Теория устойчивости - Stability theory
В математике , теория устойчивости обращается к устойчивости решений дифференциальных уравнений и траекторий динамических систем при малых возмущениях начальных условий. Уравнение теплопроводности , например, является устойчивым уравнением в частных производных, потому что небольшие возмущения начальных данных приводят к небольшим изменениям температуры в более позднее время в результате принципа максимума . В уравнениях с частными производными можно измерять расстояния между функциями с помощью L p норм или sup нормы, в то время как в дифференциальной геометрии расстояние между пространствами можно измерять с помощью расстояния Громова – Хаусдорфа .
В динамических системах орбита называется устойчивой по Ляпунову, если прямая орбита любой точки находится в достаточно малой окрестности или остается в небольшой (но, возможно, большей) окрестности. Были разработаны различные критерии для доказательства устойчивости или нестабильности орбиты. При благоприятных обстоятельствах, вопрос может быть сведен к хорошо изученной проблеме с участием собственных из матриц . Более общий метод использует функции Ляпунова . На практике применяется любой из множества различных критериев устойчивости .
Обзор в динамических системах
Многие разделы качественной теории дифференциальных уравнений и динамических систем имеют дело с асимптотическими свойствами решений и траекторий - что происходит с системой по прошествии длительного периода времени. Простейший тип поведения демонстрируют точки равновесия , или неподвижные точки, и периодические орбиты . Если конкретная орбита хорошо изучена, естественно спросить, приведет ли небольшое изменение начального состояния к аналогичному поведению. Теория устойчивости решает следующие вопросы: будет ли ближайшая орбита бесконечно оставаться близкой к данной орбите? Сойдется ли он на заданную орбиту? В первом случае орбита называется устойчивой ; в последнем случае она называется асимптотически устойчивой, а заданная орбита - притягивающей .
Равновесным решением автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка называется:
- стабильно, если для каждого (малого) существует такое, что каждое решение, имеющее начальные условия в пределах расстояния, т.е. равновесия, остается в пределах расстояния, т.е. для всех .
- асимптотически устойчиво, если оно устойчиво и, кроме того, существует такое, что всякий раз, когда тогда как .
Устойчивость означает, что траектории не слишком сильно меняются при малых возмущениях. Интересна и обратная ситуация, когда ближайшая орбита отталкивается от данной орбиты. В общем случае возмущение начального состояния в одних направлениях приводит к асимптотическому приближению траектории к заданной, а в других направлениях - к траектории, уходящей от нее. Также могут быть направления, для которых поведение возмущенной орбиты более сложно (ни сходится, ни уходит полностью), и тогда теория устойчивости не дает достаточной информации о динамике.
Одна из ключевых идей теории устойчивости состоит в том, что качественное поведение орбиты при возмущениях может быть проанализировано с помощью линеаризации системы вблизи орбиты. В частности, в каждом состоянии равновесия гладкой динамической системы с n- мерным фазовым пространством существует некоторая матрица A размера n × n , собственные значения которой характеризуют поведение соседних точек ( теорема Хартмана – Гробмана ). Точнее, если все собственные значения являются отрицательными действительными числами или комплексными числами с отрицательными действительными частями, то точка является устойчивой притягивающей неподвижной точкой, а соседние точки сходятся к ней с экспоненциальной скоростью, ср. Устойчивость по Ляпунову и экспоненциальная устойчивость . Если ни одно из собственных значений не является чисто мнимым (или нулевым), то направления притяжения и отталкивания связаны с собственными подпространствами матрицы A с собственными значениями, действительная часть которых отрицательна и, соответственно, положительна. Аналогичные утверждения известны для возмущений более сложных орбит.
Устойчивость неподвижных точек
Самый простой вид орбиты - это неподвижная точка или состояние равновесия. Если механическая система находится в устойчивом равновесном состоянии, то небольшой толчок приведет к локализованному движению, например, небольшим колебаниям, как в случае маятника . Более того, в системе с демпфированием устойчивое состояние равновесия асимптотически устойчиво. С другой стороны, для нестабильного равновесия, такого как шар, покоящийся на вершине холма, некоторые небольшие толчки приведут к движению с большой амплитудой, которое может или не может сходиться к исходному состоянию.
Есть полезные тесты устойчивости для случая линейной системы. Об устойчивости нелинейной системы часто можно судить по устойчивости ее линеаризации .
Карты
Пусть f : R → R - непрерывно дифференцируемая функция с фиксированной точкой a , f ( a ) = a . Рассмотрим динамическую систему, полученную повторением функции f :
Фиксированная точка устойчиво , если абсолютное значение от производной от F на строго меньше , чем 1, и неустойчиво , если оно строго больше 1. Это происходит потому , что вблизи точки а , то функция F имеет линейную аппроксимацию с наклоном f ' ( а ) :
Таким образом
что означает, что производная измеряет скорость, с которой последовательные итерации приближаются к фиксированной точке a или отклоняются от нее. Если производная в точке a равна точно 1 или -1, то для определения стабильности требуется больше информации.
Существует аналогичный критерий для непрерывно дифференцируемого отображения f : R n → R n с фиксированной точкой a , выраженный через его матрицу Якоби в a , J a ( f ) . Если все собственные значения из J действительные или комплексные числа с абсолютной величиной строго меньше 1 , то является устойчивой неподвижной точкой; если хотя бы один из них имеет абсолютное значение строго больше 1, то a нестабильно. Как и для n = 1, случай, когда наибольшее абсолютное значение равно 1, требует дальнейшего изучения - тест матрицы Якоби не дает результатов. Тот же критерий имеет место в более общем случае для диффеоморфизмов одного гладкого многообразия .
Линейные автономные системы
Устойчивость неподвижных точек системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами первого порядка может быть проанализирована с использованием собственных значений соответствующей матрицы.
где x ( t ) ∈ R n и A - матрица размера n × n с вещественными элементами, имеет постоянное решение
(В другом языке, происхождение 0 ∈ R п является точкой равновесия соответствующей динамической системы.) Это решение асимптотически устойчиво при т → ∞ ( «в будущем») , если и только если для всех собственных значений А , из А , Re ( λ ) <0 . Кроме того , она асимптотически устойчиво при т → -∞ ( «в прошлом») , если и только если для всех собственных значений А из А , Ке ( Л )> 0 . Если существует собственное значение λ из А с Re ( Л )> 0 , то решение неустойчиво при т → ∞ .
Применение этого результата на практике для определения устойчивости начала координат линейной системы облегчается критерием устойчивости Рауса – Гурвица . Собственные значения матрицы - это корни ее характеристического многочлена . Многочлен от одной переменной с действительными коэффициентами называется многочленом Гурвица, если действительные части всех корней строго отрицательны. Теорема Рауса – Гурвица подразумевает характеризацию полиномов Гурвица с помощью алгоритма, который избегает вычисления корней.
Нелинейные автономные системы
Асимптотическую устойчивость неподвижных точек нелинейной системы часто можно установить с помощью теоремы Хартмана – Гробмана .
Предположим , что V представляет собой C 1 - векторное поле в R п , который обращается в нуль в точке р , V ( р ) = 0 . Тогда соответствующая автономная система
имеет постоянное решение
Пусть J p ( v ) - матрица Якоби размера n × n векторного поля v в точке p . Если все собственные значения J имеют строго отрицательную действительную часть, то решение асимптотически устойчиво. Это условие можно проверить с помощью критерия Рауса – Гурвица .
Функция Ляпунова для общих динамических систем
Общий способ установить устойчивость по Ляпунову или асимптотическую устойчивость динамической системы - с помощью функций Ляпунова .
Смотрите также
- Асимптотическая устойчивость
- Гиперстабильность
- Линейная устойчивость
- Орбитальная стабильность
- Критерий устойчивости
- Радиус устойчивости
- Структурная устойчивость
- анализ устойчивости фон Неймана
Рекомендации
- Филип Холмс и Эрик Т. Ши-Браун (ред.). «Стабильность» . Scholarpedia .
внешняя ссылка
- «Стабильные равновесия » Майкла Шрайбера, Демонстрационный проект Вольфрама .