Тензорное произведение полей - Tensor product of fields

В математике тензорное произведение двух полей - это их тензорное произведение как алгебр над общим подполем . Если подполе не указано явно, два поля должны иметь одинаковую характеристику и общее подполе в их [[простом поле | простом подполе.

Тензорное произведение двух полей иногда является полем, а часто - прямым произведением полей; В некоторых случаях он может содержать ненулевые нильпотентные элементы .

Тензорное произведение двух полей выражает в единой структуре различный способ встраивания двух полей в общее поле расширения .

Состав полей

Во-первых, нужно определить понятие совокупности полей. Эта конструкция часто встречается в теории поля . Идея compositum состоит в том, чтобы сделать наименьшее поле, содержащее два других поля. Чтобы формально определить композитум, нужно сначала указать башню полей . Пусть k - поле, а L и K - два расширения поля k . Композит, обозначенный KL определяется как , где правая часть обозначает расширение , генерируемый K и L . Обратите внимание , что это предполагает некоторое поле , содержащее как K и L . Либо один начинает с ситуации, когда окружающее поле легко идентифицировать (например, если K и L являются подполями комплексных чисел), либо доказывается результат, который позволяет разместить как K, так и L (как изоморфные копии) в какое-то достаточно большое поле. ${\ Displaystyle KL = К (К \ чашка L)}$

Во многих случаях можно определить K . Л в качестве векторного пространства тензорного продукта , взятого по полю N , который является пересечением K и L . Например, если один примыкает √2 к рациональному поле ℚ получить K и √3 , чтобы получить L , это правда , что поле M получается как K . L внутри комплексных чисел есть (с точностью до изоморфизма)

${\ displaystyle K \ otimes _ {\ mathbb {Q}} L}$

как векторное пространство над. (Этот тип результатов можно проверить, вообще говоря, с помощью теории ветвления алгебраической теории чисел .)

Подполя К и L из M является линейно разделено (над подполом N ) , когда, таким образом , естественный N -линейной карты

${\ displaystyle K \ otimes _ {N} L}$

для K . L является инъективным . Естественно , это не всегда так, например , если K = L . Когда степени конечны, инъективность здесь эквивалентна биективной . Следовательно, когда К и L линейно непересекающиеся конечные степени расширения поля над N , , как с указанными выше расширений рациональных чисел. ${\ displaystyle KL \ cong K \ otimes _ {N} L}$

Важным случаем в теории круговых полей является то, что для корней n- й степени из единицы , для n составного числа, подполя, порожденные корнями p ^k- й степени из единицы для простых степеней, делящих n , линейно не пересекаются для различных p .

Тензорное произведение в виде кольца

Чтобы получить общую теорию, нужно рассмотреть кольцевую структуру на . Можно определить произведение как (см. Тензорное произведение алгебр ). Эта формула полилинейна по N в каждой переменной; и таким образом определяет кольцевую структуру на тензорном произведении, превращаясь в коммутативную N -алгебру , называемую тензорным произведением полей . ${\ displaystyle K \ otimes _ {N} L}$${\ Displaystyle (а \ otimes b) (с \ otimes d)}$${\ displaystyle ac \ otimes bd}$${\ displaystyle K \ otimes _ {N} L}$

Анализ кольцевой структуры

Структура кольца могут быть проанализированы с учетом всех способов вложения как K и L в некотором поле расширения N . Обратите внимание, что конструкция здесь предполагает общее подполе N ; но не предполагает априори, что K и L являются подполями некоторого поля M (таким образом обходя предостережения о построении композитного поля). Всякий раз, когда кто-то вкладывает K и L в такое поле M , скажем, используя вложения α поля K и β поля L , возникает гомоморфизм колец γ из в M, определяемый следующим образом: ${\ displaystyle K \ otimes _ {N} L}$

${\ displaystyle \ gamma (a \ otimes b) = (\ alpha (a) \ otimes 1) \ star (1 \ otimes \ beta (b)) = \ alpha (a). \ beta (b).}$

Ядро γ будет простым идеалом тензорного произведения; и , наоборот , любой простой идеал тензорного продукта даст гомоморфизм Н -алгебр к области целостности (внутри области фракций ) и так обеспечивает вложения K и L в некоторой области в качестве расширений (копия) N .

Таким образом, можно проанализировать структуру : в принципе может существовать ненулевой нильрадикал (пересечение всех простых идеалов) - и после факторизации по нему можно говорить о произведении всех вложений K и L в различные М , над N . ${\ displaystyle K \ otimes _ {N} L}$

В случае, если K и L являются конечными расширениями N, ситуация особенно проста, поскольку тензорное произведение имеет конечную размерность как N -алгебра (и, следовательно, артиново кольцо ). Тогда можно сказать, что если R радикал, то есть прямое произведение конечного числа полей. Каждое такое поле является представителем класса эквивалентности (существенно различен) поля вложений для K и L в некотором расширении М . ${\ displaystyle (K \ otimes _ {N} L) / R}$

Примеры

Например, если K порождается над ℚ по кубическому корню из 2, то есть произведение (копия) K , и поле расщепления из ${\ displaystyle K \ otimes _ {\ mathbb {Q}} K}$

Х ³ - 2,

степени 6 над ℚ. Можно доказать это, вычислив размерность тензорного произведения над как 9 и заметив, что поле расщепления действительно содержит две (а точнее три) копии K и является составной частью двух из них. Это между прочим показывает, что в данном случае R = {0}.

Пример, ведущий к ненулевому нильпотенту: пусть

Р ( Х ) = Х ^р - Т

где K - поле рациональных функций от неопределенного T над конечным полем из p элементов. (См разъемного многочлена : точка здесь является то , что P является не отделим). Если L является расширение поля К ( Т ^{1 / р} ) (далее поле разложения из Р ) , то L / K представляет собой пример расширения чисто неразрывного поля . В элементе ${\ displaystyle L \ otimes _ {K} L}$

${\ displaystyle T ^ {1 / p} \ время 1–1 \ время T ^ {1 / p}}$

является нильпотентным: взяв его степень p, можно получить 0, используя K -линейность.

Классическая теория действительных и комплексных вложений

В алгебраической теории чисел тензорные произведения полей (часто неявно) являются основным инструментом. Если K - расширение конечной степени n , всегда является произведением полей, изоморфных ℝ или. Эти поля полностью вещественное числа являются те , для которых происходят только вещественные поля: вообще есть г ₁ реальные и г ₂ комплексных полей, с г ₁ + 2 г ₂ = п , как видно по размерам счетов. Факторы поля находятся в соответствии 1–1 с действительными вложениями и парами комплексно сопряженных вложений , описанными в классической литературе. ${\ Displaystyle K \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {R}}$

Эта идея применима также к тому, где ℚ _p - поле p -адических чисел . Это произведение конечных расширений _p в соответствии 1–1 с пополнениями K для расширений p -адической метрики на. ${\ displaystyle K \ otimes _ {\ mathbb {Q}} \ mathbb {Q} _ {p},}$

Последствия для теории Галуа

Это дает общую картину и, по сути, способ развития теории Галуа ( в русле теории Галуа Гротендика ). Можно показать, что для разделимых расширений радикал всегда равен {0}; поэтому случай теории Галуа является полупростым случаем только произведений полей.

Смотрите также

• Расширение скаляров - тензорное произведение расширения поля и векторного пространства над этим полем.

Примечания

использованная литература

• "Композиция расширений полей" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Кемпф, Джордж Р. (2012) [1995]. «9.2 Разложение тензорных произведений полей» . Алгебраические структуры . Springer. С. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1.
• Милн, Дж.С. (18 марта 2017 г.). Алгебраическая теория чисел (PDF) . п. 17. 3.07.
• Штейн, Уильям (2004). "Краткое введение в классическую и аделическую теорию алгебраических чисел" (PDF) . С. 140–2.
• Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1975) [1958]. Коммутативный алгебра I . Тексты для выпускников по математике. 28 . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90089-6. Руководство по ремонту  0090581 .

внешние ссылки

• Тема MathOverflow по определению линейной непересекаемости