Симметризация - Symmetrization

В математике , симметризация это процесс , который преобразует любую функцию в п переменных к симметричной функции в п переменных. Точно так же антисимметризация превращает любую функцию от n переменных в антисимметричную функцию.

Две переменные

Пусть быть множество и в абелевой группе . Карта называется симметричной, если для всех . ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ альфа \ двоеточие S \ раз от S \ до A}$ ${\ displaystyle \ alpha}$${\ Displaystyle \ альфа (s, t) = \ альфа (t, s)}$${\ displaystyle s, t \ in S}$

Симметризацию из карты является карта . ${\ Displaystyle \ альфа \ двоеточие S \ раз от S \ до A}$${\ Displaystyle (х, у) \ mapsto \ альфа (х, у) + \ альфа (у, х)}$

Точно так же антисимметризация или кососимметризация карты - это карта . ${\ Displaystyle \ альфа \ двоеточие S \ раз от S \ до A}$${\ Displaystyle (х, у) \ mapsto \ альфа (х, у) - \ альфа (у, х)}$

Сумма симметризации и антисимметризации карты α равна 2 α . Таким образом, в отличие от 2 , означающего, что если 2 обратимо , например, для действительных чисел , можно разделить на 2 и выразить каждую функцию как сумму симметричной функции и антисимметричной функции.

Симметризация симметричного отображения - это его дубль, а симметризация знакопеременного отображения равна нулю; аналогично антисимметризация симметричного отображения равна нулю, в то время как антисимметризация антисимметричного отображения является его двойником.

Билинейные формы

Симметризация и антисимметризация билинейного отображения билинейны; таким образом, в отличие от 2, каждая билинейная форма является суммой симметричной формы и кососимметричной формы, и нет никакой разницы между симметричной формой и квадратичной формой.

На этапе 2 не каждую форму можно разложить на симметричную форму и кососимметричную форму. Например, над целыми числами соответствующая симметричная форма (над рациональными числами ) может принимать полуцелые значения, а над функцией является кососимметричной тогда и только тогда, когда она симметрична (как 1 = -1 ). ${\ displaystyle \ mathbf {Z} / 2 \ mathbf {Z},}$

Это приводит к понятию ε-квадратичных форм и ε-симметричных форм.

Теория представлений

С точки зрения теории представлений :

• обмен переменными дает представление симметрической группы в пространстве функций от двух переменных,
• симметричные и антисимметричные функции являются подпредставлениями, соответствующими тривиальному представлению и знаковому представлению , и
• Симметризация и антисимметризация отображают функцию в эти подпредставления - если один делится на 2, эти карты дают проекционные карты .

Поскольку симметрическая группа второго порядка равна циклической группе второго порядка ( ), это соответствует дискретному преобразованию Фурье второго порядка. ${\ Displaystyle \ mathrm {S} _ {2} = \ mathrm {C} _ {2}}$

n переменных

В более общем смысле, учитывая функцию от n переменных, можно симметризовать, взяв сумму по всем перестановкам переменных, или антисимметризовать, взяв сумму по всем четным перестановкам и вычитая сумму по всем нечетным перестановкам (за исключением случая, когда n ≤ 1 , единственная перестановка четная). ${\ displaystyle n!}$${\ Displaystyle п! / 2}$ ${\ Displaystyle п! / 2}$

Здесь симметрировании симметричной функции умножается на - таким образом , если обратит, например, при работе над полем из характеристики или , то эти выступы урожайности при делении на . ${\ displaystyle n!}$${\ displaystyle n!}$ ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle p> n}$${\ displaystyle n!}$

С точки зрения теории представлений, они дают только подпредставления, соответствующие тривиальному и знаковому представлению, но поскольку есть и другие - см. Теорию представлений симметрической группы и симметрических многочленов . ${\ displaystyle n> 2}$

Начальная загрузка

Если задана функция от k переменных, можно получить симметричную функцию от n переменных, взяв сумму по k -элементным подмножествам переменных. В статистике это называется начальной загрузкой , а соответствующая статистика называется U-статистикой .

Ноты

Рекомендации

• Hazewinkel, Michiel (1990). Энциклопедия математики: обновленный и аннотированный перевод советской «Математической энциклопедии» . Энциклопедия математики. 6 . Springer. ISBN   978-1-55608-005-0 .