Стабильная теория - Stable theory

В математической области теории моделей , полная теория называется стабильной , если она не имеет слишком много типов . Одна из целей теории классификации - разделить все законченные теории на те, модели которых можно классифицировать, и те, чьи модели слишком сложны для классификации, а также классифицировать все модели в тех случаях, когда это возможно. Грубо говоря, если теория нестабильна, то ее модели слишком сложны и многочисленны, чтобы их можно было классифицировать, в то время как если теория стабильна, может быть некоторая надежда на классификацию ее моделей, особенно если теория сверхстабильна или полностью трансцендентна .

Теория устойчивости была основана Морли (1965) , который ввел несколько фундаментальных понятий, таких как полностью трансцендентные теории и ранг Морли . Стабильные и сверхстабильные теории были впервые представлены Шелахом (1969) , который в значительной степени ответственен за развитие теории устойчивости. Окончательный справочник по теории устойчивости - ( Shelah 1990 ), хотя, как известно, его трудно читать даже экспертам, как упоминалось, например, в ( Grossberg, Iovino & Lessmann 2002 , p. 542).

Определения

Я буду полной теорией на каком-то языке.

T называется κ- стабильным (для бесконечного кардинала κ ), если для любого множества A мощности κ множество полных типов над A имеет мощность κ .
ω-стабильная - это альтернативное название ℵ ₀ -стабильности.
T называется стабильным, если оно κ -устойчиво для некоторого бесконечного кардинала κ .
T называется нестабильным, если он не является κ- стабильным ни для какого бесконечного кардинала κ .
T называется суперустойчивым, если оно κ -устойчиво для всех достаточно больших кардиналов κ .
Абсолютно трансцендентными являются теории, в которых ранг Морли каждой формулы меньше ∞.

Как обычно, говорят, что модель некоторого языка обладает одним из этих свойств, если полная теория модели обладает этим свойством.

Неполная теория определяется как обладающая одним из этих свойств, если каждое завершение или, что эквивалентно, каждая модель имеет это свойство.

Неустойчивые теории

Грубо говоря, теория нестабильна, если ее можно использовать для кодирования упорядоченного набора натуральных чисел. Точнее, теорема Сахарона Шелаха о нестабильных формулах в теории моделей характеризует неустойчивые теории отсутствием счетно бесконечных полуграфов . Шелах определяет полную теорию как имеющую свойство порядка, если существует модель теории, формула на двух конечных наборах свободных переменных и , и, система счетного числа значений, и для этих переменных такие пары образуют ребра счетный полуграф на вершинах и . Интуитивно, существование этих полуграфов позволяет построить операцию сравнения бесконечного упорядоченного множества в модели через эквивалентность . Теорема о неустойчивой формуле Шелаха (1990 , стр. 30–31) утверждает, что полная теория неустойчива тогда и только тогда, когда она обладает свойством порядка. ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ phi ({\ bar {x}}, {\ bar {y}})}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {y}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ bar {y}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ bigl \ {} ({\ bar {x}} _ {i}, {\ bar {y}} _ {i}) \ mid M \ models \ phi ({\ bar {x}} _ {i}, {\ bar {y}} _ {j}) {\ bigr \}}}$ ${\ displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$ ${\ displaystyle {\ bar {y}} _ {i}}$ ${\ displaystyle (я \ Leq j) \ Leftrightarrow {\ bigl (} M \ models \ phi ({\ bar {x}} _ {i}, {\ bar {y}} _ {j}) {\ bigr) }}$

Число моделей неустойчивой теории T любой несчетной мощности κ ≥ | Т | - максимально возможное число 2 ^κ .

Примеры:

Наиболее сложные теории, такие как теории множеств и арифметика Пеано , нестабильны.
Теория рациональных чисел, рассматриваемых как упорядоченное множество, неустойчива. Его теория - это теория плотных полных порядков без концов . В более общем плане теория любого бесконечного тотального порядка нестабильна.
Теория сложения натуральных чисел является неустойчивой.
Любая бесконечная булева алгебра неустойчива.
Любой моноид с отменой , что не является группой является неустойчивым, потому что если является элементом , который не является единицей , то силы в виде бесконечного вполне упорядоченного набора в соответствии с отношением делимости . По той же причине любая область целостности , не являющаяся полем , нестабильна.
Есть много нестабильных нильпотентных групп . Одним из примеров является бесконечномерная группа Гейзенберга над целыми числами: она порождается элементами x _i , y _i , z для всех натуральных чисел i , с отношениями, которые коммутируют любые из этих двух генераторов, за исключением того, что x _i и y _i имеют коммутатор z для любого i . Если a _i является элементом x ₀ x ₁ ... x _{i −1} y _i, тогда a _i и a _j имеют коммутатор z именно тогда, когда i < j , поэтому они образуют бесконечный полный порядок при определенном отношении, поэтому группа нестабильный.
Реальные замкнутые поля нестабильны, так как они бесконечны и имеют определенный общий порядок.

Стабильные теории

T называется стабильным, если оно κ -устойчиво для некоторого кардинала κ . Примеры:

Теория любого модуля над кольцом устойчива.
Теория счетного числа отношений эквивалентности, ( E _n ) _{n ∈ N} , таких, что каждое отношение эквивалентности имеет бесконечное число классов эквивалентности, а каждый класс эквивалентности E _n является объединением бесконечного числа различных классов E _{n +1} стабильно, но не сверхстабильно.
Села (2013) показал, что свободные группы и вообще гиперболические группы без кручения стабильны. Бесплатные группы на более чем одном генераторе не являются сверхстабильными.
Дифференциально замкнутое поле является стабильным. Если у него отличная от нуля характеристика, он не является сверхстабильным, а если он имеет нулевую характеристику, он полностью трансцендентен.

Сверхстабильные теории

T называется суперстабильным, если он устойчив для всех достаточно больших кардиналов, поэтому все суперстабильные теории устойчивы. Для счетного T сверхустойчивость эквивалентна устойчивости при всех κ ≥ 2 ^ω . Следующие условия теории T эквивалентны:

T суперстабилен.
Все типы T ранжируются по крайней мере по одному понятию ранга.
T является κ -устойчивым для всех достаточно больших кардиналов κ
T является κ- стабильным для всех кардиналов κ не менее 2 ^{| Т |} .

Если теория сверхстабильна, но не полностью трансцендентна, она называется строго сверхстабильной .

Количество счетных моделей счетной сверхустойчивой теории должно быть 1, ℵ ₀ , ℵ ₁ или 2 ^ω . Если количество моделей равно 1, теория полностью трансцендентна. Существуют примеры с 1, ℵ ₀ или 2 ^ω моделями, и неизвестно, есть ли примеры с ℵ ₁ моделями, если гипотеза континуума не верна. Если теория T не является сверхустойчивой, то число моделей мощности κ > | Т | равно 2 ^κ .

Примеры:

Аддитивная группа целых чисел сверхстабильна, но не полностью трансцендентна. Имеет 2 ^ω счетных модели.
Теория со счетным числом унарных отношений P _i с моделью положительных целых чисел, где P _i ( n ) интерпретируется как говорящее, что n делится на i- е простое число, является сверхстабильной, но не полностью трансцендентной.
Абелева группа сверхустойчива тогда и только тогда , когда существует лишь конечное число пар ( р , п ) с р простое число, п натуральное число, причем р ^п А / р ^п⁺¹А бесконечность.

Совершенно трансцендентные теории и ω-стабильные

Абсолютно трансцендентными являются теории, в которых ранг Морли каждой формулы меньше ∞. Совершенно трансцендентные теории устойчивы в λ, если λ ≥ | T |, поэтому они всегда сверхстабильны. ω-стабильная - это альтернативное название ℵ ₀ -стабильности. Ω-стабильные теории счетного языка являются κ -стабильными для всех бесконечных кардиналов κ . Если | Т | счетно, то T вполне трансцендентно тогда и только тогда, когда оно ω-стабильно. Вообще говоря, T полностью трансцендентен тогда и только тогда, когда каждое ограничение T на счетный язык ω-стабильно.

Примеры:

Любая ω-стабильная теория полностью трансцендентна.
Любая конечная модель полностью трансцендентна.
Бесконечное поле полностью трансцендентно тогда и только тогда, когда оно алгебраически замкнуто . ( Теорема Макинтайра .)
Дифференциально замкнутое поле в характеристике 0 является абсолютно трансцендентным.
Любая теория со счетным языком, категоричная для некоторого несчетного кардинала, полностью трансцендентна.
Абелева группа полностью трансцендентно тогда и только тогда , когда оно является прямой суммой из делимой группы и группы ограниченной экспоненты .
Любая линейная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем вполне трансцендентна.
Любая группа конечного ранга Морли вполне трансцендентна.

Смотрите также

Внешние ссылки

А. Пиллэй, Конспект лекций по теории моделей
А. Пиллэй, Конспект лекций по теории устойчивости
А. Пиллэй, Конспект лекций по прикладной теории устойчивости

Languages

In other projects

Стабильная теория - Stable theory

СОДЕРЖАНИЕ

Определения

Неустойчивые теории

Стабильные теории

Сверхстабильные теории

Совершенно трансцендентные теории и ω-стабильные

Смотрите также

Рекомендации

Внешние ссылки