Линейно упорядоченная группа - Linearly ordered group

В математике , в частности в абстрактной алгебре , линейно упорядоченная или полностью упорядоченная группа - это группа G с полным порядком «≤», инвариантным относительно сдвига . Это может иметь разные значения. Мы говорим, что ( G , ≤) - это:

• левоупорядоченная группа, если из a  ≤  b следует c + a  ≤  c + b для всех a ,  b ,  c в G ,
• правоупорядоченная группа, если из a  ≤  b следует a + c  ≤  b + c для всех a ,  b ,  c в G ,
• двунаправленная группа, если она упорядочена как слева, так и справа.

Обратите внимание, что G не обязательно должна быть абелевой , даже если мы используем аддитивную запись (+) для групповой операции.

Определения

По аналогии с обычными числами, мы называем элемент c упорядоченной группы положительным, если 0 ≤  c и c  ≠ 0, где «0» здесь обозначает единичный элемент группы (не обязательно знакомый ноль действительных чисел). Множество положительных элементов в группе часто обозначают G ₊ .

Элементы линейно упорядоченной группы удовлетворяют трихотомии : каждый элемент a линейно упорядоченной группы G либо положительный ( a  ∈  G ₊ ), либо отрицательный ( −a  ∈  G ₊ ), либо нулевой ( a  = 0). Если линейно упорядоченная группа G не является тривиальным (т.е. 0 не является ее единственным элементом), то G ₊ бесконечна, так как все кратные элемента ненулевым различны. Следовательно, любая нетривиальная линейно упорядоченная группа бесконечна.

Если является элементом линейно упорядоченной группы G , то абсолютное значение из , обозначаемой | a | определяется как:

${\ displaystyle | a |: = {\ begin {cases} a, & {\ text {if}} a \ geq 0, \\ - a, & {\ text {else}}. \ end {cases}}}$

Если, кроме того, группа G является абелевой , то для любого а ,  б  ∈  G неравенство треугольника выполнено: | а  +  б | ≤ | а | + | б |.

Примеры

Любая вполне упорядоченная группа не имеет кручения . Наоборот, Ф. В. Леви показал, что абелева группа допускает линейный порядок тогда и только тогда, когда она не имеет кручения ( Levi 1942 ).

Гёльдер показал , что каждая архимедова группа (би-упорядоченной группа , удовлетворяющую архимедовость ) является изоморфна к подгруппе аддитивной группы действительных чисел , ( Fuchs & Salce 2001 , стр. 61). Если записать Архимед ла группу мультипликативной, это может быть показано при рассмотрении дедекиндова завершения , о замыкании ли группу под го корней. Мы наделяем это пространство обычной топологией линейного порядка, а затем можно показать, что для каждого экспоненциального отображения правильно определены сохраняющие / обращающие порядок топологические групповые изоморфизмы. Завершение группы lo может быть затруднено в неархимедовом случае. В этих случаях можно классифицировать группу по ее рангу: который связан с порядковым типом наибольшей последовательности выпуклых подгрупп. ${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle g \ in {\ widehat {G}}}$${\ displaystyle g ^ {\ cdot}: (\ mathbb {R}, +) \ to ({\ widehat {G}}, \ cdot): \ lim _ {i} q_ {i} \ in \ mathbb {Q } \ mapsto \ lim _ {i} g ^ {q_ {i}}}$

Большой источник примеров левоупорядочиваемых групп - это группы, действующие на вещественной прямой путем сохранения порядка гомеоморфизмов . Фактически, для счетных групп это, как известно, характеристика левоупорядочиваемости , см., Например, ( Ghys 2001 ).

Смотрите также

• Циклически упорядоченная группа
• Теорема вложения Хана
• Частично упорядоченная группа

Ноты

Ссылки

• Леви, FW (1942), "Упорядоченные группы", Proc. Индийский акад. Sci. , А16 (4): 256-263, DOI : 10.1007 / BF03174799
• Фукс, Ласло; Салсе, Луиджи (2001), Модули над нётеровыми областями , Математические обзоры и монографии, 84 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-1963-0, Руководство по ремонту  1794715
• Ghys, Э. (2001), «Группы, действующие в круге», L'Enseignement Mathématique , 47 : 329–407.