Полная теория - Complete theory

В математической логике , теория является полной , если для любой замкнутой формулы в языке этой теории, что формула или ее отрицание доказуема. Рекурсивно аксиоматизируемые теории первого порядка , которые непротиворечивы и достаточно богаты, чтобы позволить сформулировать общие математические рассуждения, не могут быть полными, как продемонстрировала первая теорема Гёделя о неполноте .

Это чувство завершенности отличается от понятия полной логики , которое утверждает, что для любой теории, которая может быть сформулирована в логике, все семантически допустимые утверждения являются доказуемыми теоремами (в соответствующем смысле «семантически достоверный»). Теорема Гёделя о полноте относится к последнему виду полноты.

Полные теории закрываются при выполнении ряда условий внутреннего моделирования T-схемы :

• Для набора формул : тогда и только тогда , когда и ,${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A \ land B \ in S}$${\ displaystyle A \ in S}$${\ displaystyle B \ in S}$
• Для набора формул : если и только если или .${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A \ lor B \ in S}$${\ displaystyle A \ in S}$${\ displaystyle B \ in S}$

Максимальные последовательные наборы являются основным инструментом в теории модели из классической логики и модальной логики . Их существование в данном случае обычно является прямым следствием леммы Цорна , основанной на идее, что противоречие включает использование только конечного числа посылок. В случае модальных логик, совокупность согласованных множеств максимальных простирающихся теории T (закрыто под правилом усиления) может быть задана структура модели из T , называется каноническая моделью.

Примеры

Вот несколько примеров полных теорий:

• Арифметика пресбургера
• Аксиомы Тарского для евклидовой геометрии
• Теория плотных линейных порядков без концов
• Теория алгебраически замкнутых полей заданной характеристики.
• Теория реальных замкнутых полей
• Всякая бесчисленно категоричная счетная теория
• Всякая счетно категоричная счетная теория
• Группа из трех элементов

Смотрите также

• Лемма Линденбаума
• Тест Лось – Воота

Ссылки

• Мендельсон, Эллиотт (1997). Введение в математическую логику (Четвертое изд.). Чепмен и Холл. п. 86. ISBN 978-0-412-80830-2.

Эта статья по математической логике - незавершенная . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . v т е