посвященная столетию со дня его рождения.

Избранные публикации

Ярник опубликовал 90 математических работ, в том числе:

• Ярник, Войтех (1923), "О číslech derivovaných funkcí jedné reálné proměnné" [О производных числах функций действительного переменного], Časopis Pro Pěstování Matematiky Fysiky (в Чехии), 53 : 98-101, JFM   50.0189.02 . Функция с неограниченной вариацией на всех интервалах имеет плотное множество точек, в которых производная Дини бесконечна.
• Ярник, Войтех (1926), «Uber die Gitterpunkte auf konvexen Kurven» [О точках сетки на выпуклых кривых], Mathematische Zeitschrift (на немецком языке), 24 (1): 500–518, doi : 10.1007 / BF01216795 , MR   1544776 . Точные ограничения на количество целочисленных точек на выпуклой кривой в зависимости от ее длины.
• Ярник, Войтех (1928-1929), "Zur metrischen Теорье дер diophantischen Approximationen" [О метрической теории диофантовых приближений], Prace Matematyczno-Fizyczne (на немецком языке ), Варшава, 36 : 91-106, СУЛ   55.0718.01 . Плохо аппроксимируемые числа имеют размерность Хаусдорфа один.
• Ярник, Vojtech (1929), "Diophantische Approximationen унд Hausdorffsches MASS" [приближение диофантову и меру Хаусдорфа], Математический сборник (на немецком), 36 : 371-382, СУЛ   55.0719.01 . Хорошо аппроксимируемые числа имеют размерность Хаусдорфа меньше единицы.
• Ярник, Войтех (1930), "О jistém problému minimálním (Z dopisu рапи О. Borůvkovi)." [О некоторой минимальной задачи (из письма О. Борувка)], Práce Moravské Přírodovědecké společnosti (в Чехии), 6 : 57–63 . Оригинальный справочник по алгоритму Ярника для минимальных остовных деревьев.
• Ярник, Войтех (1933), «Uber die Differenzierbarkeit stetiger Funktionen» [О дифференцируемости непрерывных функций], Fundamenta Mathematicae (на немецком языке), 21 : 48–58, Zbl   0007.40102 . Типичные функции имеют бесконечные производные Дини почти во всех точках.
• Ярник, Войтех; Кесслер, Милош (1934), «O minimálních grafech, obsahujících n daných bodů» [О минимальных графах, содержащих n заданных точек], Časopis pro Pěstování Matematiky a Fysiky (на чешском языке), 63 : 223–235, Zbl   0009.13106 . Первое серьезное решение проблемы дерева Штейнера .

Он также был автором десяти учебников на чешском языке по интегральному исчислению , дифференциальным уравнениям и математическому анализу . Эти книги «стали классикой для нескольких поколений студентов».

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Новак, Бретислав, изд. (1999), Жизнь и деятельность Войтеха Ярника , Прага: Союз чешских математиков и физиков , ISBN   80-7196-156-6 .
• Цифровой архив Войтеха Ярника , Чешская электронная математическая библиотека

внешняя ссылка

• СМИ, связанные с Войтехом Ярником на Викискладе?