Теория устойчивости - Stability theory

Диаграмма устойчивости, классифицирующая отображения Пуанкаре линейной автономной системы как стабильные или нестабильные в зависимости от их характеристик. Стабильность обычно увеличивается слева от диаграммы. Некоторые приемники, источники или узлы являются точками равновесия .

{\ displaystyle x '= Ax,}

В математике , теория устойчивости обращается к устойчивости решений дифференциальных уравнений и траекторий динамических систем при малых возмущениях начальных условий. Уравнение теплопроводности , например, является устойчивым уравнением в частных производных, потому что небольшие возмущения начальных данных приводят к небольшим изменениям температуры в более позднее время в результате принципа максимума . В уравнениях с частными производными можно измерять расстояния между функциями с помощью L ^p норм или sup нормы, в то время как в дифференциальной геометрии расстояние между пространствами можно измерять с помощью расстояния Громова – Хаусдорфа .

В динамических системах орбита называется устойчивой по Ляпунову, если прямая орбита любой точки находится в достаточно малой окрестности или остается в небольшой (но, возможно, большей) окрестности. Были разработаны различные критерии для доказательства устойчивости или нестабильности орбиты. При благоприятных обстоятельствах, вопрос может быть сведен к хорошо изученной проблеме с участием собственных из матриц . Более общий метод использует функции Ляпунова . На практике применяется любой из множества различных критериев устойчивости .

Обзор в динамических системах

Многие разделы качественной теории дифференциальных уравнений и динамических систем имеют дело с асимптотическими свойствами решений и траекторий - что происходит с системой по прошествии длительного периода времени. Простейший тип поведения демонстрируют точки равновесия , или неподвижные точки, и периодические орбиты . Если конкретная орбита хорошо изучена, естественно спросить, приведет ли небольшое изменение начального состояния к аналогичному поведению. Теория устойчивости решает следующие вопросы: будет ли ближайшая орбита бесконечно оставаться близкой к данной орбите? Сойдется ли он на заданную орбиту? В первом случае орбита называется устойчивой ; в последнем случае она называется асимптотически устойчивой, а заданная орбита - притягивающей .

Равновесным решением автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка называется: ${\ displaystyle f_ {e}}$

стабильно, если для каждого (малого) существует такое, что каждое решение, имеющее начальные условия в пределах расстояния, т.е. равновесия, остается в пределах расстояния, т.е. для всех . ${\ displaystyle \ epsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$ ${\ displaystyle f (t)}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ | е (t_ {0}) - f_ {e} \ | <\ delta}$ ${\ displaystyle \ epsilon}$ ${\ Displaystyle \ | е (т) -f_ {е} \ | <\ эпсилон}$ ${\ displaystyle t \ geq t_ {0}}$
асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и, кроме того, существует такое, что всякий раз, когда тогда как . ${\ displaystyle \ delta _ {0}> 0}$ ${\ displaystyle \ | е (t_ {0}) - f_ {e} \ | <\ delta _ {0}}$ ${\ displaystyle f (t) \ rightarrow f_ {e}}$ ${\ Displaystyle т \ rightarrow \ infty}$

Устойчивость означает, что траектории не слишком сильно меняются при малых возмущениях. Интересна и обратная ситуация, когда ближайшая орбита отталкивается от данной орбиты. В общем случае возмущение начального состояния в одних направлениях приводит к асимптотическому приближению траектории к заданной, а в других направлениях - к траектории, уходящей от нее. Также могут быть направления, для которых поведение возмущенной орбиты более сложно (ни сходится, ни уходит полностью), и тогда теория устойчивости не дает достаточной информации о динамике.

Одна из ключевых идей теории устойчивости состоит в том, что качественное поведение орбиты при возмущениях может быть проанализировано с помощью линеаризации системы вблизи орбиты. В частности, в каждом состоянии равновесия гладкой динамической системы с n- мерным фазовым пространством существует некоторая матрица A размера n × n , собственные значения которой характеризуют поведение соседних точек ( теорема Хартмана – Гробмана ). Точнее, если все собственные значения являются отрицательными действительными числами или комплексными числами с отрицательными действительными частями, то точка является устойчивой притягивающей неподвижной точкой, а соседние точки сходятся к ней с экспоненциальной скоростью, ср. Устойчивость по Ляпунову и экспоненциальная устойчивость . Если ни одно из собственных значений не является чисто мнимым (или нулевым), то направления притяжения и отталкивания связаны с собственными подпространствами матрицы A с собственными значениями, действительная часть которых отрицательна и, соответственно, положительна. Аналогичные утверждения известны для возмущений более сложных орбит.

Устойчивость неподвижных точек

Самый простой вид орбиты - это неподвижная точка или состояние равновесия. Если механическая система находится в устойчивом равновесном состоянии, то небольшой толчок приведет к локализованному движению, например, небольшим колебаниям, как в случае маятника . Более того, в системе с демпфированием устойчивое состояние равновесия асимптотически устойчиво. С другой стороны, для нестабильного равновесия, такого как шар, покоящийся на вершине холма, некоторые небольшие толчки приведут к движению с большой амплитудой, которое может или не может сходиться к исходному состоянию.

Есть полезные тесты устойчивости для случая линейной системы. Об устойчивости нелинейной системы часто можно судить по устойчивости ее линеаризации .

Карты

Пусть $f : R \to R$ - непрерывно дифференцируемая функция с фиксированной точкой $a$ , $f (a) = a$ . Рассмотрим динамическую систему, полученную повторением функции $f$ :

{\ displaystyle x_ {n + 1} = f (x_ {n}), \ quad n = 0,1,2, \ ldots.}

Фиксированная точка устойчиво , если абсолютное значение от производной от $F$ на строго меньше , чем 1, и неустойчиво , если оно строго больше 1. Это происходит потому , что вблизи точки $а$ , то функция $F$ имеет линейную аппроксимацию с наклоном $f '$ $($ $а$ $)$ :

{\ Displaystyle f (x) \ приблизительно f (a) + f '(a) (xa).}

Таким образом

{\ displaystyle x_ {n + 1} -x_ {n} = f (x_ {n}) - x_ {n} \ simeq f (a) + f '(a) (x_ {n} -a) -x_ { n} = a + f '(a) (x_ {n} -a) -x_ {n} = (f' (a) -1) (x_ {n} -a) \ to {\ frac {x_ {n +1} -x_ {n}} {x_ {n} -a}} = f '(a) -1}

что означает, что производная измеряет скорость, с которой последовательные итерации приближаются к фиксированной точке $a$ или отклоняются от нее. Если производная в точке $a$ равна точно 1 или -1, то для определения стабильности требуется больше информации.

Существует аналогичный критерий для непрерывно дифференцируемого отображения $f : R n \to R n$ с фиксированной точкой $a$ , выраженный через его матрицу Якоби в $a$ , $J a (f)$ . Если все собственные значения из $J$ действительные или комплексные числа с абсолютной величиной строго меньше 1 , то является устойчивой неподвижной точкой; если хотя бы один из них имеет абсолютное значение строго больше 1, то $a$ нестабильно. Как и для $n$ = 1, случай, когда наибольшее абсолютное значение равно 1, требует дальнейшего изучения - тест матрицы Якоби не дает результатов. Тот же критерий имеет место в более общем случае для диффеоморфизмов одного гладкого многообразия .

Линейные автономные системы

Устойчивость неподвижных точек системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами первого порядка может быть проанализирована с использованием собственных значений соответствующей матрицы.

Автономная система

{\ displaystyle x '= Ax,}

где $x (t) \in R n$ и $A$ - матрица размера $n \times n$ с вещественными элементами, имеет постоянное решение

{\ displaystyle x (t) = 0.}

(В другом языке, происхождение $0 \in R п$ является точкой равновесия соответствующей динамической системы.) Это решение асимптотически устойчиво при $т \to \infty$ ( «в будущем») , если и только если для всех собственных значений $А$ , из $А$ , $Re (λ) <0$ . Кроме того , она асимптотически устойчиво при $т \to -\infty$ ( «в прошлом») , если и только если для всех собственных значений $А$ из $А$ , $Ке (Л)> 0$ . Если существует собственное значение $λ$ из $А$ с $Re (Л)> 0$ , то решение неустойчиво при $т \to \infty$ .

Применение этого результата на практике для определения устойчивости начала координат линейной системы облегчается критерием устойчивости Рауса – Гурвица . Собственные значения матрицы - это корни ее характеристического многочлена . Многочлен от одной переменной с действительными коэффициентами называется многочленом Гурвица, если действительные части всех корней строго отрицательны. Теорема Рауса – Гурвица подразумевает характеризацию полиномов Гурвица с помощью алгоритма, который избегает вычисления корней.

Нелинейные автономные системы

Асимптотическую устойчивость неподвижных точек нелинейной системы часто можно установить с помощью теоремы Хартмана – Гробмана .

Предположим , что $V$ представляет собой $C 1$ - векторное поле в $R п$ , который обращается в нуль в точке $р$ , $V (р) = 0$ . Тогда соответствующая автономная система

{\ Displaystyle х '= v (х)}

имеет постоянное решение

{\ Displaystyle х (т) = р.}

Пусть $J p (v)$ - матрица Якоби размера $n \times n$ векторного поля $v$ в точке $p$ . Если все собственные значения $J$ имеют строго отрицательную действительную часть, то решение асимптотически устойчиво. Это условие можно проверить с помощью критерия Рауса – Гурвица .

Функция Ляпунова для общих динамических систем

Общий способ установить устойчивость по Ляпунову или асимптотическую устойчивость динамической системы - с помощью функций Ляпунова .

Смотрите также

внешняя ссылка

«Стабильные равновесия » Майкла Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .

Languages

In other projects