Трихотомия (математика) - Trichotomy (mathematics)

В математике закон трихотомии гласит, что каждое действительное число либо положительно, либо отрицательно, либо равно нулю.

В более общем смысле, бинарное отношение R на множестве X является трихотомическим, если для всех x и y в X выполняется ровно одно из xRy , yRx и x  =  y . Записывая R как <, это выражается в формальной логике как:

${\ displaystyle \ forall x \ in X \, \ forall y \ in X \, ([x <y \, \ land \, \ lnot (y <x) \, \ land \, \ lnot (x = y) ] \, \ lor \, [\ lnot (x <y) \, \ land \, y <x \, \ land \, \ lnot (x = y)] \, \ lor \, [\ lnot (x < y) \, \ land \, \ lnot (y <x) \, \ land \, x = y]) \ ,.}$

Характеристики

• Отношение трихотомично тогда и только тогда, когда оно асимметрично и связно .
• Если трихотомическое отношение также транзитивно, то это строгий тотальный порядок ; это частный случай строгого слабого порядка .

Примеры

• На множестве X = { a , b , c } отношение R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} транзитивно и трихотомно и, следовательно, является строгим полным порядком .
• На том же множестве циклическое отношение R = {( a , b ), ( b , c ), ( c , a )} трихотомично, но не транзитивно; он даже антитранзитивен .

Трихотомия по номерам

Закон трихотомии на некотором множестве X чисел обычно выражает то , что некоторые негласно дано отношение порядка на X является один разделенный на три части . Примером может служить закон «Для произвольных действительных чисел х и у , ровно одна из х < у , у < х , или х  =  у относится»; некоторые авторы даже фиксируют y равным нулю, полагаясь на аддитивную линейно упорядоченную групповую структуру действительного числа . Последняя представляет собой группу, снабженную трихотомическим порядком.

В классической логике эта аксиома трихотомии верна для обычного сравнения действительных чисел и, следовательно, также для сравнений между целыми числами и между рациональными числами . В интуиционистской логике закон вообще не соблюдается .

В теории множеств Цермело – Френкеля и теории множеств Бернейса закон трихотомии выполняется между кардинальными числами хорошо упорядочиваемых множеств даже без аксиомы выбора . Если выбранная аксиома верна, то трихотомия выполняется между произвольными кардинальными числами (потому что в этом случае все они хорошо упорядочиваются).

Смотрите также

• Begriffsschrift содержит раннюю формулировку закона трихотомии.
• Дихотомия
• Закон непротиворечивости
• Закон исключенного среднего
• Трехстороннее сравнение

Рекомендации