Сорт Шимура - Shimura variety

В теории чисел , А разнообразие Симуры является многомерным аналогом модульного кривым , которая возникает как фактор многообразие в виде эрмитового симметричного пространства с помощью конгруэнцподгруппы в виде восстановительной алгебраической группы , определенной над Q . Многообразия Шимуры не являются алгебраическими многообразиями, но представляют собой семейства алгебраических многообразий. Кривые Симура - это одномерные разновидности Симуры. Модульные поверхности Гильберта и модульные многообразия Зигеля являются одними из наиболее известных классов многообразий Шимуры.

Особые примеры многообразий Шимура были первоначально введены Горо Шимурой в ходе его обобщения теории комплексного умножения . Шимура показал, что изначально определенные аналитически, они являются арифметическими объектами в том смысле, что они допускают модели, определенные над числовым полем , рефлекторным полем многообразия Шимура. В 1970-х Пьер Делинь создал аксиоматическую основу для творчества Шимуры. В 1979 году Роберт Лэнглендс заметил, что многообразия Шимуры образуют естественную область примеров, на которых может быть проверена эквивалентность мотивных и автоморфных L- функций, постулируемых программой Ленглендса . Автоморфные формы, реализованные в когомологиях многообразия Шимуры, более поддаются изучению, чем общие автоморфные формы; в частности, существует конструкция, прикрепляющая к ним представления Галуа .

Определение

Данные Шимура

Пусть S = Res C / R G m - ограничение Вейля мультипликативной группы с комплексных чисел на действительные числа . Это вещественная алгебраическая группа , группа R- точек S ( R ) которой есть C *, а группа C- точек - C * × C * . Симура точка привязка является парой ( G , X ) , состоящий из (подключенной) восстановительной алгебраической группы G , определенная над полем Q из рациональных чисел и А G ( R ) - сопряженный класс X из гомоморфизмов ч : S → G R , удовлетворяющая следующие аксиомы:

  • Для любого h в X только веса (0,0), (1, −1), (−1,1) могут встречаться в g C , т. Е. Комплексифицированная алгебра Ли группы G разлагается в прямую сумму
где для любого г ∈ S , ч ( г ) действует тривиально на первое слагаемое и через (соответственно ) на второй (соответственно, третий) слагаемого.
  • Присоединенное действие ч ( я ) индуцирует инволюцию картановскую на присоединенной группы G R .
  • Присоединенная группа группы G R не допускает фактора H, определенного над Q, такого, что проекция h на H тривиальна.

Из этих аксиом следует, что X имеет единственную структуру комплексного многообразия (возможно, несвязного) такую, что для любого представления ρ : G R → GL ( V ) семейство ( V ,  ρ  ⋅  h ) является голоморфным семейством Ходжа конструкции ; более того, он образует вариацию структуры Ходжа, а X - конечное дизъюнктное объединение эрмитовых симметрических областей .

Сорт Шимура

Пусть ƒ будет кольцо конечных аделей из Q . Для любой достаточно малой компактной открытой подгруппы K группы G ( A ƒ ) двойное смежное пространство

конечное дизъюнктное объединение локально симметричных многообразий вида , где верхний индекс плюс указывает компонент связности . Сорта Ш. K ( G , X ) являются комплексными алгебраическими многообразиями и они образуют обратную систему по всем достаточно малым компактным открытым подгруппам K . Эта обратная система

допускает естественное правое действие группы G ( A ƒ ). Это называется многообразием Шимура, связанным с данным Шимура ( G , X ), и обозначается Sh ( G , X ).

История

Для специальных типов эрмитовых симметрических областей и конгруэнцподгрупп Г , алгебраические многообразия вида Г \ X = Sh K ( G , X ) и их компактификаций были введены в ряде работ Горо Шимурой в течение 1960 - х годов. Подход Шимуры, позже представленный в его монографии, был в значительной степени феноменологическим, преследовавшим самые широкие обобщения формулировки закона взаимности в сложной теории умножения . Оглядываясь назад, название «разновидность Шимура» было введено Делинем , который продолжил изолировать абстрактные особенности, которые сыграли роль в теории Шимуры. В формулировке Делиня многообразия Шимуры - это пространства параметров некоторых типов структур Ходжа . Таким образом , они образуют естественное Многомерное обобщение модулярных кривых , рассматриваемых как пространства модулей из эллиптических кривых со структурой уровня. Во многих случаях также идентифицируются проблемы модулей, решениями которых являются многообразия Шимуры.

Примеры

Пусть F вполне вещественное поле и D кватернионов алгебра с делением над F . Мультипликативная группа D × порождает каноническое многообразие Шимуры. Его размерность d - это количество бесконечных мест, на которые разбивается D. В частности, если d = 1 (например, если F = Q и D ⊗ R ≅ M 2 ( R )), фиксируя достаточно малую арифметическую подгруппу в D × , получается кривая Шимуры, и кривые, возникающие из этой конструкции, являются уже компактный (т.е. проективный ).

Некоторые примеры кривых Шимуры с явно известными уравнениями даются кривыми Гурвица низкого рода:

и кривой Ферма степени 7.

Другие примеры многообразий Шимуров включают Picard модульных поверхностей и Гильберт модульной поверхности , также известный как разновидности Гильберта-Блюменталь.

Канонические модели и особенности

Каждое многообразие Шимуры можно определить над каноническим числовым полем E, называемым полем рефлексов . Этот важный результат Шимуры показывает, что многообразия Шимуры, которые априори являются только комплексными многообразиями, имеют алгебраическое поле определения и, следовательно, арифметическое значение. Это является отправной точкой в ​​его формулировке закона взаимности, где важную роль играют некоторые арифметически определенные особые точки .

Качественный характер замыкания Зарисского множеств особых точек на многообразии Шимуры описывается гипотезой Андре – Оорта . По этой гипотезе получены условные результаты, предполагающие обобщенную гипотезу Римана .

Роль в программе Langlands

Сорта шимура играют выдающуюся роль в программе Langlands . Из прототипной теоремы, соотношения сравнения Эйхлера – Шимуры , следует, что дзета-функция Хассе – Вейля модулярной кривой является произведением L-функций, связанных с явно определенными модулярными формами веса 2. Действительно, это было в процессе обобщения Эта теорема о том, что Горо Шимура представил свои разновидности и доказал свой закон взаимности. Дзета-функции многообразий Шимуры, связанных с группой GL 2 над другими числовыми полями и ее внутренними формами (то есть мультипликативными группами алгебр кватернионов), изучались Эйхлером, Шимурой, Куга, Сато и Ихара. На основе их результатов Роберт Ленглендс предсказал, что дзета-функция Хассе-Вейля любого алгебраического многообразия W, определенного над числовым полем, будет произведением положительных и отрицательных степеней автоморфных L-функций, т. Е. Должна возникать из коллекция автоморфных представлений . Как бы философски ни было естественно ожидать такого описания, утверждения этого типа были доказаны только тогда, когда W является разновидностью Шимуры. По словам Ленглендса:

Показать, что все L-функции, связанные с многообразиями Шимуры - а значит, с любым мотивом, определяемым многообразием Шимуры - могут быть выражены в терминах автоморфных L-функций [его статьи 1970 года], - это слабее, даже намного слабее, чем в показать, что все мотивные L-функции равны таким L-функциям. Более того, хотя ожидается, что более сильное утверждение будет достоверным, насколько мне известно, нет очень веских причин ожидать, что все мотивирующие L-функции будут присоединены к разновидностям Симура.

Примечания

Рекомендации