Категориальная теория - Categorical theory

В математической логике , теория является категоричным , если оно имеет ровно одну модель ( с точностью до изоморфизма ). Такую теорию можно рассматривать как определяющую ее модель, однозначно характеризующую ее структуру.

В логике первого порядка категоричными могут быть только теории с конечной моделью. Логика высшего порядка содержит категориальные теории с бесконечной моделью. Так , например, второй порядок Аксиома Пеано категорична, имеющая уникальную модель которого домен является множеством натуральных чисел .

В теории моделей понятие категориальной теории уточняется по мощности . Теория является κ - категорична (или категорично κ ) , если она имеет ровно одна модель мощности каппа с точностью до изоморфизма. Теорема Морли о категоричности - это теорема Майкла Д. Морли  ( 1965 ), утверждающая, что если теория первого порядка в счетном языке категорична в некоторой несчетной мощности , то она категорична во всех несчетных мощностях.

Сахарон Шелах  ( 1974 ) распространил теорему Морли на бесчисленные языки: если язык имеет мощность κ и теория категорична в некотором несчетном кардинале, большем или равном κ, то она категорична во всех мощностях больше, чем  κ .

История и мотивация

Освальд Веблен в 1904 году определил теорию как категоричную, если все ее модели изоморфны. Из приведенного выше определения и теоремы Левенгейма – Сколема следует, что любая теория первого порядка с моделью бесконечной мощности не может быть категоричной. Тогда сразу же возникает более тонкое понятие κ- категоричности, которое задает вопрос: для каких кардиналов κ существует ровно одна модель мощности κ данной теории T с точностью до изоморфизма? Это глубокий вопрос, и значительный прогресс был достигнут только в 1954 году, когда Ежи Лос заметил, что, по крайней мере, для полных теорий T над счетными языками с хотя бы одной бесконечной моделью, он мог найти только три способа, чтобы T было κ- категоричным в некоторых случаях.  κ :

  • T является абсолютно категоричен , т.е. T есть κ -категоричные для всех бесконечных кардиналов  каппы .
  • T является неисчислимо категоричен , т.е. T есть κ -категоричной тогда и только тогда , когда κ является несчетным кардинальным.
  • T является счетно категорична , т.е. T есть κ -категоричных тогда и только тогда , когда κ счетный кардинал.

Другими словами, он заметил, что во всех случаях, которые он мог придумать, κ- категоричность для любого одного несчетного кардинала подразумевает κ- категоричность для всех других бесчисленных кардиналов. Это наблюдение стимулировало большое количество исследований в 1960-х годах, которые в конечном итоге привели к знаменитому результату Майкла Морли о том, что на самом деле это единственные возможности. Впоследствии эта теория была расширена и уточнена Сахароном Шелахом в 1970-х годах и позже, что привело к теории устойчивости и более общей программе теории классификации Шелаха .

Примеры

Не так много естественных примеров теорий, категоричных в каком-то бесчисленном количестве. Известные примеры включают:

Есть также примеры теорий, категоричных по ω, но не категоричных по несчетным кардиналам. Простейшим примером является теория отношения эквивалентности с ровно двумя классами эквивалентности , оба из которых бесконечны. Другой пример - теория плотных линейных порядков без концов; Кантор доказал, что любой такой счетный линейный порядок изоморфен рациональным числам.

Характеристики

Всякая категориальная теория завершена . Однако обратное неверно.

Любая теория T, категоричная относительно некоторого бесконечного кардинала κ , очень близка к завершенности. Точнее, тест Лось – Воота утверждает, что если выполнимая теория не имеет конечных моделей и категорична в некотором бесконечном кардинальном κ, по крайней мере, равном мощности ее языка, то теория завершена. Причина в том, что все бесконечные модели эквивалентны некоторой модели кардинального κ по теореме Лёвенгейма – Сколема , и поэтому все эквивалентны, поскольку теория категорична по κ . Таким образом, теория завершена, поскольку все модели эквивалентны. Предположение об отсутствии в теории конечных моделей необходимо.

Смотрите также

Примечания

использованная литература