Забывчивый функтор - Forgetful functor

В математике , в области теории категорий , забывчивый функтор (также известный как удаляющий функтор ) «забывает» или отбрасывает некоторые или все входные структуры или свойства «до», отображаемые на выход. Для алгебраической структуры данной подписи это может быть выражено сокращением подписи: новая подпись является отредактированной формой старой. Если подпись остается пустым списком, функтор просто берет базовый набор структуры. Поскольку многие структуры в математике состоят из набора с дополнительной добавленной структурой, наиболее распространенным случаем является забывчивый функтор, который отображается на базовый набор.

Обзор

В качестве примера приведем несколько забывчивых функторов из категории коммутативных колец . Кольцоединицей ) , описываемое на языке универсальной алгебры , представляет собой упорядоченный набор ( R , +, ×, a , 0, 1), удовлетворяющий определенным аксиомам, где «+» и «×» - бинарные функции на множестве R , a - унарная операция, соответствующая аддитивной инверсии, а 0 и 1 - нулевые операции, задающие идентичность двух бинарных операций. Удаление 1 дает забывчивый функтор к категории колец без единицы ; он просто «забывает» единицу. Удаление «×» и 1 дает функтор в категорию абелевых групп , которая присваивает каждому кольцо R базовой аддитивной абелевой группы R . Каждому морфизму колец приписывается одна и та же функция, рассматриваемая просто как морфизм сложения между основными группами. Удаление всех операций дает функтор к нижележащему множеству R .

Полезно различать забывчивые функторы, которые «забывают структуру», и те, которые «забывают свойства». Например, в приведенном выше примере коммутативных колец, помимо тех функторов, которые удаляют некоторые операции, есть функторы, которые забывают некоторые аксиомы. Из категории CRing в кольцо существует функтор, который забывает аксиому коммутативности, но сохраняет все операции. Иногда объект может включать в себя дополнительные наборы, не определенные строго в терминах базового набора (в этом случае, какую часть рассматривать базовый набор - дело вкуса, хотя на практике это редко бывает двусмысленным). Для этих объектов существуют забывчивые функторы, которые забывают дополнительные множества, более общие.

Наиболее распространенные объекты, изучаемые в математике, строятся как базовые множества вместе с дополнительными наборами структуры этих множеств (операции с базовым набором, привилегированные подмножества базового набора и т. Д.), Которые могут удовлетворять некоторым аксиомам. Для этих объектов обычно считается функтор забывчивости. Позвольте быть любой категорией, основанной на множествах , например, группы - множества элементов - или топологические пространства - множества «точек». Как обычно, писать для объектов с и записи для морфизмов то же самое. Рассмотрим правило:

Для всех в базовом наборе
Для всех в морфизме , как в карте множеств.

Тогда функтор является забывчивым функтором из в Set , категории множеств .

Забывчивые функторы почти всегда верны . Конкретные категории имеют забывчивые функторы по отношению к категории множеств - действительно, их можно определить как категории, которые допускают точный функтор для этой категории.

Забывчивые функторы, которые забывают только аксиомы, всегда полностью верны , поскольку каждый морфизм, который уважает структуру между объектами, которые удовлетворяют аксиомам, автоматически также уважает аксиомы. Забывчивые функторы, которые забывают структуры, не обязательно должны быть полными; некоторые морфизмы не соблюдают структуру. Однако эти функторы по-прежнему верны, потому что различные морфизмы, которые действительно учитывают структуру, все еще различны, когда структура забыта. Функторы, которые забывают дополнительные наборы, не обязательно должны быть точными, поскольку различные морфизмы, соответствующие структуре этих дополнительных наборов, могут быть неразличимы на нижележащем наборе.

На языке формальной логики функтор первого типа удаляет аксиомы, функтор второго рода удаляет предикаты, а функтор третьего типа удаляет типы. Примером первого типа является функтор забывчивости AbGrp . Один из второго типа - это функтор забывчивости AbSet . Функтором третьего рода является функтор ModAb , где Mod - расслоенная категория всех модулей над произвольными кольцами. Чтобы убедиться в этом, просто выберите гомоморфизм колец между лежащими в основе кольцами, который не меняет действие кольца. При использовании функтора забывчивости этот морфизм дает тождество. Обратите внимание, что объект в Mod - это кортеж, который включает кольцо и абелеву группу, так что забыть о них - дело вкуса.

Левые сопряженные к забывчивым функторам

Забывчивые функторы обычно имеют левые сопряжения , которые являются « свободными » конструкциями. Например:

Более подробный список см. В (Mac Lane 1997).

Поскольку это фундаментальный пример сопряжения, мы поясняем его: сопряженность означает, что для данного множества X и объекта (скажем, R -модуля) M карты множеств соответствуют отображениям модулей : каждая карта множеств порождает карту модулей, и каждая карта модулей получается из карты наборов.

В случае векторных пространств это можно резюмировать следующим образом: «Карта между векторными пространствами определяется тем, куда она отправляет базис, и этот базис может быть отображен на что угодно».

Символически:

Единица свободного забывания примыкания является «включение» основы: .

Fld , категория полей, представляет собой пример беспомощного функтора без присоединения. Не существует поля, удовлетворяющего свободному универсальному свойству для данного множества.

Смотрите также

использованная литература

  • Мак-Лейн, Сондерс . Категории для работающих математиков , Тексты для выпускников по математике 5, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1997. ISBN  0-387-98403-8
  • Забывчивый функтор в nLab