Бернар Больцано - Bernard Bolzano

Преподобный

Бернар Больцано
Бернард Больцано.jpg
Родился
Бернард Плацидус Иоганн Непомук Гонсаль Больцано

( 1781-10-05 )5 октября 1781 г.
Прага , Королевство Богемия
Умер 18 декабря 1848 г. (1848-12-18)(67 лет)
Прага, Королевство Богемия
Образование Пражский университет
( доктор философии , 1804 г.)
Эра Философия 19 века
Область Западная философия
Школа Логический объективизм
Утилитаризм
Классический либерализм
Учреждения Пражский университет
(1805–1819)
Тезис Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie (Соображения относительно некоторых объектов элементарной геометрии)  (1804)
Академические консультанты Франц Йозеф Герстнер
Известные студенты Роберт фон Циммерманн
Основные интересы
 Логика , эпистемология , теология
Известные идеи
 Логический объективизм
Теорема Больцано (первое чисто аналитическое доказательство теоремы о промежуточном значении ) Теорема
Больцано – Вейерштрасса
(ε, δ) -определение предельного
свойства наименьшей верхней границы
Влияния
Под влиянием
Церковная карьера
Религия христианство
Церковь католическая церковь
Назначен 1805 г.

Бернарда Больцано ( Великобритания : / б ɒ л т ы ɑː п oʊ / , США : / б oʊ л т ы ɑː -, б oʊ л г ɑː - / ; немецкий: [bɔltsaːno] ; итальянский:  [boltsaːno] ; (родился Бернард Плацидус Иоганн Непомук (Больцано ; 5 октября 1781 - 18 декабря 1848)) был чешским математиком , логиком , философом , теологом и католическим священником итальянского происхождения, также известным своими либеральными взглядами.

Больцано писал на немецком , своем родном языке. По большей части его работы стали известны посмертно.

Семья

Больцано был сыном двух набожных католиков . Его отец, Бернар Помпей Больцано, был итальянцем, который переехал в Прагу , где женился на Марии Сесилии Маурер, происходившей из немецкоязычной пражской семьи Маурер. Только двое из их двенадцати детей дожили до совершеннолетия.

Карьера

Больцано поступил в Пражский университет в 1796 году и изучал математику , философию и физику . Начиная с 1800 года он также начал изучать богословие , став католическим священником в 1804 году. В 1805 году он был назначен на новую кафедру философии религии в Пражском университете. Он оказался популярным лектором не только по религии, но и по философии. и он был избран деканом философского факультета в 1818 году.

Больцано оттолкнул многих преподавателей и церковных лидеров своим учением о социальной растрате милитаризма и ненужности войны. Он призвал к полной реформе образовательной, социальной и экономической систем, которая направит интересы нации к миру, а не к вооруженному конфликту между странами. Его политические убеждения, которыми он был склонен частенько делиться с другими, в конечном итоге оказались слишком либеральными для австрийских властей. 24 декабря 1819 года он был отстранен от должности профессора (за отказ отречься от своих убеждений) и был сослан в деревню, а затем посвятил всю свою энергию своим трудам по социальным, религиозным, философским и математическим вопросам.

Хотя Больцано было запрещено публиковаться в основных журналах как условие его изгнания, Больцано продолжал развивать свои идеи и публиковать их либо самостоятельно, либо в малоизвестных восточноевропейских журналах. В 1842 году он вернулся в Прагу, где и умер в 1848 году.

Математическая работа

Больцано внес несколько оригинальных вкладов в математику. Его общая философская позиция заключалась в том, что, в отличие от большей части преобладающей математики той эпохи, лучше не вводить в математику интуитивные идеи, такие как время и движение. С этой целью, он был одним из первых математиков , чтобы начать прививать строгость в математический анализ с его тремя главными математическими работами Beyträ цей етекла begründeteren Darstellung дера Mathematik (1810), Der binomische Lehrsatz (1816) и Rein analytischer Beweis (1817). Эти работы представляют собой «... образец нового способа развития анализа», конечная цель которого будет достигнута лишь через пятьдесят лет, когда они привлекли внимание Карла Вейерштрасса .

К основам математического анализа он способствовал введением полностью строгого определения математического предела ε – δ . Больцано первым признал свойство наибольшей нижней границы действительных чисел. Как и многие другие его день, он скептически относился к возможности Готфрида Лейбница «s инфинитезималей , который был самым ранним мнимый основанием для дифференциального исчисления . Представление Больцано о пределе было похоже на современное: предел, вместо того, чтобы быть отношением между бесконечно малыми, вместо этого должен быть выражен в терминах того, как зависимая переменная приближается к определенной величине, когда независимая переменная приближается к некоторой другой определенной величине.

Больцано также дал первое чисто аналитическое доказательство основной теоремы алгебры , которое первоначально было доказано Гауссом из геометрических соображений. Он также дал первое чисто аналитическое доказательство теоремы о промежуточном значении (также известной как теорема Больцано ). Сегодня его больше всего помнят за теорему Больцано – Вейерштрасса , которую Карл Вейерштрасс разработал независимо и опубликовал спустя годы после первого доказательства Больцано и которая первоначально называлась теоремой Вейерштрасса, пока более ранние работы Больцано не были открыты заново.

Философская работа

Посмертно опубликованная работа Больцано « Paradoxien des Unendlichen» («Парадоксы бесконечного») (1851) вызвала глубокое восхищение многих выдающихся логиков , пришедших после него, в том числе Чарльза Сандерса Пирса , Георга Кантора и Ричарда Дедекинда . Однако главная претензия Больцано на известность - это его книга 1837 года Wissenschaftslehre ( Теория науки ), состоящая из четырех томов, охватывающая не только философию науки в ее современном понимании, но также логику, эпистемологию и научную педагогику. Логическая теория, разработанная Больцано в этой работе, была признана новаторской. Другие работы - это четырехтомный Lehrbuch der Religionswissenschaft ( Учебник науки о религии ) и метафизический труд Athanasia , защита бессмертия души. Больцано также проделал ценную работу по математике, которая оставалась практически неизвестной, пока Отто Штольц заново не обнаружил многие из своих потерянных журнальных статей и переиздал их в 1881 году.

Wissenschaftslehre (Теория науки)

В своей Wissenschaftslehre 1837 года Больцано попытался предоставить логические основы для всех наук, опираясь на такие абстракции, как частичное отношение, абстрактные объекты , атрибуты, формы предложений, идеи и предложения сами по себе, суммы и множества , совокупности, субстанции, приверженности, субъективные идеи, суждения и случаи приговора. Эти попытки были в основном продолжением его более ранних мыслей в области философии математики, например, его Beiträge 1810 года, где он подчеркивал различие между объективными отношениями между логическими следствиями и нашим субъективным признанием этих связей. Для Больцано было недостаточно того, что у нас было просто подтверждение естественных или математических истин, но, скорее, правильная роль наук (как чистых, так и прикладных) заключалась в поиске оправдания в терминах фундаментальных истин, которые могут или не могут появиться. быть очевидным для нашей интуиции.

Введение в Wissenschaftslehre

Больцано начинает свою работу с объяснения того, что он имеет в виду под теорией науки , и отношения между нашими знаниями, истинами и науками. Он утверждает, что человеческое знание состоит из всех истин (или истинных утверждений), которые люди знают или знают. Однако это лишь очень небольшая часть всех существующих истин, хотя все еще слишком много для понимания одним человеком. Поэтому наши знания разделены на более доступные части. Такой набор истин Больцано называет наукой ( Wissenschaft ). Важно отметить, что не все истинные положения науки должны быть известны людям; следовательно, именно так мы можем делать открытия в науке.

Чтобы лучше понять и понять истины науки, люди создали учебники ( Lehrbuch ), которые, конечно, содержат только истинные положения науки, известные людям. Но как узнать, где разделить наши знания, то есть какие истины принадлежат друг другу? Больцано объясняет, что в конечном итоге мы узнаем это через некоторое размышление, но полученные в результате правила того, как разделить наши знания на науки, сами по себе будут наукой. Эта наука, которая говорит нам, какие истины принадлежат друг другу и которые следует объяснять в учебнике, - это теория науки ( Wissenschaftslehre ).

Метафизика

В Wissenschaftslehre Больцано в основном занимается тремя сферами:

(1) Царство языка, состоящее из слов и предложений.
(2) Сфера мысли, состоящая из субъективных идей и суждений.
(3) Сфера логики, состоящая из объективных идей (или идей в себе) и суждений в себе.

Больцано посвящает большую часть Wissenschaftslehre объяснению этих сфер и их отношений.

В его системе заметную роль играют два отличия. Во-первых, различие между частями и целым . Например, слова являются частями предложений, субъективные идеи - частями суждений, объективные идеи - частями предложений сами по себе. Во-вторых, все объекты делятся на те, которые существуют , что означает, что они причинно связаны и расположены во времени и / или пространстве, и те, которые не существуют. Первоначальное утверждение Больцано состоит в том, что логическая область населена объектами второго типа.

Satz an Sich (суждение само по себе)

Satz an Sich - основное понятие в Wissenschaftslehre Больцано . Он вводится в самом начале, в разделе 19. Больцано сначала вводит понятия пропозиции (устной или письменной, или мысли, или самой по себе) и идеи (устной, или письменной, или мысли, или самой по себе). «Трава зеленая» - это суждение ( Satz ): в связи со словами что-то говорится или утверждается. Однако «трава» - это только идея ( Vorstellung ). Он что-то представляет, но ничего не утверждает. Понятие пропозиции Больцано довольно широкое: «Прямоугольник круглый» - это суждение, даже если оно ложно в силу внутреннего противоречия, потому что оно составлено понятным образом из понятных частей.

Больцано не дает полного определения Satz an Sich (т. Е. Суждения как такового), но он дает нам достаточно информации, чтобы понять, что он под этим подразумевает. Утверждение само по себе (i) не существует (то есть: оно не имеет положения во времени или месте), (ii) истинно или ложно, независимо от того, кто знает или думает, что оно истинно или ложно, и (iii) это то, что «улавливают» мыслящие существа. Таким образом, письменное предложение («Сократ обладает мудростью») улавливает суждение само по себе, а именно суждение [у Сократа есть мудрость]. Письменное предложение действительно существует (оно находится в определенном месте в определенное время, скажем, на экране вашего компьютера в этот самый момент) и выражает суждение само по себе, которое находится в сфере самого себя (то есть sich ). (Использование Больцано термина an sich сильно отличается от того, которое использовал Кант ; о том, как Кант использовал термин, см. An sich .)

Каждое предложение само по себе составлено из идей в себе (для простоты мы будем использовать предложение, чтобы обозначить «предложение в себе», а идея - для обозначения объективной идеи или идеи в себе. Идеи отрицательно определяются как те части предложения, которые сами по себе не являются предложениями. Пропозиция состоит по крайней мере из трех идей, а именно: субъектной идеи, предикатной идеи и связки (т. е. «имеет» или другой формы иметь ) (хотя есть предложения, которые содержат предложения, но мы не будем их сейчас учитывать.)

Больцано выделяет определенные типы идей. Есть простые идеи, у которых нет частей (например, Больцано использует [что-то]), но есть также сложные идеи, которые состоят из других идей (Больцано использует пример [ничего], который состоит из идей [not] и [ что-то]). Сложные идеи могут иметь одинаковое содержание (т.е. одни и те же части), но не быть одинаковыми, потому что их компоненты по-разному связаны. Идея [Черная ручка с синими чернилами] отличается от идеи [Синяя ручка с черными чернилами], хотя части обеих идей одинаковы.

Идеи и объекты

Важно понимать, что идея не обязательно должна иметь объект. Больцано использует объект для обозначения того, что представлено идеей. Идея, у которой есть объект, представляет этот объект. Но идея, не имеющая объекта, ничего не представляет. (Не запутайтесь здесь терминологией: безобъектная идея - это идея без репрезентации.)

Для дальнейшего объяснения рассмотрим пример, использованный Больцано. Идея [круглый квадрат] не имеет объекта, потому что объект, который должен быть представлен, противоречит самому себе. Другой пример - идея [ничего], у которой определенно нет объекта. Однако суждение [идея круглого квадрата имеет сложность] имеет в качестве предмета-идеи [идею круглого квадрата]. У этого субъекта-идеи есть объект, а именно идея [круглый квадрат]. Но у этой идеи нет цели.

Помимо беспредметных идей, есть идеи, которые имеют только один объект, например, идея [первый человек на Луне] представляет только один объект. Больцано называет эти идеи «единичными идеями». Очевидно, есть также идеи, которые имеют много объектов (например, [жители Амстердама]) и даже бесконечно много объектов (например, [простое число]).

Ощущения и простые идеи

У Больцано сложная теория того, как мы можем ощущать вещи. Он объясняет ощущение с помощью термина интуиция, который по-немецки называется Anschauung . Интуиция - это простая идея, у нее есть только один объект ( Einzelvorstellung ), но, кроме того, она уникальна (Больцано это нужно для объяснения ощущений). Интуиции ( Anschauungen ) - это объективные идеи, они принадлежат царству an sich , что означает, что они не существуют. Как уже было сказано, аргументация интуиции Больцано основана на объяснении ощущений.

Когда вы ощущаете реальный существующий объект, например розу, происходит следующее: различные аспекты розы, такие как аромат и цвет, вызывают в вас изменения. Это изменение означает, что до и после ощущения розы ваш ум находится в другом состоянии. Итак, ощущение - это на самом деле изменение вашего психического состояния. Как это связано с предметами и идеями? Больцано объясняет, что это изменение, по вашему мнению, по сути является простой идеей ( Vorstellung ), вроде «этого запаха» (этой конкретной розы). Эта идея представляет; он имеет своей целью изменение. Это изменение должно быть не только простым, но и уникальным. Это потому, что буквально вы не можете дважды испытать один и тот же опыт, равно как и два человека, которые вдыхают запах одной розы в одно и то же время, не могут точно так же ощущать этот запах (хотя они будут очень похожи). Таким образом, каждое отдельное ощущение вызывает единственную (новую) уникальную и простую идею с определенным изменением в качестве ее объекта. Эта идея в вашем уме является субъективной идеей, означающей, что она находится в вас в определенное время. У него есть существование. Но эта субъективная идея должна соответствовать объективной идее или иметь ее содержание. Вот где Больцано привносит интуицию ( Anschauungen ); это простые, уникальные и объективные идеи, которые соответствуют нашим субъективным представлениям об изменениях, вызванных ощущениями. Итак, для каждого возможного ощущения существует соответствующая объективная идея. Схематично весь процесс выглядит так: всякий раз, когда вы нюхаете розу, ее запах вызывает в вас изменения. Это изменение является предметом вашего субъективного представления об этом конкретном запахе. Эта субъективная идея соответствует интуиции или Anschauung .

Логика

Согласно Больцано, все предложения состоят из трех (простых или сложных) элементов: подлежащего, сказуемого и связки . Вместо более традиционного копулятивного термина «есть» Больцано предпочитает «имеет». Причина этого в том, что «имеет», в отличие от «есть», может связывать конкретный термин, такой как «Сократ», с абстрактным термином, таким как «облысение». «У Сократа облысение», согласно Больцано, предпочтительнее, чем «Сократ лыс», потому что последняя форма менее проста: «лысый» сам по себе состоит из элементов «что-то», «то», «имеет» и «облысение». . Больцано также сводит экзистенциальные суждения к этой форме: «Сократ существует» просто превратилось бы в «Сократ существует ( Dasein )».

Важную роль в логической теории Больцано играет понятие вариаций : различные логические отношения определяются в терминах изменений ценности истинности, которые претерпевают предложения, когда их нелогические части заменяются другими. Например, логически аналитические предложения - это те, в которых все нелогические части могут быть заменены без изменения значения истинности. Два предложения являются «совместимыми» ( verträglich ) по отношению к одной из их составных частей x, если есть хотя бы один термин, который может быть вставлен, что сделало бы оба истинными. Предложение Q «выводимо» ( ableitbar ) из предложения P относительно некоторых их нелогических частей, если любая замена этих частей, которая делает P истинным, также делает Q истинным. Если предложение выводимо из другого относительно всех его нелогических частей, оно называется «логически выводимым». Помимо отношения выводимости, Больцано также имеет более строгое отношение «последователь- ности » ( Abfolge ). Это асимметричное отношение, которое возникает между истинными предложениями, когда одно из предложений не только выводится из другого , но и объясняется им.

Правда

Больцано различает пять значений, которые слова « истина» и « правда» имеют в общем употреблении, и все из них Больцано считает беспроблемным. Значения перечислены в порядке соответствия:

I. Абстрактное объективное значение: Истина означает атрибут, который может применяться к предложению, в первую очередь к предложению в себе, а именно атрибут, на основе которого предложение выражает то, что в действительности выражается. Антонимы: ложь, ложь, ложь .

II. Конкретное объективное значение: (а) Истина означает предложение, имеющее атрибут истины в абстрактном объективном значении. Антоним: (а) ложь .

III. Субъективное значение: (а) Истина означает правильное суждение. Антоним: (а) ошибка .

IV. Коллективное значение: Истина означает тело или множество истинных утверждений или суждений (например, библейскую истину).

V. Неправильное значение: Истина означает, что какой-то объект на самом деле является тем, чем его называют деноминация. (например, истинный Бог). Антонимы: ложный, нереальный, иллюзорный .

В первую очередь Больцано интересует конкретный объективный смысл: конкретные объективные истины или истины сами по себе. Все истины сами по себе являются своего рода суждениями. Их не существует, то есть они не расположены в пространстве-времени, как мысли и высказанные предложения. Тем не менее, некоторые суждения обладают атрибутом истины сами по себе. Мыслительное суждение не является частью концепции истины как таковой, несмотря на то, что, учитывая всеведение Бога, все истины сами по себе также являются мысленными истинами. Понятия «истина в себе» и «истина мысли» взаимозаменяемы, поскольку они применимы к одним и тем же объектам, но не идентичны.

Больцано предлагает в качестве правильного определения (абстрактной объективной) истины: предложение истинно, если оно выражает то, что применимо к его объекту. Таким образом, правильное определение (конкретной объективной) истины должно быть таким: истина - это предложение, которое выражает то, что применимо к ее объекту. Это определение применяется к истинам как таковым, а не к мысли или известным истинам, поскольку ни одно из понятий, фигурирующих в этом определении, не подчиняется понятию чего-то ментального или известного.

Больцано доказывает в §§31–32 своего Wissenschaftslehre три вещи:

Сама по себе правда есть как минимум одна (конкретный объективный смысл):

1. Нет истинных суждений (предположение)
2. 1. - предложение (очевидное)
3. 1. истинно (предполагается) и ложно (из-за 1.)
4. 1. противоречиво (из-за 3.)
5. 1. ложно (из-за 4.)
6. Есть хотя бы одно истинное предложение (из-за 1. и 5.)

Б. Сама по себе истина не одна:

7. Сама по себе истина только одна, а именно: A есть B (предположение).
8. А есть Б - истина сама по себе (из-за 7.)
9. Сами по себе нет других истин, кроме А есть Б (из-за 7.)
10. 9. истинное суждение / истина сама по себе (из-за 7.)
11. Сами по себе две истины (из-за 8 и 10).
12. Сама по себе истина более чем одна (из-за 11.)

В. Сами по себе истин бесконечно много:

13. Сами по себе всего n истин, а именно: A - это B .... Y - это Z (предположение).
14. A есть B .... Y есть Z сами по себе n истин (из-за 13.)
15. Нет других истин, кроме А есть Б .... Y есть Z (из-за 13.)
16. 15. - истинное суждение / истина сама по себе (из-за 13.)
17. Сами по себе n + 1 истин (из-за 14. и 16.)
18. Шаги с 1 по 5 можно повторять для n + 1, что приводит к n + 2 истинам и так далее до бесконечности (поскольку n - переменная).
19. Сами по себе истин бесконечно много (из-за 18.)

Суждения и познания

Известная истина имеет своими частями ( Bestandteile ) истину в себе и суждение (Bolzano, Wissenschaftslehre § 26 ). Суждение - это мысль, которая утверждает истинное суждение. При суждении (по крайней мере, когда суждение является истинным предложением) идея объекта определенным образом связана с идеей характеристики (§ 23). В истинных суждениях отношение между идеей объекта и идеей характеристики есть отношение актуальное / существующее (§28).

Каждое суждение связано с утверждением, которое либо истинно, либо ложно. Каждое решение существует, но не «für sich». Суждения, а именно, в отличие от суждений сами по себе, зависят от субъективной мыслительной деятельности. Однако не всякая умственная деятельность должна быть суждением; Напомним, что все суждения содержат суждения, и, следовательно, все суждения должны быть либо истинными, либо ложными. Простые представления или мысли - это примеры умственной деятельности, которую не обязательно нужно излагать (behaviorupten), и поэтому они не являются суждениями (§ 34).

Суждения, содержащие истинные суждения, можно назвать познаниями (§36). Познания также зависят от субъекта, и поэтому, в отличие от истин самих по себе, познания допускают степени; предложение может быть более или менее известным, но не может быть более или менее верным. Каждое познание обязательно подразумевает суждение, но не каждое суждение обязательно является познанием, потому что есть также суждения, которые не являются истинными. Больцано утверждает, что ложных познаний не существует, есть только ложные суждения (§34).

Философское наследие

Больцано оказался окруженным кругом друзей и учеников, которые распространяли его мысли о (так называемом Круге Больцано ), но влияние его мысли на философию поначалу казалось незначительным.

Алоис Höfler (1853-1922), бывший студент Брентано и Мейнонг , который впоследствии стал профессором педагогики в Венском университете , создал «недостающее звено между Венским кружком и традицией Bolzano в Австрии.» Однако работы Больцано были заново открыты Эдмундом Гуссерлем и Казимежем Твардовски , учениками Франца Брентано . Благодаря им Больцано оказал определяющее влияние как на феноменологию, так и на аналитическую философию .

Сочинения

  • Больцано: Gesamtausgabe ( Больцано: Собрание сочинений ), критическое издание под редакцией Эдуарда Винтера, Яна Берг  [ sv ] , Фридриха Камбартеля, Боба ван Роотселаара, Штутгарт: Фромман-Хольцбуг, 1969 и далее. (103 тома доступны, 28 томов готовятся).
  • Wissenschaftslehre , 4 тома, 2-е изд. изд. В. Шульца, Лейпциг I – II 1929, III 1980, IV 1931; Критическое издание под редакцией Яна Берга: Gesamtausgabe Больцано, тт. 11–14 (1985–2000).
  • Grundlegung der Logik Бернара Больцано. Ausgewählte Paragraphen aus der Wissenschaftslehre , Vols. 1 и 2, с дополнительными текстовыми резюме, введением и указателями, под редакцией Ф. Камбартеля, Гамбург, 1963, 1978².
  • Больцано, Бернар (1810), Beyträge zu einer begindeteren Darstellung der Mathematik. Erste Lieferung( Вклад в более обоснованное представление математики ; Ewald 1996 , стр. 174–224 и The Mathematical Works of Bernard Bolzano , 2004, стр. 83–137).
  • Больцано, Бернар (1817 г.), Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege , Wilhelm Engelmann( Чисто аналитическое доказательство теоремы о том, что между любыми двумя значениями, дающими результаты с противоположным знаком, лежит по крайней мере один действительный корень уравнения ; Ewald 1996 , стр. 225–48.
  • Франц Прихонский (1850), Der Neue Anti-Kant , Bautzen (оценка Критики чистого разума Больцано, опубликованная посмертно его другом Ф. Прихонским). * Больцано, Бернар (1851), Paradoxien des Unendlichen , CH Reclam( Парадоксы бесконечного ; Эвальд 1996 , стр. 249–92 (отрывок)).

Переводы и сборники

  • Теория науки (подборка отредактирована и переведена Рольфом Джорджем, Беркли и Лос-Анджелес: Калифорнийский университет Press, 1972).
  • Теория науки (подборка отредактирована Яном Бергом с введением. Перевод с немецкого Бернхэма Террелла, Дордрехта и Бостона: D. Reidel Publishing Company, 1973).
  • Theory of Science , первый полный английский перевод в четырех томах Рольфа Джорджа и Пола Руснок, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2014.
  • Математические работы Бернарда Больцано , переведенные и отредактированные Стивом Руссом, Нью-Йорк: Oxford University Press, 2004 (перепечатано в 2006 году).
  • О математическом методе и переписке с Экснером , перевод Рольфа Джорджа и Пола Руснок, Амстердам: Родопи, 2004.
  • Избранные труды по этике и политике , переведенные Рольфом Джорджем и Полом Русноками, Амстердам: Родопи, 2007.
  • Франц Прихонский, Новый антикант, под редакцией Сандры Лапойнт и Клинтона Толли, Нью-Йорк, Palgrave Macmillan, 2014.
  • Русс С.Б. (1980). «Перевод статьи Больцано о теореме о промежуточном значении» . Historia Mathematica . 7 (2): 156–185. DOI : 10.1016 / 0315-0860 (80) 90036-1 .(Перевод Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege (Прага 1817))

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Эдгар Моршер  [ де ] (1972), «Фон Больцано цу Мейнонг: Zur Geschichte des logischen Realismus». В: Рудольф Халлер (ред.), Jenseits von Sein und Nichtsein: Beiträge zur Meinong-Forschung , Грац, стр. 69–102.

внешние ссылки