Постоянная времени - Time constant

В физике и технике , то постоянная времени , обычно обозначается греческой буквой $т$ (тау), является параметр , характеризующий реакцию на стадии ввода первого порядка, линейные стационарна системы (LTI). Постоянная времени - это основная характеристика системы LTI первого порядка.

Во временной области обычный выбор для изучения временной характеристики - это переходная характеристика на ступенчатый вход или импульсная характеристика на вход дельта-функции Дирака . В частотной области (например, глядя на преобразование Фурье переходной характеристики или используя вход, который является простой синусоидальной функцией времени) постоянная времени также определяет полосу пропускания инвариантной во времени системы первого порядка, т. Е. , частота, при которой мощность выходного сигнала падает до половины значения, которое он имеет на низких частотах.

Постоянная времени также используется для характеристики частотной характеристики различных систем обработки сигналов - магнитных лент , радиопередатчиков и приемников , оборудования для записи и воспроизведения, а также цифровых фильтров, которые могут быть смоделированы или аппроксимированы системами LTI первого порядка. Другие примеры включают постоянную времени, используемую в системах управления для регуляторов интегрального и дифференциального действия, которые часто являются пневматическими , а не электрическими.

Постоянные времени - это характеристика сосредоточенного системного анализа (метод анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, который используется, когда объекты равномерно охлаждают или нагреваются под влиянием конвективного охлаждения или нагревания.

Физически постоянная времени представляет собой время, необходимое для того, чтобы реакция системы упала до нуля, если бы система продолжала распадаться с начальной скоростью, из-за постепенного изменения скорости распада значение отклика фактически уменьшится до $1. / e \approx 36,8%$ за это время (скажем, от ступенчатого уменьшения). В возрастающей системе постоянная времени - это время, за которое ступенчатая характеристика системы достигает $1 - 1 / e \approx 63,2%$ от своего конечного (асимптотического) значения (скажем, от ступенчатого увеличения). При радиоактивном распаде постоянная времени связана с постоянной распада ( λ ) и представляет собой как среднее время жизни распадающейся системы (например, атома) до его распада, так и время, которое требуется для всех атомов, кроме 36,8%. разлагаться. По этой причине постоянная времени больше, чем период полураспада , который является временем распада только 50% атомов.

Дифференциальное уравнение

Системы LTI первого порядка характеризуются дифференциальным уравнением

{\ Displaystyle \ тау {\ гидроразрыва {dV} {dt}} + V = f (t)}

где $τ$ представляет собой экспоненциальную константу затухания, а $V$ является функцией времени $t$

{\ Displaystyle V = V (t).}

Правая часть - это вынуждающая функция $f (t),$ описывающая внешнюю движущую функцию времени, которую можно рассматривать как вход системы , на который $V (t)$ является ответом или выходом системы. Классические примеры для $f (t)$ :

Функция Хевисайда , часто обозначается $U (т)$ :

{\ Displaystyle и (т) = {\ begin {case} 0, & t <0 \\ 1, & t \ geq 0 \ end {cases}}}

импульсная функция , часто обозначается $б (т)$ , а также функция синусоидальной входного сигнала:

{\ Displaystyle е (т) = А \ грех (2 \ пи ft)}

или

{\ displaystyle f (t) = Ae ^ {j \ omega t},}

где $A$ - амплитуда вынуждающей функции, $f$ - частота в герцах, а $ω = 2 π f$ - частота в радианах в секунду.

Пример решения

Пример решения дифференциального уравнения с начальным значением $V 0$ и без функции принуждения:

{\ Displaystyle V (т) = V_ {0} е ^ {- т / \ тау}}

куда

{\ Displaystyle V_ {0} = V (t = 0)}

это начальное значение $V$ . Таким образом, отклик представляет собой экспоненциальный спад с постоянной времени $τ$ .

Обсуждение

Предполагать

{\ Displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {- t / \ tau}.}

Такое поведение называется «убывающей» экспоненциальной функцией. Время $τ$ (тау) называется «постоянной времени» и может использоваться (как в этом случае), чтобы указать, насколько быстро затухает экспоненциальная функция.

Здесь:

t

= время (обычно

t > 0

в технике управления)

V 0

= начальное значение (см. «Особые случаи» ниже).

Конкретные случаи

Пусть ; тогда и так ${\ displaystyle t = 0}$ ${\ displaystyle V = V_ {0} e ^ {0}}$ ${\ displaystyle V = V_ {0}}$
Пусть ; тогда ${\ Displaystyle т = \ тау}$ ${\ displaystyle V = V_ {0} e ^ {- 1} \ приблизительно 0,37V_ {0}}$
Пусть и так ${\ Displaystyle V = е (т) = V_ {0} е ^ {- т / \ тау}}$ ${\ textstyle \ lim _ {т \ к \ infty} е (т) = 0}$
Пусть ; тогда ${\ Displaystyle т = 5 \ тау}$ ${\ displaystyle V = V_ {0} e ^ {- 5} \ приблизительно 0,0067V_ {0}}$

После периода, равного одной постоянной времени, функция достигает $e -1$ = приблизительно 37% от своего начального значения. В случае 4 после пяти постоянных времени функция достигает значения менее 1% от исходного. В большинстве случаев этот порог в 1% считается достаточным, чтобы предположить, что функция упала до нуля - как показывает опыт, в технике управления стабильной системой является система, которая демонстрирует такое общее затухающее поведение.

Связь постоянной времени с полосой пропускания

Пример реакции системы на функцию форсирования синусоидальной волны. Ось времени в единицах постоянной времени

τ

. Отклик затухает и становится простой синусоидальной волной.

Амплитудно-частотная характеристика системы в зависимости от частоты в единицах ширины полосы частот

f 3 дБ

. Отклик нормализуется до нулевого значения частоты, равного единице, и падает до 1 / √2 в полосе пропускания.

Предположим, что функция принуждения выбрана синусоидальной, поэтому:

{\ displaystyle \ tau {\ frac {dV} {dt}} + V = f (t) = Ae ^ {j \ omega t}.}

(Ответ на ввод действительной косинусной или синусоидальной волны можно получить, взяв действительную или мнимую часть конечного результата в силу формулы Эйлера .) Общее решение этого уравнения для времен $t \geq 0 с$ , предполагая $V (t = 0 ) = V 0$ это:

{\ Displaystyle {\ begin {align} V (t) & = V_ {0} e ^ {- t / \ tau} + {\ frac {Ae ^ {- t / \ tau}} {\ tau}} \ int _ {0} ^ {t} \, dt '\ e ^ {t' / \ tau} e ^ {j \ omega t '} \\ & = V_ {0} e ^ {- t / \ tau} + { \ frac {1 / \ tau} {j \ omega + 1 / \ tau}} A \ left (e ^ {j \ omega t} -e ^ {- t / \ tau} \ right). \ end {выровнено} }}

В течение долгого времени убывающие экспоненты становятся незначительными, и стационарное решение или долгосрочное решение:

{\ displaystyle V _ {\ infty} (t) = {\ frac {1 / \ tau} {j \ omega + 1 / \ tau}} Ae ^ {j \ omega t}.}

Величина этого ответа:

{\ displaystyle | V _ {\ infty} (t) | = A {\ frac {1} {\ tau \ left (\ omega ^ {2} + (1 / \ tau) ^ {2} \ right) ^ {1 / 2}}} = A {\ frac {1} {\ sqrt {1 + (\ omega \ tau) ^ {2}}}}.}.}

По соглашению, полоса пропускания этой системы - это частота, где $| V \infty | 2$ падает до половинного значения, или где $ωτ = 1$ . Это обычное соглашение о полосе пропускания , определяемое как частотный диапазон, в котором мощность падает менее чем наполовину (не более -3 дБ). Используя частоту в герцах, а не в радианах / с ( $ω = 2 πf$ ):

{\ displaystyle f _ {\ mathrm {3dB}} = {\ frac {1} {2 \ pi \ tau}}.}.

Обозначение $f 3dB$ происходит от выражения мощности в децибелах и наблюдения, что половинная мощность соответствует уменьшению значения $| V \infty |$ в 1 / √2 раз или на 3 децибела.

Таким образом, постоянная времени определяет полосу пропускания этой системы.

Переходная характеристика с произвольными начальными условиями

Переходная характеристика системы для двух различных начальных значений V ₀ , одно выше конечного значения, а другое - при нуле. Длительный отклик - постоянная величина V _∞ . Ось времени в единицах постоянной времени .

{\ Displaystyle \ тау}

Предположим, что функция принуждения выбрана в качестве пошагового входа, поэтому:

{\ displaystyle {\ frac {dV} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} V = f (t) = Au (t),}

с $u (t)$ ступенчатой функцией Хевисайда. Общее решение этого уравнения для времен $t \geq 0 с$ при условии, что $V (t = 0) = V 0$ :

{\ Displaystyle V (t) = V_ {0} e ^ {- t / \ tau} + A \ tau \ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right).}

(Можно заметить, что этот отклик является пределом $ω \to 0$ вышеупомянутого отклика на синусоидальный вход.)

Долгосрочное решение не зависит от времени и от начальных условий:

{\ displaystyle V _ {\ infty} = A \ tau.}

Постоянная времени остается неизменной для одной и той же системы независимо от условий запуска. Проще говоря, система приближается к своей конечной устойчивой ситуации с постоянной скоростью, независимо от того, насколько она близка к этому значению в любой произвольной начальной точке.

Например, рассмотрим электродвигатель, запуск которого хорошо моделируется системой LTI первого порядка. Предположим, что при запуске из состояния покоя двигатель принимает1/8секунды, чтобы достичь 63% номинальной скорости 100 об / мин, или 63 об / мин, то есть меньше 37 об / мин. Тогда окажется, что после следующего1/8секунды двигатель увеличил скорость на 23 об / мин, что составляет 63% от этой разницы в 37 об / мин. Это доводит его до 86 об / мин, что все еще составляет 14 об / мин. После третьего1/8 секунды, двигатель будет набирать дополнительные 9 об / мин (63% от этой разницы в 14 об / мин), что означает 95 об / мин.

Фактически, при любой начальной скорости s ≤ 100 об / мин, 1/8секунды спустя этот конкретный двигатель получит дополнительные 0,63 × (100 с ) об / мин.

Примеры

Постоянные времени в электрических цепях

Переходная характеристика напряжения конденсатора.

Отклик на скачок напряжения индуктора.

В цепи RL, состоящей из одного резистора и катушки индуктивности, постоянная времени (в секундах ) равна ${\ Displaystyle \ тау}$

{\ Displaystyle \ тау = {\ гидроразрыва {L} {R}}}

где R - сопротивление (в омах ), а L - индуктивность (в Генри ).

Точно так же в RC-цепи, состоящей из одного резистора и конденсатора, постоянная времени (в секундах) равна: ${\ Displaystyle \ тау}$

{\ Displaystyle \ тау = RC}

где R - сопротивление (в омах ), а C - емкость (в фарадах ).

Электрические цепи часто более сложны, чем эти примеры, и могут иметь несколько постоянных времени (см. Некоторые примеры в разделе « Переходная характеристика» и « Разделение полюсов»). В случае наличия обратной связи в системе могут наблюдаться нестабильные возрастающие колебания. Кроме того, физические электрические цепи редко являются действительно линейными системами, за исключением возбуждений с очень низкой амплитудой; однако широко используется приближение линейности.

В цифровых электронных схемах часто используется другая мера, FO4 . Это можно преобразовать в единицы постоянной времени с помощью уравнения . ${\ Displaystyle 5 \ тау = {\ текст {FO4}}}$

Тепловая постоянная времени

Постоянные времени - это характеристика сосредоточенного системного анализа (метода анализа сосредоточенной мощности) для тепловых систем, используемого, когда объекты равномерно охлаждают или нагреваются под влиянием конвективного охлаждения или нагревания . В этом случае передача тепла от тела к окружающей среде в данный момент времени пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой:

{\ Displaystyle F = hA_ {s} \ left (T (t) -T_ {a} \ right),}

где h - коэффициент теплопередачи , A _s - площадь поверхности, T - температурная функция, т. е. T ( t ) - температура тела в момент времени t , а T _a - постоянная температура окружающей среды. Положительный знак указывает на то, что F является положительным, когда тепло выходит из тела, потому что его температура выше, чем температура окружающей среды ( F - это поток наружу). Если тепло теряется в окружающую среду, эта теплопередача приводит к падению температуры тела, определяемому по формуле:

{\ displaystyle \ rho c_ {p} V {\ frac {dT} {dt}} = - F,}

где ρ = плотность, с _р = удельная теплоемкость и V представляет собой объем тела. Отрицательный знак указывает на падение температуры, когда теплоотвод идет наружу от тела (то есть, когда F > 0). Приравнивая эти два выражения для теплопередачи,

{\ displaystyle \ rho c_ {p} V {\ frac {dT} {dt}} = - hA_ {s} \ left (T (t) -T_ {a} \ right).}

Очевидно, это LTI-система первого порядка, которую можно представить в виде:

{\ displaystyle {\ frac {dT} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} T = {\ frac {1} {\ tau}} T_ {a},}

с участием

{\ displaystyle \ tau = {\ frac {\ rho c_ {p} V} {hA_ {s}}}.}

Другими словами, большие массы ρV с более высокой теплоемкостью c _p приводят к более медленным изменениям температуры (более длительная постоянная времени τ ), в то время как большие площади поверхности A _s с более высокой теплопередачей h приводят к более быстрому изменению температуры (более короткая постоянная времени τ ).

Сравнение с вводным дифференциальным уравнением предполагает возможное обобщение на изменяющуюся во времени температуру окружающей среды T _a . Однако, сохраняя простой пример с константой окружающей среды, подставляя переменную Δ T ≡ ( T - T _a ), можно найти:

{\ displaystyle {\ frac {d \ Delta T} {dt}} + {\ frac {1} {\ tau}} \ Delta T = 0.}

Говорят, что системы, для которых охлаждение удовлетворяет вышеуказанному экспоненциальному уравнению, удовлетворяют закону охлаждения Ньютона . Решение этого уравнения предполагает, что в таких системах разница между температурой системы и ее окружения Δ T как функция времени t определяется выражением:

{\ displaystyle \ Delta T (t) = \ Delta T_ {0} e ^ {- t / \ tau},}

где Δ T ₀ - начальная разница температур в момент времени t = 0. Другими словами, тело принимает ту же температуру, что и окружающая среда, с экспоненциально медленной скоростью, определяемой постоянной времени.

Константы времени в нейробиологии

В возбудимой клетке, такой как мышца или нейрон , постоянная времени мембранного потенциала равна ${\ Displaystyle \ тау}$

{\ displaystyle \ tau = r_ {m} c_ {m}}

где r _m - сопротивление через мембрану, а c _m - емкость мембраны.

Сопротивление на мембране зависит от количества открытых ионных каналов, а емкость - от свойств липидного бислоя .

Постоянная времени используется для описания роста и падения мембранного напряжения, где рост описывается выражением

{\ Displaystyle V (T) = V _ {\ textrm {max}} \ left (1-e ^ {- t / \ tau} \ right)}

и падение описывается

{\ Displaystyle V (т) = V _ {\ textrm {max}} е ^ {- т / \ тау}}

где напряжение в милливольтах, время в секундах и секундах. ${\ Displaystyle \ тау}$

V _max определяется как максимальное изменение напряжения от потенциала покоя , где

{\ displaystyle V _ {\ textrm {max}} = r_ {m} I}

где r _m - сопротивление через мембрану, I - ток через мембрану.

Настройка для t = для повышения устанавливает V ( t ) равным 0,63 В _макс . Это означает , что постоянная времени является время , прошедшее после того, как 63% V _макс было достигнуто ${\ Displaystyle \ тау}$

Установка для т = для падения множеств V ( т ) , равное 0,37 V _макс , а это означает , что постоянная времени это время , прошедшее после того, как она упала до 37% от V _макс . ${\ Displaystyle \ тау}$

Чем больше постоянная времени, тем медленнее растет или падает потенциал нейрона. Длительная постоянная времени может привести к временному суммированию или алгебраическому суммированию повторяющихся потенциалов. Короткая постоянная времени, скорее, дает детектор совпадений за счет пространственного суммирования .

Экспоненциальный спад

При экспоненциальном распаде , например, радиоактивного изотопа, постоянную времени можно интерпретировать как среднее время жизни . Полураспада Т _HL связана с экспоненциальной постоянной времени путем ${\ Displaystyle \ тау}$

{\ Displaystyle T_ {HL} = \ тау \ ln 2.}

Обратная величина постоянной времени называется постоянной затухания и обозначается . ${\ Displaystyle \ лямбда = 1 / \ тау}$

Метеорологические датчики

Постоянная времени - это количество времени, которое требуется метеорологическому датчику, чтобы отреагировать на быстрое изменение меры и до тех пор, пока он не будет измерять значения в пределах допуска точности, обычно ожидаемого от датчика.

Чаще всего это относится к измерениям температуры, температуры точки росы, влажности и атмосферного давления. Особенно страдают радиозонды из-за их быстрого увеличения высоты.

Languages

In other projects