Число Бет - Beth number
В математике числа бет - это определенная последовательность бесконечных количественных чисел , обычно записываемых , где - вторая буква иврита ( бет ). Числа beth связаны с числами aleph ( ), но могут быть числа, проиндексированные им , которые не проиндексированы .
Определение
Чтобы определить числа Beth, начните с того, что
- мощность любого счетно бесконечного множества ; для конкретности, возьмите набор из натуральных чисел , чтобы быть типичным случаем. Обозначим через P ( A ) на множестве мощности от А (т.е. множество всех подмножеств A ), то определить
которая является мощностью множества степеней A (если - мощностью A ).
Учитывая это определение,
соответственно мощности
так , что второе число Beth равно , то мощность континуума (имеет мощность множества из действительных чисел ) и третьего числа Beth является мощность множества мощности континуума.
По теореме Кантора каждое множество в предыдущей последовательности имеет мощность строго больше, чем предыдущее. Для бесконечных предельных ординалов λ, соответствующее число Бета, определяется как верхняя грань чисел Бета для всех ординалов, строго меньших, чем λ:
Можно также показать, что вселенные фон Неймана имеют мощность .
Отношение к числам алеф
Если исходить из выбранной аксиомы , бесконечные мощности линейно упорядочены ; никакие две мощности не могут быть сопоставимы. Таким образом, поскольку по определению между и нет бесконечных мощностей , отсюда следует, что
Повторение этого аргумента (см. Трансфинитную индукцию ) дает для всех ординалов .
Гипотеза континуума эквивалентна
Обобщенный континуум гипотеза говорит последовательность чисел Beth определенных таким образом такая же , как последовательность алеф чисел , то есть для всех порядковых .
Конкретные кардиналы
Бет нуль
Поскольку это определено как , или aleph null , множества с количеством элементов включают:
- что натуральные числа N
- рациональные числа Q
- что алгебраические числа
- в вычислимых числах и вычисляемые наборы
- множество конечных множеств из целых чисел
- множество конечных мультимножеств из целых чисел
- множество конечных последовательностей из целых чисел
Бет один
Наборы с количеством элементов включают:
- в числе трансцендентного
- что иррациональные числа
- действительные числа R
- комплексные числа C
- то невычислимое действительные числа
- Евклидово пространство R n
- силовой агрегат из натуральных чисел (множество всех подмножеств натуральных чисел)
- набор последовательностей целых чисел (т.е. все функции N → Z , часто обозначаемые Z N )
- набор последовательностей действительных чисел, R N
- множество всех действительных аналитических функций от R до R
- множество всех непрерывных функций от R до R
- множество конечных подмножеств действительных чисел
- множество всех аналитических функций от C до C ( голоморфные функции)
Бет два
(произносится как бет два ) также обозначается как 2 с (произносится как два в степени с ).
Наборы с количеством элементов включают:
- Булеан множества действительных чисел , так что число подмножеств в прямой или число множеств действительных чисел
- Множество степеней множества натуральных чисел
- Набор всех функций от R до R ( R R )
- Набор всех функций от R m до R n
- Набор мощности набора всех функций от набора натуральных чисел до самого себя, поэтому это количество наборов последовательностей натуральных чисел
- В Камне-Чех из R , Q и N
- Множество детерминированных фракталов в R n
Бет Омега
(произносится как бет омега ) - наименьший несчетный кардинал с сильным пределом .
Обобщение
Иногда используется более общий символ для ординалов α и кардиналов κ . Это определяется:
- если λ - предельный ординал.
Так
В теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) для любых кардиналов κ и μ существует порядковый номер α такой, что:
А в ZF для любого кардинала κ и ординалов α и β :
Следовательно, в ZF при отсутствии ur-элементов с выбранной аксиомой или без нее для любых кардиналов κ и μ выполняется равенство
выполняется для всех достаточно больших ординалов β. То есть существует ординал α такой, что равенство выполняется для любого ординала β ≥ α .
Это также справедливо в теории множеств Цермело – Френкеля с ur-элементами (с аксиомой выбора или без нее), при условии, что ur-элементы образуют множество, равное количеству чистому множеству (множество, транзитивное замыкание которого не содержит ur-элементов ). Если аксиома выбора верна, то любой набор ur-элементов равнозначен чистому набору.
Борелевская определенность
Детерминированность по Борелю подразумевается существованием всех значений счетного индекса.
Смотрите также
использованная литература
- ^ а б «Исчерпывающий список символов теории множеств» . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 5 сентября 2020 .
- ^ a b "числа" . planetmath.org . Проверено 5 сентября 2020 .
- ^ "Обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для детерминированных фракталов" . mdpi.com . Источник 2021-07-04 .
- ↑ Ленстер, Том (23 июля 2021 г.). «Решимость Бореля не требует замены» . Кафе n-категории . Техасский университет в Остине . Проверено 25 августа 2021 года .
Библиография
- TE Forster , теория множеств с универсальным набором: Изучение нетипизированной Вселенной , Oxford University Press , 1995 - номер Beth определяется на странице 5.
- Белл, Джон Лейн ; Сломсон, Алан Б. (2006) [1969]. Модели и ультрапродукты: введение (переиздание изд. 1974 г.). Dover Publications . ISBN 0-486-44979-3. См. Стр. 6 и 204–205 для получения более подробной информации.
- Ройтман, Джудит (2011). Введение в современную теорию множеств . Университет Содружества Вирджинии . ISBN 978-0-9824062-4-3. См. Стр. 109 для получения информации о числах.