Топологический дефект - Topological defect

Топологический солитон или «Торон» происходит , когда две соседние структуры или пространства в некотором роде «из фазы» друг с другом таким образом , чтобы сделать переход без шва между ними невозможно. Один из простейших и наиболее распространенных примеров топологического солитона встречается в старомодных спиральных телефонных шнурах телефонных трубок, которые обычно наматываются по часовой стрелке. Годы поднятия трубки могут закончиться тем, что части шнура намотаны в противоположном направлении против часовой стрелки, и когда это произойдет, будет характерная большая петля, разделяющая два направления наматывания. Этот странный переходный контур, который не вращается ни по часовой, ни против часовой стрелки, является прекрасным примером топологического солитона. Независимо от того, насколько сложен контекст, все, что квалифицируется как топологический солитон, должно на каком-то уровне демонстрировать ту же простую проблему согласования, что и в примере скрученного телефонного кабеля.

Топологические солитоны легко возникают при создании кристаллических полупроводников, используемых в современной электронике, и в этом контексте их эффекты почти всегда вредны. По этой причине такие кристаллические переходы называют топологическими дефектами . Однако эта в основном твердотельная терминология отвлекает от богатых и интригующих математических свойств таких граничных областей. Таким образом, для большинства нетвердотельных контекстов предпочтительнее более позитивная и математически богатая фраза «топологический солитон».

Ниже приводится более подробное обсуждение топологических солитонов и связанных с ними вопросов.

В математике и физике , А топологический солитон или топологический дефект является решением системы уравнений в частных производных или в квантовой теории поля гомотопический отличной от вакуумного решения .

Обзор

Существование топологического дефекта можно продемонстрировать всякий раз, когда граничные условия влекут за собой существование гомотопически различных решений. Обычно это происходит потому, что граница, на которой задаются условия, имеет нетривиальную гомотопическую группу, которая сохраняется в дифференциальных уравнениях ; тогда решения дифференциальных уравнений топологически различны и классифицируются по их гомотопическому классу . Топологические дефекты не только устойчивы к небольшим возмущениям , но и не могут распадаться, разрушаться или распутываться именно потому, что не существует непрерывного преобразования, которое отображало бы их (гомотопически) в однородное или «тривиальное» решение.

Примеры

Топологические дефекты возникают в уравнениях в частных производных и, как полагают, вызывают фазовые переходы в физике конденсированного состояния .

Подлинность топологического дефекта зависит от природы вакуума, в который система будет стремиться, если истечет бесконечное время; ложные и истинные топологические дефекты можно различить, если дефект находится в ложном и истинном вакууме соответственно.

Уединенные волны PDE

Примеры включают солитонную или уединенную волну, которая встречается в точно решаемых моделях , таких как

Лямбда-переходы

Основная статья: Лямбда-переход

Топологические дефекты в системах классов универсальности лямбда-переходов , в том числе:

Космологические дефекты

Топологические дефекты космологического типа - это явления чрезвычайно высоких энергий, которые, как считается, нецелесообразно вызывать в физических экспериментах, связанных с Землей. Топологические дефекты, созданные при формировании Вселенной, теоретически можно было наблюдать без значительных затрат энергии.

Согласно теории Большого взрыва , Вселенная охлаждается из начального горячего, плотного состояния, вызывая серию фазовых переходов, очень похожих на то, что происходит в системах конденсированной материи, таких как сверхпроводники. Некоторые теории великого объединения предсказывают образование стабильных топологических дефектов в ранней Вселенной во время этих фазовых переходов.

Нарушение симметрии

Считается, что в зависимости от природы нарушения симметрии в ранней Вселенной в соответствии с механизмом Киббла-Зурека сформировались различные солитоны . К хорошо известным топологическим дефектам относятся:

  • Космические струны - это одномерные линии, которые образуются при нарушении осевой или цилиндрической симметрии.
  • Доменные стенки , двумерные мембраны, образующиеся при нарушении дискретной симметрии при фазовом переходе. Эти стены напоминают стенки пенопласта с закрытыми ячейками , разделяющего вселенную на отдельные ячейки.
  • Предполагается , что монополи , кубические дефекты, которые образуются при нарушении сферической симметрии, имеют магнитный заряд, северный или южный (и поэтому их обычно называют « магнитными монополями »).
  • Текстуры образуются при полном нарушении более крупных и сложных групп симметрии. Они не так локализованы, как другие дефекты, и нестабильны.
  • Скирмионы
  • Дополнительные размеры и более высокие размеры .

Возможны и другие более сложные гибриды этих типов дефектов.

По мере того, как Вселенная расширялась и охлаждалась, симметрии в законах физики начали нарушаться в областях, которые распространяются со скоростью света ; топологические дефекты возникают на границах прилегающих областей. Вещество, составляющее эти границы, находится в упорядоченной фазе , которая сохраняется после завершения фазового перехода в неупорядоченную фазу для окружающих областей.

Биохимия

Также были обнаружены дефекты в биохимии, особенно в процессе сворачивания белка.

Формальная классификация

Заказал среда определяется как область пространства описывается функцией F ( г ), сопоставляющее каждой точке в области параметра порядка , а также возможных значений пространства параметров порядка представляют собой параметр порядка пространство . Гомотопическая теория дефектов использует фундаментальную группу пространства параметров порядка среды для обсуждения существования, стабильности и классификации топологических дефектов в этой среде.

Предположим , что R является пространство параметров порядка для среды, и пусть G является группой Ли преобразований на R . Пусть H - подгруппа симметрии среды G. Тогда параметр порядка пространство может быть записана в виде группы Ли фактор R = G / H .

Если G - универсальное покрытие для G / H , то можно показать, что π n ( G / H ) = π n −1 ( H ), где π i обозначает i -ю гомотопическую группу .

Различные типы дефектов в среде можно охарактеризовать элементами различных гомотопических групп пространства параметров порядка. Например, (в трех измерениях) линейные дефекты соответствуют элементам π 1 ( R ), точечные дефекты соответствуют элементам π 2 ( R ), текстуры соответствуют элементам π 3 ( R ). Однако дефекты, которые принадлежат одному и тому же классу сопряженности π 1 ( R ), могут непрерывно деформироваться друг в друга, и, следовательно, различные дефекты соответствуют различным классам сопряженности.

Поэнару и Тулуза показали, что перекрестные дефекты запутываются тогда и только тогда, когда они являются членами отдельных классов сопряженности π 1 ( R ).

Наблюдение

Топологические дефекты астрономами не наблюдались; однако некоторые типы несовместимы с текущими наблюдениями. В частности, если бы доменные границы и монополи присутствовали в наблюдаемой Вселенной, они бы привели к значительным отклонениям от того, что могут видеть астрономы.

Из-за этих наблюдений образование дефектов в наблюдаемой Вселенной сильно ограничено, что требует особых обстоятельств (см. Инфляция (космология) ). С другой стороны, космические струны были предложены как обеспечивающие начальную «зародышевую» гравитацию, вокруг которой сконцентрировалась крупномасштабная структура космоса материи. Текстуры также безобидны. В конце 2007 года холодное пятно на космическом микроволновом фоне свидетельствовало о возможной текстуре .

Классы стабильных дефектов в двухосных нематиках

Конденсированное вещество

В физике конденсированного состояния теория гомотопических групп обеспечивает естественную среду для описания и классификации дефектов в упорядоченных системах. Топологические методы использовались в ряде задач теории конденсированного состояния. Поэнару и Тулуза использовали топологические методы для получения условия для линейных (струнных) дефектов в жидких кристаллах, которые могут пересекать друг друга без запутывания. Это было нетривиальное применение топологии, которое впервые привело к открытию своеобразного гидродинамического поведения в А- фазе сверхтекучего гелия- 3.

Устойчивые дефекты

Теория гомотопий глубоко связана со стабильностью топологических дефектов. В случае линейного дефекта, если замкнутый путь можно непрерывно деформировать в одну точку, дефект не является устойчивым, а в противном случае - устойчивым.

В отличие от космологии и теории поля, топологические дефекты в конденсированной среде наблюдаются экспериментально. Ферромагнитные материалы имеют области магнитного выравнивания, разделенные доменными стенками. Нематические и биаксиальные нематические жидкие кристаллы имеют множество дефектов, включая монополи, струны, текстуры и т. Д.

Изображений

Статическое решение в (1 + 1) -мерном пространстве-времени.
Солитон и антисолитон, сталкивающиеся со скоростями ± sh (0,05) и аннигилирующие.

Смотрите также

Рекомендации

Внешние ссылки