Цифровой фильтр - Digital filter

Общий фильтр с конечной импульсной характеристикой с n ступенями, каждый с независимой задержкой d _i и коэффициентом усиления a _i .

В обработке сигналов , A цифровой фильтр представляет собой систему , которая выполняет математические операции на выборку , с дискретным временем сигнала , чтобы уменьшить или усилить определенные аспекты этого сигнала. Это контрастирует с другим основным типом электронного фильтра , аналоговым фильтром , который обычно представляет собой электронную схему, работающую с аналоговыми сигналами в непрерывном времени .

Система цифровой фильтрации обычно состоит из аналого-цифрового преобразователя (АЦП) для дискретизации входного сигнала, за которым следует микропроцессор и некоторые периферийные компоненты, такие как память для хранения данных и коэффициентов фильтра и т. Д. Программные инструкции (программное обеспечение), работающие на Микропроцессор реализует цифровой фильтр, выполняя необходимые математические операции над числами, полученными от АЦП. В некоторых высокопроизводительных приложениях FPGA или ASIC используется вместо микропроцессора общего назначения или специализированного процессора цифровых сигналов (DSP) со специальной параллельной архитектурой для ускорения таких операций, как фильтрация.

Цифровые фильтры могут быть более дорогими, чем эквивалентные аналоговые фильтры из-за их повышенной сложности, но они делают практичным многие конструкции, которые непрактичны или невозможны в качестве аналоговых фильтров. Цифровые фильтры часто могут быть сделаны очень высокого порядка и часто представляют собой фильтры с конечной импульсной характеристикой, что позволяет получить линейную фазовую характеристику. При использовании в контексте аналоговых систем реального времени цифровые фильтры иногда имеют проблемную задержку (разницу во времени между входом и откликом) из-за связанных аналого-цифровых и цифро-аналоговых преобразований и сглаживания. фильтры , или из-за других задержек в их реализации.

Цифровые фильтры - обычное дело и важный элемент повседневной электроники, такой как радио , мобильные телефоны и AV-ресиверы .

Характеристика

Цифровой фильтр характеризуется своей передаточной функцией или, что эквивалентно, своим разностным уравнением . Математический анализ передаточной функции может описать, как она будет реагировать на любой ввод. Таким образом, проектирование фильтра состоит из разработки спецификаций, соответствующих проблеме (например, фильтр нижних частот второго порядка с определенной частотой среза), а затем создания передаточной функции, которая соответствует спецификациям.

Передаточная функция для линейного, инвариантных по времени, цифровой фильтр может быть выражена в виде передаточной функции в Z -области ; если это причинно, то оно имеет вид:

{\ displaystyle H (z) = {\ frac {B (z)} {A (z)}} = {\ frac {b_ {0} + b_ {1} z ^ {- 1} + b_ {2} z ^ {- 2} + \ cdots + b_ {N} z ^ {- N}} {1 + a_ {1} z ^ {- 1} + a_ {2} z ^ {- 2} + \ cdots + a_ { M} z ^ {- M}}}}

где порядок фильтра представляет собой наибольший из N или M . См . Уравнение LCCD Z- преобразования для дальнейшего обсуждения этой передаточной функции .

Это форма рекурсивного фильтра , который обычно приводит к поведению с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), но если знаменатель устанавливается равным единице , то есть без обратной связи, тогда это становится фильтром с конечной импульсной характеристикой (КИХ).

Методы анализа

Для анализа поведения данного цифрового фильтра могут использоваться различные математические методы. Многие из этих методов анализа также могут использоваться в проектах и часто составляют основу спецификации фильтра.

Обычно фильтры характеризуют, вычисляя, как они будут реагировать на простой входной сигнал, такой как импульс. Затем можно расширить эту информацию, чтобы вычислить реакцию фильтра на более сложные сигналы.

Импульсивный ответ

Импульсная характеристика , часто обозначаются или , является измерением того , как фильтр будет реагировать на дельту Кронекера функцию. Например, с учетом разностного уравнения можно было бы задать и для и оценить. Импульсная характеристика - это характеристика поведения фильтра. Цифровые фильтры обычно делятся на две категории: бесконечная импульсная характеристика (БИХ) и конечная импульсная характеристика (КИХ). В случае линейных не зависящих от времени КИХ-фильтров импульсная характеристика в точности равна последовательности коэффициентов фильтра, и, таким образом: ${\ displaystyle h [k]}$ ${\ displaystyle h_ {k}}$ ${\ displaystyle x_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle x_ {k} = 0}$ ${\ Displaystyle к \ neq 0}$

{\ displaystyle \ y_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {N} b_ {k} x_ {nk} = \ sum _ {k = 0} ^ {N} h_ {k} x_ {nk} }

БИХ-фильтры, с другой стороны, рекурсивны, а выход зависит как от текущего, так и от предыдущих входов, а также от предыдущих выходов. Таким образом, общая форма БИХ-фильтра:

{\ displaystyle \ \ sum _ {m = 0} ^ {M} a_ {m} y_ {nm} = \ sum _ {k = 0} ^ {N} b_ {k} x_ {nk}}

График импульсной характеристики показывает, как фильтр реагирует на внезапное, кратковременное возмущение. БИХ-фильтр всегда рекурсивен. В то время как рекурсивный фильтр может иметь конечную импульсную характеристику, нерекурсивный фильтр всегда имеет конечную импульсную характеристику. Примером может служить фильтр скользящего среднего (MA), который может быть реализован как рекурсивно, так и нерекурсивно.

Уравнение разности

В системах с дискретным временем цифровой фильтр часто реализуется путем преобразования передаточной функции в линейное уравнение разности постоянных коэффициентов (LCCD) с помощью Z-преобразования . Дискретная передаточная функция в частотной области записывается как отношение двух полиномов. Например:

{\ displaystyle H (z) = {\ frac {(z + 1) ^ {2}} {(z - {\ frac {1} {2}}) (z + {\ frac {3} {4}}) }}}

Это расширено:

{\ displaystyle H (z) = {\ frac {z ^ {2} + 2z + 1} {z ^ {2} + {\ frac {1} {4}} z - {\ frac {3} {8} }}}}

и чтобы сделать соответствующий фильтр причинным , числитель и знаменатель делятся в наивысшем порядке : ${\ displaystyle z}$

{\ displaystyle H (z) = {\ frac {1 + 2z ^ {- 1} + z ^ {- 2}} {1 + {\ frac {1} {4}} z ^ {- 1} - {\ гидроразрыв {3} {8}} z ^ {- 2}}} = {\ frac {Y (z)} {X (z)}}}

Коэффициенты знаменателя , являются «подающие-назад» коэффициенты и коэффициенты числителя являются «опережающее» коэффициенты, . Результирующее линейное разностное уравнение : ${\ displaystyle a_ {k}}$ ${\ displaystyle b_ {k}}$

{\ displaystyle y [n] = - \ sum _ {k = 1} ^ {M} a_ {k} y [nk] + \ sum _ {k = 0} ^ {N} b_ {k} x [nk] }

или, как в примере выше:

{\ displaystyle {\ frac {Y (z)} {X (z)}} = {\ frac {1 + 2z ^ {- 1} + z ^ {- 2}} {1 + {\ frac {1} { 4}} z ^ {- 1} - {\ frac {3} {8}} z ^ {- 2}}}}

перестановка условий:

{\ displaystyle \ Rightarrow (1 + {\ frac {1} {4}} z ^ {- 1} - {\ frac {3} {8}} z ^ {- 2}) Y (z) = (1+ 2z ^ {- 1} + z ^ {- 2}) X (z)}

затем, взяв обратное z -преобразование:

{\ displaystyle \ Rightarrow y [n] + {\ frac {1} {4}} y [n-1] - {\ frac {3} {8}} y [n-2] = x [n] + 2x [n-1] + x [n-2]}

и, наконец, решив : ${\ Displaystyle у [п]}$

{\ displaystyle y [n] = - {\ frac {1} {4}} y [n-1] + {\ frac {3} {8}} y [n-2] + x [n] + 2x [ n-1] + x [n-2]}

Это уравнение показывает , как вычислить следующую выходную выборку, с точкой зрения последних результатов, наст щий входной сигнал, и последние входы, . Применение фильтра к входу в этой форме эквивалентно реализации Direct Form I или II (см. Ниже), в зависимости от точного порядка оценки. ${\ Displaystyle у [п]}$ ${\ displaystyle y [np]}$ ${\ Displaystyle х [п]}$ ${\ Displaystyle х [нп]}$

Проще говоря, например, в том виде, как он используется программистом, реализующим приведенное выше уравнение в коде, его можно описать следующим образом:

${\ displaystyle y}$ = выход, или отфильтрованное значение = вход, или входящее необработанное значение = номер выборки, номер итерации или номер периода времени
${\ displaystyle x}$
${\ displaystyle n}$

и поэтому:

${\ Displaystyle у [п]}$ = текущее отфильтрованное (выходное) значение = последнее отфильтрованное (выходное) значение = от 2 до последнего отфильтрованное (выходное) значение = текущее необработанное входное значение = последнее необработанное входное значение = предпоследнее необработанное входное значение
${\ Displaystyle у [п-1]}$
${\ Displaystyle у [п-2]}$
${\ Displaystyle х [п]}$
${\ Displaystyle х [п-1]}$
${\ Displaystyle х [п-2]}$

Дизайн фильтра

Хотя фильтры легко понять и рассчитать, практические проблемы их разработки и реализации значительны и являются предметом самых передовых исследований.

Существует две категории цифровых фильтров: рекурсивный фильтр и нерекурсивный фильтр . Их часто называют фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) и фильтрами с конечной импульсной характеристикой (КИХ) соответственно.

Реализация фильтра

После того, как фильтр спроектирован, он должен быть реализован путем разработки схемы потока сигналов, которая описывает фильтр с точки зрения операций над последовательностями выборок.

Данная передаточная функция может быть реализована разными способами. Подумайте, как можно вычислить такое простое выражение, как, например, - можно также вычислить эквивалент . Таким же образом все реализации можно рассматривать как "факторизации" одной и той же передаточной функции, но разные реализации будут иметь разные числовые свойства. В частности, некоторые реализации более эффективны с точки зрения количества операций или элементов памяти, необходимых для их реализации, а другие обеспечивают такие преимущества, как улучшенная числовая стабильность и уменьшенная ошибка округления. Некоторые структуры лучше подходят для арифметики с фиксированной запятой, а другие могут быть лучше для арифметики с плавающей запятой . ${\ displaystyle ax + bx + c}$ ${\ Displaystyle х (а + б) + с}$

Прямая форма I

Прямой подход к реализации БИХ-фильтра - это прямая форма I , где разностное уравнение вычисляется напрямую. Эта форма практична для небольших фильтров, но может быть неэффективной и непрактичной (численно нестабильной) для сложных конструкций. В общем, эта форма требует 2N элементов задержки (как для входных, так и для выходных сигналов) для фильтра порядка N.

Прямая форма II

Альтернативная прямая форма II требует только N единиц задержки, где N - порядок фильтра - потенциально вдвое меньше, чем прямая форма I. Эта структура получается изменением порядка разделов числителя и знаменателя прямой формы I, поскольку они фактически являются двумя линейными системами, и свойство коммутативности применимо. Затем можно заметить, что есть два столбца задержек ( ), которые отходят от центральной цепи, и их можно объединить, поскольку они избыточны, что дает реализацию, как показано ниже. ${\ displaystyle z ^ {- 1}}$

Недостатком является то, что прямая форма II увеличивает возможность арифметического переполнения для фильтров с высокой добротностью или резонансом. Было показано, что с увеличением Q шум округления в обеих топологиях прямой формы неограниченно возрастает. Это связано с тем, что концептуально сигнал сначала проходит через всеполюсный фильтр (который обычно увеличивает усиление на резонансных частотах), прежде чем результат этого становится насыщенным, а затем проходит через нулевой фильтр (который часто ослабляет большую часть того, что всеполюсная половина усиливается).

Каскадные секции второго порядка

Распространенной стратегией является реализация цифрового фильтра более высокого порядка (более 2) в виде каскадной серии «биквадратных» (или «биквадратных») секций второго порядка (см. Цифровой биквадратный фильтр ). Преимущество этой стратегии в том, что диапазон коэффициентов ограничен. Каскадная прямые разделы результатов формы II в N элементах задержки для фильтров порядка N . Каскадирование секций прямой формы I приводит к появлению N + 2 элементов задержки, поскольку элементы задержки входа любой секции (кроме первой секции) являются избыточными с элементами задержки выхода предыдущей секции.

Другие формы

Другие формы включают:

Прямая форма I и II транспонирует
Последовательные / каскадные подсекции нижнего (типичного второго) порядка
Параллельные подсекции нижнего (типичного второго) порядка
- Непрерывное расширение фракции
Решетка и лестница
- Одно-, двух- и трехкратные формы решетки
- Трех- и четырехкратно нормализованные лестничные формы
- Структуры ARMA
Государственно-космические структуры:
- оптимальный (в смысле минимального шума): параметры ${\ Displaystyle (N + 1) ^ {2}}$
- оптимальные по блокам и оптимальные по сечениям: параметры ${\ displaystyle 4N-1}$
- вход сбалансированный с вращением Гивенса: параметры ${\ displaystyle 4N-1}$
Связанные формы: Gold Rader (нормальный), State Variable (Chamberlin), Kingsbury, Modified State Variable, Zölzer, Modified Zölzer
Волновые цифровые фильтры (WDF)
Агарвал-Буррус (1AB и 2AB)
Харрис – Брукинг
ND-TDL
Мультифидбэк
Аналоговые формы, такие как ключи Саллена и фильтры переменных состояния
Систолические массивы

Сравнение аналоговых и цифровых фильтров

Цифровые фильтры не подвержены нелинейным компонентам, которые значительно усложняют конструкцию аналоговых фильтров. Аналоговые фильтры состоят из несовершенных электронных компонентов, значения которых указаны с предельным допуском (например, значения резисторов часто имеют допуск ± 5%) и которые также могут изменяться в зависимости от температуры и дрейфа со временем. По мере увеличения порядка аналогового фильтра и, следовательно, количества его компонентов, влияние ошибок переменных компонентов значительно усиливается. В цифровых фильтрах значения коэффициентов хранятся в памяти компьютера, что делает их более стабильными и предсказуемыми.

Поскольку коэффициенты цифровых фильтров являются определенными, их можно использовать для достижения гораздо более сложных и избирательных схем - особенно с цифровыми фильтрами, можно добиться более низкой пульсации полосы пропускания, более быстрого перехода и более высокого затухания в полосе задерживания, чем это практично с аналоговыми фильтрами. Даже если бы конструкция могла быть достигнута с использованием аналоговых фильтров, инженерные затраты на разработку эквивалентного цифрового фильтра, вероятно, были бы намного ниже. Кроме того, можно легко изменить коэффициенты цифрового фильтра, чтобы создать адаптивный фильтр или параметрический фильтр, управляемый пользователем. Хотя эти методы возможны в аналоговом фильтре, они снова значительно сложнее.

Цифровые фильтры могут использоваться при разработке фильтров с конечной импульсной характеристикой. Эквивалентные аналоговые фильтры часто более сложны, поскольку для них требуются элементы задержки.

Цифровые фильтры в меньшей степени полагаются на аналоговую схему, потенциально обеспечивая лучшее соотношение сигнал / шум . Цифровой фильтр будет вносить шум в сигнал во время аналоговой фильтрации нижних частот, аналого-цифрового преобразования, цифро-аналогового преобразования и может вносить цифровой шум из-за квантования. В аналоговых фильтрах каждый компонент является источником теплового шума (например, шума Джонсона ), поэтому с ростом сложности фильтра растет и шум.

Однако цифровые фильтры действительно увеличивают задержку в системе. В аналоговом фильтре задержка часто незначительна; строго говоря, это время для распространения электрического сигнала через цепь фильтра. В цифровых системах задержка вводится элементами задержки в тракте цифрового сигнала, а также аналого-цифровыми и цифро-аналоговыми преобразователями, которые позволяют системе обрабатывать аналоговые сигналы.

В очень простых случаях дешевле использовать аналоговый фильтр. Введение цифрового фильтра требует значительных накладных расходов схемы, как обсуждалось ранее, включая два аналоговых фильтра нижних частот.

Еще один аргумент в пользу аналоговых фильтров - низкое энергопотребление. Аналоговые фильтры требуют значительно меньшей мощности и поэтому являются единственным решением при жестких требованиях к питанию.

При создании электрической схемы на печатной плате, как правило, проще использовать цифровое решение, поскольку блоки обработки данных сильно оптимизировались с годами. Создание такой же схемы с аналоговыми компонентами заняло бы намного больше места при использовании дискретных компонентов . Двумя альтернативами являются FPAA и ASIC , но они дороги для небольших объемов.

Типы цифровых фильтров

Есть разные способы охарактеризовать фильтры; Например:

Линейный фильтр представляет собой линейное преобразование входных выборок; остальные фильтры нелинейны . Линейные фильтры удовлетворяют принципу суперпозиции , т. Е. Если вход представляет собой взвешенную линейную комбинацию различных сигналов, выход представляет собой линейную комбинацию соответствующих выходных сигналов с одинаковым весом.
Причинная фильтр использует только предыдущие образцы входных и выходных сигналов; в то время как непричинный фильтр использует будущие входные выборки. Непричинный фильтр обычно можно превратить в причинный фильтр, добавив к нему задержку.
Неизменный во времени фильтр имеет постоянные свойства во времени; другие фильтры, такие как адаптивные фильтры, меняются во времени.
Стабильно фильтр выдает выходной сигнал , который сходится к постоянному значению с течением времени, или остается ограниченным в пределах конечного интервала. Нестабильным фильтр может производить выходной сигнал , который растет без границ, с ограниченным или даже нулевым входом.
А с конечной импульсной характеристикой (КИХ - фильтр) использует только входные сигналы, в то время как с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ - фильтр) использует как входной сигнал и предыдущие образцы выходного сигнала. КИХ-фильтры всегда стабильны, а БИХ-фильтры могут быть нестабильными.

Фильтр может быть представлен блок-схемой , которую затем можно использовать для получения алгоритма обработки выборки для реализации фильтра с помощью аппаратных инструкций. Фильтр также можно описать как разностное уравнение , набор нулей и полюсов или импульсную или ступенчатую характеристику .

Некоторые цифровые фильтры основаны на быстром преобразовании Фурье , математическом алгоритме, который быстро извлекает частотный спектр сигнала, позволяя манипулировать спектром (например, создавать полосовые фильтры очень высокого порядка) перед преобразованием модифицированного спектра обратно в сигнал временного ряда с обратной операцией БПФ. Эти фильтры дают O (n log n) вычислительные затраты, тогда как обычные цифровые фильтры, как правило, равны O (n ² ).

Другой формой цифрового фильтра является модель в пространстве состояний . Хорошо используемый фильтр в пространстве состояний - фильтр Калмана, опубликованный Рудольфом Кальманом в 1960 году.

Традиционные линейные фильтры обычно основаны на затухании. В качестве альтернативы могут быть разработаны нелинейные фильтры, в том числе фильтры передачи энергии, которые позволяют пользователю перемещать энергию заданным образом, чтобы нежелательные шумы или эффекты могли быть перемещены в новые полосы частот, более низкие или более высокие по частоте, распределенные по диапазону частот, разделенный или сфокусированный. Фильтры для передачи энергии дополняют традиционные конструкции фильтров и предоставляют гораздо больше степеней свободы при проектировании фильтров. Цифровые фильтры передачи энергии относительно легко спроектировать, реализовать и использовать нелинейную динамику.

Смотрите также

использованная литература

дальнейшее чтение

Дж. О. Смит III, Введение в цифровые фильтры со звуковыми приложениями , Центр компьютерных исследований в музыке и акустике (CCRMA), Стэнфордский университет, сентябрь 2007 г.
Митра, СК (1998). Цифровая обработка сигналов: компьютерный подход . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
Оппенгейм, А.В .; Шафер, RW (1999). Обработка сигналов в дискретном времени . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Прентис-Холл.
Кайзер, Дж. Ф. (1974). Нерекурсивный дизайн цифрового фильтра с использованием оконной функции Ио-син . Proc. 1974 IEEE Int. Symp. Теория схем. С. 20–23.
Берген, ЮАР; Антониу, А. (2005). «Разработка нерекурсивных цифровых фильтров с использованием функции ультрасферического окна» . Журнал EURASIP по прикладной обработке сигналов . 2005 (12): 1910–1922. Bibcode : 2005EJASP2005 ... 44В . DOI : 10.1155 / ASP.2005.1910 .
Парки, TW ; Макклеллан, Дж. Х. (март 1972 г.). «Приближение Чебышева для нерекурсивных цифровых фильтров с линейной фазой». IEEE Trans. Теория схем . КТ-19 (2): 189–194. DOI : 10.1109 / TCT.1972.1083419 .
Rabiner, LR ; McClellan, JH ; Парки, TW (апрель 1975 г.). «Методы проектирования цифровых КИХ-фильтров с использованием взвешенного приближения Чебышева». Proc. IEEE . 63 (4): 595–610. Bibcode : 1975IEEEP..63..595R . DOI : 10,1109 / PROC.1975.9794 . S2CID 12579115 .
Deczky, AG (октябрь 1972 г.). «Синтез рекурсивных цифровых фильтров с использованием критерия минимальной p-ошибки». IEEE Trans. Аудио Электроакустика . AU-20 (4): 257–263. DOI : 10.1109 / TAU.1972.1162392 .

Languages

In other projects