Закон охлаждения Ньютона - Newton's law of cooling

Закон охлаждения Ньютона гласит, что скорость потери тепла телом прямо пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой. В закон часто включается условие, согласно которому разница температур мала, а природа механизма теплопередачи остается неизменной. По сути, это эквивалентно утверждению, что коэффициент теплопередачи , который является посредником между тепловыми потерями и разницей температур, является постоянным. Это условие обычно выполняется при теплопроводности (где она гарантируется законом Фурье ), поскольку теплопроводность большинства материалов слабо зависит от температуры. При конвективной теплопередаче соблюдается закон Ньютона для принудительного охлаждения воздуха или перекачиваемой жидкости, где свойства жидкости не сильно зависят от температуры, но это только приблизительно верно для конвекции, вызванной плавучестью, где скорость потока увеличивается с увеличением разница температур. Наконец, в случае передачи тепла тепловым излучением закон охлаждения Ньютона выполняется только при очень малых перепадах температур.

В терминах разницы температур закон Ньютона (с несколькими дополнительными упрощающими допущениями, такими как низкое число Био и не зависящая от температуры теплоемкость) приводит к простому дифференциальному уравнению, выражающему разность температур как функцию времени. Решение этого уравнения описывает экспоненциальное уменьшение разницы температур с течением времени. Этот характерный спад температурного перепада также связан с законом охлаждения Ньютона.

Историческое прошлое

Исаак Ньютон анонимно опубликовал свою работу по охлаждению в 1701 году как «Scala gradum Caloris. Calorum Descriptiones & signa». в Philosophical Transactions , том 22, выпуск 270.

Первоначально Ньютон не сформулировал свой закон в приведенной выше форме в 1701 году. Скорее, используя сегодняшние термины, Ньютон заметил после некоторых математических манипуляций, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой. Эта последняя простейшая версия закона, данная самим Ньютоном, отчасти была вызвана путаницей во времена Ньютона между понятиями тепла и температуры, которые не удалось полностью разобрать до гораздо более позднего времени.

В 2020 году Шигенао и Шуичи повторили эксперименты Ньютона с современной аппаратурой и применили современные методы обработки данных. В частности, эти исследователи учитывали тепловое излучение при высоких температурах (как для расплавленных металлов, использованных Ньютоном), и они учитывали эффекты плавучести в воздушном потоке. Сравнивая с исходными данными Ньютона, они пришли к выводу, что его измерения (с 1692 по 1693 год) были «довольно точными».

Связь с механизмом охлаждения

Иногда говорят, что конвекционное охлаждение подчиняется «закону охлаждения Ньютона». Когда коэффициент теплопередачи не зависит или относительно не зависит от разницы температур между объектом и окружающей средой, соблюдается закон Ньютона. Закон хорошо работает для принудительного воздушного и перекачиваемого жидкостного охлаждения, когда скорость жидкости не увеличивается с увеличением разницы температур. Закон Ньютона наиболее точно соблюдается при охлаждении чисто кондуктивного типа. Однако коэффициент теплопередачи является функцией разницы температур при естественной конвективной (управляемой плавучестью) теплопередаче. В этом случае закон Ньютона приближает результат только при относительно небольшой разнице температур. Сам Ньютон осознавал это ограничение.

Поправка к закону Ньютона относительно конвекции для больших перепадов температуры путем включения показателя степени была сделана в 1817 году Дюлонгом и Пети . (Эти люди более известны своей формулировкой закона Дюлонга – Пети, касающегося молярной удельной теплоемкости кристалла.)

Другая ситуация, не подчиняющаяся закону Ньютона, - это радиационная теплопередача . Радиационное охлаждение лучше описывается законом Стефана – Больцмана, в котором скорость теплопередачи изменяется как разница в 4-й степени абсолютных температур объекта и окружающей его среды.

Математическая формулировка закона Ньютона.

Формулировка закона Ньютона, используемая в литературе по теплопередаче, вводит в математику идею о том, что скорость потери тепла телом пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой . Для коэффициента теплопередачи, не зависящего от температуры, утверждение выглядит следующим образом:

{\ Displaystyle {\ точка {Q}} = hA \ left (T (t) -T _ {\ text {env}} \ right) = hA \, \ Delta T (t),}

куда

${\ displaystyle {\ dot {Q}}}$ скорость передачи тепла из тела (единица СИ: ватт ),
${\ displaystyle h}$ - коэффициент теплопередачи (предполагается, что он не зависит от T и усреднен по поверхности) (единица СИ: Вт / м ² ⋅K),
${\ displaystyle A}$ площадь поверхности теплопередачи (единицы СИ: м ² ),
${\ displaystyle T}$ - температура поверхности объекта (единица СИ: K),
${\ displaystyle T _ {\ text {env}}}$ температура окружающей среды; т. е. температура достаточно далеко от поверхности (единица СИ: K),
${\ displaystyle \ Delta T (t) = T (t) -T _ {\ text {env}}}$ - зависящая от времени разница температур между окружающей средой и объектом (единица СИ: K).

Коэффициент теплопередачи h зависит от физических свойств жидкости и физической ситуации, в которой возникает конвекция. Следовательно, для каждой системы, подлежащей анализу, необходимо получить или экспериментально определить единый полезный коэффициент теплопередачи (тот, который существенно не меняется в диапазонах разницы температур, охватываемых во время охлаждения и нагрева).

Формулы и соотношения доступны во многих справочных материалах для расчета коэффициентов теплопередачи для типичных конфигураций и жидкостей. Для ламинарных течений коэффициент теплопередачи обычно меньше, чем для турбулентных потоков, поскольку турбулентные потоки имеют сильное перемешивание в пограничном слое на поверхности теплопередачи. Обратите внимание на изменение коэффициента теплопередачи в системе при переходе от ламинарного к турбулентному потоку.

Число Био

Число Био, безразмерная величина, определяется для тела как

{\ displaystyle {\ text {Bi}} = {\ frac {hL _ {\ rm {C}}} {k _ {\ rm {b}}}},}

куда

h = пленочный коэффициент, или коэффициент теплопередачи, или коэффициент конвективной теплопередачи,
L _C = характеристическая длина , которая обычно определяется как объем тела, деленный на площадь поверхности тела, так что , ${\ displaystyle L _ {\ rm {C}} = V _ {\ text {body}} / A _ {\ text {поверхность}}}$
k _b = теплопроводность тела.

Физическое значение числа Био можно понять, представив тепловой поток от горячего металлического шара, внезапно погруженного в бассейн, к окружающей жидкости. Тепловой поток испытывает два сопротивления: первое за пределами поверхности сферы, а второе внутри твердого металла (на которое влияют как размер, так и состав сферы). Отношение этих сопротивлений и есть безразмерное число Био.

Если тепловое сопротивление на границе раздела жидкость / сфера превышает тепловое сопротивление внутренней части металлической сферы, число Био будет меньше единицы. Для систем, где она намного меньше единицы, можно предположить, что внутренняя часть сферы всегда имеет одну и ту же температуру, хотя эта температура может изменяться по мере того, как тепло переходит в сферу от поверхности. Уравнение, описывающее это изменение (относительно однородной) температуры внутри объекта, является простым экспоненциальным уравнением, описанным в законе охлаждения Ньютона, выраженном в терминах разности температур (см. Ниже).

Напротив, металлический шар может быть большим, что приводит к увеличению характеристической длины до такой степени, что число Био больше единицы. В этом случае важны температурные градиенты внутри сферы, даже если материал сферы является хорошим проводником. Эквивалентно, если сфера сделана из теплоизоляционного (плохо проводящего) материала, такого как дерево или пенополистирол, внутреннее сопротивление тепловому потоку будет превышать сопротивление на границе жидкость / сфера, даже с гораздо меньшей сферой. В этом случае, опять же, число Био будет больше единицы.

Значения числа Био меньше 0,1 означают, что теплопроводность внутри тела намного быстрее, чем тепловая конвекция от его поверхности, а градиенты температуры внутри тела незначительны. Это может указывать на применимость (или неприменимость) определенных методов решения переходных проблем теплопередачи. Например, число Био менее 0,1 обычно указывает на наличие ошибки менее 5% при допущении модели неустановившейся теплоотдачи с сосредоточенной емкостью (также называемой анализом сосредоточенной системы). Как правило, этот тип анализа приводит к простому экспоненциальному нагреву или охлаждению («ньютоновское» охлаждение или нагрев), поскольку внутренняя энергия тела прямо пропорциональна его температуре, которая, в свою очередь, определяет скорость теплопередачи в него или из него. . Это приводит к простому дифференциальному уравнению первого порядка, описывающему теплоперенос в этих системах.

Число Био меньше 0,1 означает, что вещество является «термически тонким», и можно предположить, что температура постоянна во всем объеме материала. Верно и обратное: число Био больше 0,1 («термически толстое» вещество) указывает на то, что нельзя сделать это предположение, и потребуются более сложные уравнения теплопередачи для «переходной теплопроводности», чтобы описать изменяющуюся во времени и неоднородное в пространстве температурное поле внутри материального тела. Аналитические методы решения этих проблем, которые могут существовать для простых геометрических форм и однородной теплопроводности материала , описаны в статье об уравнении теплопроводности .

Применение закона нестационарного охлаждения Ньютона

Простые решения для кратковременного охлаждения объекта могут быть получены, когда внутреннее тепловое сопротивление внутри объекта мало по сравнению с сопротивлением теплопередаче от поверхности объекта (за счет внешней теплопроводности или конвекции), что является условием, при котором прибор Biot число меньше примерно 0,1. Это условие позволяет предположить единую, приблизительно однородную температуру внутри тела, которая меняется во времени, но не в зависимости от положения. (В противном случае внутри тела могло бы быть много разных температур одновременно.) Эта единственная температура обычно будет изменяться экспоненциально с течением времени (см. Ниже).

Условие малого числа Био приводит к так называемой модели сосредоточенной емкости . В этой модели внутренняя энергия (количество тепловой энергии в теле) рассчитывается с учетом постоянной теплоемкости . В этом случае внутренняя энергия тела является линейной функцией единственной внутренней температуры тела.

Приведенное ниже решение для сосредоточенной емкости предполагает постоянный коэффициент теплопередачи, как в случае принудительной конвекции. Для свободной конвекции модель сосредоточенной емкости может быть решена с коэффициентом теплопередачи, который изменяется в зависимости от разницы температур.

Переходная характеристика первого порядка объектов с сосредоточенной емкостью

Тело рассматривается как объект сосредоточенных емкостей, с общей внутренней энергией из (в джоулях), характеризуются единой однородной внутренней температурой, . Теплоемкость, , из тела (в Дж / K), для случая несжимаемого материала. Внутренняя энергия может быть записана в терминах температуры тела, тепло емкости (берется не зависит от температуры), а также эталонная температура , при которой внутренняя энергия равна нулю: . ${\ displaystyle U}$ ${\ Displaystyle Т (т)}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ Displaystyle C = dU / dT}$ ${\ Displaystyle U = С (Т-Т _ {\ текст {ref}})}$

Дифференциация по времени дает: ${\ displaystyle U}$

{\ displaystyle {\ frac {dU} {dt}} = C \, {\ frac {dT} {dt}}.}

Применяя первый закон термодинамики к сосредоточенному объекту дает , где скорость передачи тепла из тела, , может быть выражена по закону Ньютона охлаждения, и где никакой передачи не происходит работы для несжимаемого материала. Таким образом, ${\ textstyle {\ frac {dU} {dt}} = - {\ точка {Q}}}$ ${\ displaystyle {\ dot {Q}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dT (t)} {dt}} = - {\ frac {hA} {C}} (T (t) -T _ {\ text {env}}) = - {\ frac {1 } {\ tau}} \ \ Delta T (t),}

где постоянная времени системы . Теплоемкость может быть записана в терминах объекта емкости теплоемкости , (Дж / кг-К), и масса (кг). Тогда постоянная времени .

{\ Displaystyle \ тау = С / (га)}

{\ displaystyle C}

{\ displaystyle c}

{\ displaystyle m}

{\ Displaystyle \ тау = mc / (hA)}

Когда температура окружающей среды постоянна во времени, мы можем определить . Уравнение становится ${\ displaystyle \ Delta T (t) = T (t) -T _ {\ text {env}}}$

{\ displaystyle {\ frac {dT (t)} {dt}} = {\ frac {d \ Delta T (t)} {dt}} = - {\ frac {1} {\ tau}} \ Delta T ( t).}

Решение этого дифференциального уравнения путем интегрирования из начального условия имеет вид

{\ Displaystyle \ Delta T (t) = \ Delta T (0) \, e ^ {- t / \ tau}.}

где - разница температур в момент времени 0. Возвращаясь к температуре, решение

{\ displaystyle \ Delta T (0)}

{\ displaystyle T (t) = T _ {\ text {env}} + (T (0) -T _ {\ text {env}}) \, e ^ {- t / \ tau}.}

Разница температур между телом и окружающей средой экспоненциально спадает со временем.

Смотрите также

использованная литература

Смотрите также:

Дехгани, F 2007, CHNG2801 - Процессы сохранения и транспортировки: заметки по курсу, Сиднейский университет, Сидней

внешние ссылки

Теплопроводность - Thermal-FluidsPedia
Закон охлаждения Ньютона Джеффа Брайанта на основе программы Стивена Вольфрама , Wolfram Demonstrations Project .
Учебник по теплопередаче, 5 / е , бесплатная электронная книга.

Languages

In other projects