Геометрия чисел - Geometry of numbers

Геометрия чисел - это часть теории чисел, которая использует геометрию для изучения алгебраических чисел . Обычно кольцо алгебраических целых чисел рассматривается как решетка в, и изучение этих решеток дает фундаментальную информацию об алгебраических числах. Геометрия чисел была начата Германом Минковским ( 1910 ). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n},}$

Наилучшие рациональные аппроксимации для

π

(зеленый круг), e (синий ромб), ϕ (продолговатый розовый), (√3) / 2 (серый шестиугольник), 1 / √2 (красный восьмиугольник) и 1 / √3 (оранжевый треугольник) вычисленные из их разложений в непрерывную дробь, построенные как наклоны y / x с ошибками от их истинных значений (черные штрихи)

Геометрия чисел имеет тесную связь с другими областями математики, особенно с функциональным анализом и диофантовым приближением , проблемой поиска рациональных чисел , приближающих иррациональную величину .

Результаты Минковского

Предположим, что это решетка в -мерном евклидовом пространстве и выпуклое центрально-симметричное тело. Теорема Минковского , иногда называемая первой теоремой Минковского, утверждает, что если , то содержит ненулевой вектор из . ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ operatorname {vol} (K)> 2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

Последовательный минимум определяется как бесконечное число таких чисел , которое содержит линейно независимые векторы . Теорема Минковского о последовательных минимумах , иногда называемая второй теоремой Минковского , является усилением его первой теоремы и утверждает, что ${\ displaystyle \ lambda _ {k}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle \ lambda K}$ ${\ displaystyle k}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$

{\ displaystyle \ lambda _ {1} \ lambda _ {2} \ cdots \ lambda _ {n} \ operatorname {vol} (K) \ leq 2 ^ {n} \ operatorname {vol} (\ mathbb {R} ^ {n} / \ Gamma)}

.

Более поздние исследования в геометрии чисел

В 1930-1960 годах исследования геометрии чисел проводились многими теоретиками чисел (включая Луи Морделла , Гарольда Давенпорта и Карла Людвига Сигеля ). В последние годы Ленстра, Брион и Барвинок разработали комбинаторные теории, которые перечисляют точки решетки в некоторых выпуклых телах.

Теорема В. М. Шмидта о подпространстве

В геометрии чисел, теорема подпространства была получена Wolfgang М. Шмидт в 1972 г. В нем говорится , что если п является положительным целым числом, и L ₁ , ..., L _п являются линейно независимыми линейными формами в п переменных с алгебраическими коэффициентами и если ε> 0 - любое заданное действительное число, то ненулевое целое число указывает x в координатах n с

{\ displaystyle | L_ {1} (x) \ cdots L_ {n} (x) | <| x | ^ {- \ varepsilon}}

лежат в конечном числе собственных подпространств в Q ^н .

Влияние на функциональный анализ

Геометрия чисел Минковского оказала глубокое влияние на функциональный анализ . Минковский доказал, что симметричные выпуклые тела индуцируют нормы в конечномерных векторных пространствах. Теорема Минковская была обобщена на топологические векторных пространства по Колмогоров , чья теорема гласит , что симметричные множества выпуклых, замкнутые и ограниченные порождают топологию банахового пространства .

Исследователи продолжают изучать обобщения звездных множеств и других невыпуклых множеств .

Библиография

Матиас Бек, Синай Робинс. Вычисление непрерывного дискретного: целочисленное перечисление в многогранниках , Тексты для бакалавров по математике , Springer, 2007.
Энрико Бомбьери ; Ваалер, Дж. (Февраль 1983 г.). «По лемме Зигеля». Inventiones Mathematicae . 73 (1): 11–32. Bibcode : 1983InMat..73 ... 11B . DOI : 10.1007 / BF01393823 . S2CID 121274024 .
Энрико Бомбьери и Вальтер Габлер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Кембридж UP
JWS Cassels . Введение в геометрию чисел . Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (перепечатка изданий Springer-Verlag 1959 и 1971 годов).
Джон Хортон Конвей и NJA Слоан , Сферические упаковки , решетки и группы , Springer-Verlag, NY, 3-е изд., 1998.
Р. Дж. Гарднер, Геометрическая томография, Издательство Кембриджского университета, Нью-Йорк, 1995 г. Второе издание: 2006 г.
П.М. Грубер , Выпуклая и дискретная геометрия, Springer-Verlag, Нью-Йорк, 2007.
П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс (редакторы), Справочник по выпуклой геометрии. Vol. А. Б., Северная Голландия, Амстердам, 1993 г.
М. Grötschel , Ловаса, Л. , А. Шриджвер : Геометрические алгоритмы и комбинаторной оптимизации , Springer, 1988
Хэнкок, Харрис (1939). Развитие геометрии чисел Минковского . Макмиллан. (Переиздано в 1964 г. в Dover.)
Эдмунд Глава , Йоханнес Шойссенгайер, Рудольф Ташнер. Геометрическая и аналитическая теория чисел . Universitext. Спрингер-Верлаг, 1991.
Калтон, Найджел Дж .; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс У. (1984), Пробоотборник F-пространства , Серия лекций Лондонского математического общества, 89, Кембридж: Cambridge University Press, стр. Xii + 240, ISBN 0-521-27585-7 , MR 0808777
CG Lekkerkererker . Геометрия чисел . Wolters-Noordhoff, Северная Голландия, Wiley. 1969 г.
Ленстра, АК ; Ленстра, HW младший ; Ловас, Л. (1982). «Факторизация многочленов с рациональными коэффициентами» (PDF) . Mathematische Annalen . 261 (4): 515–534. DOI : 10.1007 / BF01457454 . hdl : 1887/3810 . Руководство по ремонту 0682664 . S2CID 5701340 .
Ловас, Л .: Алгоритмическая теория чисел, графиков и выпуклости , Серия региональных конференций CBMS-NSF по прикладной математике 50, SIAM, Филадельфия, Пенсильвания, 1986
Малышев А.В. (2001) [1994], "Геометрия чисел" , Энциклопедия математики , EMS Press
Минковский Герман (1910), Geometrie дер ZAHLEN , Лейпциге и Берлине: RG Teubner, СУЛ 41.0239.03 , MR 0249269 , извлекаются 2016-02-28
Вольфганг М. Шмидт . Диофантово приближение . Конспект лекций по математике 785. Springer. (1980 [1996 год с небольшими исправлениями])
Шмидт, Вольфганг М. (1996). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. 1467 (2-е изд.). Springer-Verlag . ISBN 3-540-54058-Х . Zbl 0754.11020 .
Сигель, Карл Людвиг (1989). Лекции по геометрии чисел . Springer-Verlag .
Рольф Шнайдер, Выпуклые тела: теория Брунна-Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1993.
Энтони С. Томпсон, геометрия Минковского, Cambridge University Press, Кембридж, 1996.
Герман Вейль . Теория приведения к арифметической эквивалентности. Пер. Амер. Математика. Soc. 48 (1940) 126–164. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1940-0002345-2
Герман Вейль. Теория приведения к арифметической эквивалентности. II. Пер. Амер. Математика. Soc. 51 (1942) 203–231. DOI : 10,2307 / 1989946

Languages

In other projects