Нильрадикал кольца - Nilradical of a ring

Доказательство  -

Позвольте и быть простым идеалом, то для некоторых . Таким образом ${\ displaystyle r \ in {\ mathfrak {N}} _ {R}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle r ^ {n} = 0}$${\ Displaystyle п \ в \ mathbb {Z} _ {> 0}}$

${\ displaystyle r ^ {n} = r \ cdot r ^ {n-1} = 0 \ in {\ mathfrak {p}}}$,

поскольку является идеалом, из которого следует или . Во втором случае, предположим, для некоторых , тогда так или и, индукцией по , мы заключаем , в частности . Следовательно , содержится в любом простом идеале и . ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle r \ in {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle r ^ {n-1} \ in {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle r ^ {m} \ in {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle м \ Leq п-1}$${\ displaystyle r ^ {m} = r \ cdot r ^ {m-1} \ in {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle r \ in {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle r ^ {m-1} \ in {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle m \ geq 1}$${\ displaystyle r ^ {m} \ in {\ mathfrak {p}}, \, \ forall m: 0 <m \ leq n-1}$${\ displaystyle r \ in {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {R} \ substeq \ bigcap _ {{\ mathfrak {p}} \ varsubsetneq R {\ text {prime}}} {\ mathfrak {p}}}$

Наоборот, мы предполагаем и рассматриваем множество${\ displaystyle f \ notin {\ mathfrak {N}} _ {R}}$

${\ displaystyle \ Sigma: = \ lbrace J \ substeq R \ mid J {\ text {является идеалом и}} f ^ {m} \ notin J {\ text {для всех}} m \ in \ mathbb {Z} _ {> 0} \ rbrace}$

который действительно непустой . частично упорядочено, и любая цепь имеет верхнюю границу, заданную , действительно: является идеалом и если для некоторых, то для некоторых , что невозможно, поскольку ; таким образом, любая цепь в имеет верхнюю границу, и мы можем применить лемму Цорна : существует максимальный элемент . Нам нужно доказать, что это первичный идеал: пусть , то поскольку он максимален по, то есть существует такое, что , но тогда , что абсурдно. Следовательно, если , не содержится в каком-то простом идеале или, что эквивалентно, и окончательно . ${\ Displaystyle (0) \ in \ Sigma}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ substeq}$${\ Displaystyle J_ {1} \ substeq J_ {2} \ substeq \ dots}$${\ Displaystyle J = \ bigcup _ {я \ geq 1} J_ {я} \ in \ Sigma}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle f ^ {m} \ in J}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f ^ {m} \ in J_ {l}}$${\ displaystyle l}$${\ Displaystyle J_ {l} \ in \ Sigma}$${\ Displaystyle \ Sigma \ neq \ emptyset}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} \ in \ Sigma}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle g, h \ notin {\ mathfrak {m}}, gh \ in {\ mathfrak {m}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {m}} \ varsubsetneq {\ mathfrak {m}} + (g), {\ mathfrak {m}} + (h) \ notin \ Sigma}$${\ displaystyle {\ mathfrak {m}}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle r, s \ in \ mathbb {Z} _ {> 0}}$${\ displaystyle f ^ {r} \ in {\ mathfrak {m}} + (g), f ^ {s} \ in {\ mathfrak {m}} + (h)}$${\ displaystyle f ^ {r} f ^ {s} = f ^ {r + s} \ in {\ mathfrak {m}} + (gh) = {\ mathfrak {m}} \ in \ Sigma}$${\ displaystyle f \ notin {\ mathfrak {N}} _ {R}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle R \ setminus {\ mathfrak {N}} _ {R} \ substeq \ bigcup _ {{\ mathfrak {p}} \ varsubsetneq R {\ text {prime}}} (R \ setminus {\ mathfrak {p }})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}} _ {R} \ supseteq \ bigcap _ {{\ mathfrak {p}} \ varsubsetneq R {\ text {prime}}} {\ mathfrak {p}}}$