Число Бет - Beth number

В математике числа бет - это определенная последовательность бесконечных количественных чисел , обычно записываемых , где - вторая буква иврита ( бет ). Числа beth связаны с числами aleph ( ), но могут быть числа, проиндексированные им , которые не проиндексированы .

Определение

Чтобы определить числа Beth, начните с того, что

- мощность любого счетно бесконечного множества ; для конкретности, возьмите набор из натуральных чисел , чтобы быть типичным случаем. Обозначим через P ( A ) на множестве мощности от А (т.е. множество всех подмножеств A ), то определить

которая является мощностью множества степеней A (если - мощностью A ).

Учитывая это определение,

соответственно мощности

так , что второе число Beth равно , то мощность континуума (имеет мощность множества из действительных чисел ) и третьего числа Beth является мощность множества мощности континуума.

По теореме Кантора каждое множество в предыдущей последовательности имеет мощность строго больше, чем предыдущее. Для бесконечных предельных ординалов λ, соответствующее число Бета, определяется как верхняя грань чисел Бета для всех ординалов, строго меньших, чем λ:

Можно также показать, что вселенные фон Неймана имеют мощность .

Отношение к числам алеф

Если исходить из выбранной аксиомы , бесконечные мощности линейно упорядочены ; никакие две мощности не могут быть сопоставимы. Таким образом, поскольку по определению между и нет бесконечных мощностей , отсюда следует, что

Повторение этого аргумента (см. Трансфинитную индукцию ) дает для всех ординалов .

Гипотеза континуума эквивалентна

Обобщенный континуум гипотеза говорит последовательность чисел Beth определенных таким образом такая же , как последовательность алеф чисел , то есть для всех порядковых .

Конкретные кардиналы

Бет нуль

Поскольку это определено как , или aleph null , множества с количеством элементов включают:

Бет один

Наборы с количеством элементов включают:

Бет два

(произносится как бет два ) также обозначается как 2 с (произносится как два в степени с ).

Наборы с количеством элементов включают:

  • Булеан множества действительных чисел , так что число подмножеств в прямой или число множеств действительных чисел
  • Множество степеней множества натуральных чисел
  • Набор всех функций от R до R ( R R )
  • Набор всех функций от R m до R n
  • Набор мощности набора всех функций от набора натуральных чисел до самого себя, поэтому это количество наборов последовательностей натуральных чисел
  • В Камне-Чех из R , Q и N
  • Множество детерминированных фракталов в R n

Бет Омега

(произносится как бет омега ) - наименьший несчетный кардинал с сильным пределом .

Обобщение

Иногда используется более общий символ для ординалов α и кардиналов κ . Это определяется:

если λ - предельный ординал.

Так

В теории множеств Цермело – Френкеля (ZF) для любых кардиналов κ и μ существует порядковый номер α такой, что:

А в ZF для любого кардинала κ и ординалов α и β :

Следовательно, в ZF при отсутствии ur-элементов с выбранной аксиомой или без нее для любых кардиналов κ и μ выполняется равенство

выполняется для всех достаточно больших ординалов β. То есть существует ординал α такой, что равенство выполняется для любого ординала βα .

Это также справедливо в теории множеств Цермело – Френкеля с ur-элементами (с аксиомой выбора или без нее), при условии, что ur-элементы образуют множество, равное количеству чистому множеству (множество, транзитивное замыкание которого не содержит ur-элементов ). Если аксиома выбора верна, то любой набор ur-элементов равнозначен чистому набору.

Борелевская определенность

Детерминированность по Борелю подразумевается существованием всех значений счетного индекса.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ а б «Исчерпывающий список символов теории множеств» . Математическое хранилище . 2020-04-11 . Проверено 5 сентября 2020 .
  2. ^ a b "числа" . planetmath.org . Проверено 5 сентября 2020 .
  3. ^ "Обобщение теоремы Хаусдорфа о размерности для детерминированных фракталов" . mdpi.com . Источник 2021-07-04 .
  4. Ленстер, Том (23 июля 2021 г.). «Решимость Бореля не требует замены» . Кафе n-категории . Техасский университет в Остине . Проверено 25 августа 2021 года .

Библиография