Спектр теории - Spectrum of a theory

В теории моделей , одном из разделов математической логики , спектр теории задается числом классов изоморфизма моделей различной мощности. Точнее, для любой полной теории T языка мы пишем I ( T , α ) для количества моделей T (с точностью до изоморфизма) мощности α . Задача о спектре состоит в том, чтобы описать возможное поведение I ( T , α ) как функции от α . В случае счетной теории T она почти полностью решена .

Первые результаты

В этом разделе T - счетная полная теория, а κ - кардинал.

Теорема Лёвенгейма – Сколема показывает, что если I ( T , κ ) ненулевое значение для одного бесконечного кардинала, то оно отлично от нуля для всех из них.

Теорема Морли о категоричности была первым важным шагом в решении проблемы спектра: она утверждает, что если I ( T , κ ) равно 1 для некоторого несчетного κ, то оно равно 1 для всех несчетных κ .

Роберт Воот показал, что I ( T , ₀ ) не может быть 2. Легко найти примеры, когда это любое заданное неотрицательное целое, отличное от 2. Морли доказал, что если I ( T , ₀ ) бесконечно, то оно должно быть ℵ ₀ или ℵ ₁ или 2 ^{ℵ ₀} . Неизвестно, может ли оно быть _1, если гипотеза континуума неверна: это называется гипотезой Воота и является основной остающейся открытой проблемой (в 2005 г.) в теории спектра.

Проблема Морли была гипотезой (теперь теорема), впервые предложенной Майклом Д. Морли, что I ( T , κ ) не убывает по κ для несчетного κ . Это доказал Сахарон Шелах . Для этого он доказал очень глубокую теорему о дихотомии.

Сахарон Шелах дал почти полное решение проблемы спектра. Для заданной полной теории T , либо я ( Т , κ ) = 2 ^К , для всех несчетных кардиналов каппы , или для всех ординалами £ (См числа Алефа и числа Beth для объяснения обозначений), которая, как правило , значительно меньше , чем связаны в первом случае. Грубо говоря, это означает, что либо существует максимально возможное количество моделей во всех бесчисленных мощностях, либо существует только «несколько» моделей во всех бесчисленных мощностях. Шелах также дал описание возможных спектров в случае, когда моделей мало. ${\ displaystyle \ textstyle I (T, \ aleph _ {\ xi}) <\ beth _ {\ omega _ {1}} (| \ xi |)}$

Список возможных спектров счетной теории

Развивая работу Шелаха , Брэд Харт, Эхуд Грушовски и Майкл С. Ласковски дали следующее полное решение проблемы спектра для счетных теорий в несчетных мощностях. Если T - счетная полная теория, то число I ( T , ℵ _α ) классов изоморфизма моделей задается для ординалов α> 0 минимумом 2 ^{ℵ _α} и одним из следующих отображений:

1. 2 ^{ℵ _α} . Примеры: есть много примеров, в частности любая неклассифицируемая или глубокая теория, такая как теория случайного графа .
2. ${\ Displaystyle \ Бет _ {d + 1} (| \ альфа + \ омега |)}$для некоторого счетного бесконечного ординала d . (Для конечного d см. Случай 8.) Примеры: теория с отношениями эквивалентности E _β для всех β с β + 1 < d , такая, что каждый класс E _γ является объединением бесконечного числа классов E _β , а каждый класс E ₀ является бесконечно.
3. ${\ Displaystyle \ Бет _ {д-1} (| \ альфа + \ омега | ^ {2 ^ {\ Алеф _ {0}}})}$для некоторого конечного положительного ординала d . Пример (для d = 1): теория счетного числа независимых унарных предикатов.
4. ${\ displaystyle \ beth _ {d-1} (| \ alpha + \ omega | ^ {\ aleph _ {0}} + \ beth _ {2})}$для некоторого конечного положительного ординала d .
5. ${\ Displaystyle \ Бет _ {д-1} (| \ альфа + \ омега | + \ Бет _ {2})}$для некоторого конечного положительного ординала d ;
6. ${\ Displaystyle \ Бет _ {д-1} (| \ альфа + \ омега | ^ {\ Алеф _ {0}})}$для некоторого конечного положительного ординала d . Пример (для d = 1): теория счетного множества непересекающихся одноместных предикатов.
7. ${\ Displaystyle \ Бет _ {д-1} (| \ альфа + \ омега | + \ Бет _ {1})}$для некоторого конечного ординала d ≥2;
8. ${\ Displaystyle \ Бет _ {д-1} (| \ альфа + \ омега |)}$для некоторого конечного положительного ординала d ;
9. ${\ Displaystyle \ Бет _ {d-2} (| \ альфа + \ омега | ^ {| \ альфа +1 |})}$для некоторого конечного ординала d ≥2; Примеры: аналогично случаю 2.
10. ${\ displaystyle \ beth _ {2}}$. Пример: теория целых чисел как абелева группа.
11. ${\ Displaystyle | (\ альфа +1) ^ {п} / G | - | \ альфа ^ {п} / G |}$для конечного α и | α | для бесконечного α, где G - некоторая подгруппа симметрической группы на n ≥ 2 элементах. Здесь мы отождествляем α ⁿ с набором последовательностей длины n элементов набора размера α. G действует на α ⁿ , переставляя элементы последовательности, и | α ⁿ / G | обозначает количество орбит этого действия. Примеры: теория множества со × п действовал на по сплетению из G всех перестановок со.
12. ${\ displaystyle 1}$. Примеры: теории, категоричные в бесчисленных кардиналах, такие как теория алгебраически замкнутых полей в заданной характеристике.
13. ${\ displaystyle 0}$. Примеры: теории с конечной моделью и противоречивые теории.

Более того, все вышеперечисленные возможности возникают как спектр некоторой счетной полной теории.

Число d в приведенном выше списке обозначает глубину теории. Если T является теорией мы определим новую теорию 2 ^T быть теория с отношением эквивалентности , например , что существует бесконечное множество классов эквивалентности , каждый из которых является модель Т . Мы также определяем теории от , . Тогда . Это может быть использовано для построения примеров теорий со спектрами в приведенном выше списке для неминимальных значений d из примеров для минимального значения d . ${\ Displaystyle \ Бет _ {п} (Т)}$${\ displaystyle \ beth _ {0} (T) = T}$${\ displaystyle \ beth _ {n + 1} (T) = 2 ^ {\ beth _ {n} (T)}}$${\ displaystyle I (\ beth _ {n} (T), \ lambda) = \ min (\ beth _ {n} (I (T, \ lambda)), 2 ^ {\ lambda})}$

Смотрите также

• Спектр предложения

Ссылки

• Ч. К. Чанг , Х. Дж. Кейслер , Теория моделей . ISBN  0-7204-0692-7
• Сахарон Шелах , "Теория классификации и число неизоморфных моделей", Исследования по логике и основам математики , вып. 92, IX, 1.19, p.49 (Северная Голландия, 1990).
• Харт, Брэд; Грушовский, Эхуд; Ласковски, Майкл С. (2000). «Бесчисленные спектры счетных теорий». Анналы математики . 152 (1): 207–257. arXiv : математика / 0007199 . Bibcode : 2000math ...... 7199H . DOI : 10.2307 / 2661382 . JSTOR  2661382 .
• Брэдд Харт, Майкл С. Ласковски, «Обзор бесчисленных спектров счетных теорий», Теория алгебраических моделей , под редакцией Харта, Лахлана, Валериота (Springer, 1997). ISBN  0-7923-4666-1