Модульное разнообразие Siegel - Siegel modular variety
В математике модульное многообразие Зигеля или пространство модулей Зигеля - это алгебраическое многообразие , параметризующее определенные типы абелевых многообразий фиксированной размерности . Точнее, Siegel модульные сорта являются пространством модулей из главно поляризованных абелевых многообразий фиксированного размера. Они названы в честь Карла Людвига Сигеля , немецкого теоретика чисел 20-го века, который представил эти сорта в 1943 году.
Модульные разновидности Siegel - самые основные примеры разновидностей Shimura . Модульные многообразия Зигеля обобщают пространства модулей эллиптических кривых на более высокие измерения и играют центральную роль в теории модулярных форм Зигеля , которые обобщают классические модулярные формы на более высокие измерения. У них также есть приложения к энтропии черной дыры и конформной теории поля .
Строительство
Сигел модульного разнообразия г , который в основном параметризует поляризованный абелевые многообразия размерности г , может быть построен как комплексные аналитическими пространства , построенных как частное от Siegel верхнего полупространства степени г по действию симплектической группы . Сложные аналитические пространства естественным образом связаны алгебраические многообразия по Серра «S GAGA .
Модулярное многообразие Зигеля A g ( n ), которое параметризует принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности g с n -структурой уровня , возникает как фактор верхнего полупространства Зигеля по действию главной конгруэнтной подгруппы уровня n объекта a. симплектическая группа.
Модульное многообразие Зигеля также может быть построено как многообразие Шимуры, определенное данными Шимуры, связанными с симплектическим векторным пространством .
Характеристики
Модульное многообразие Зигеля A g имеет размерность g ( g + 1) / 2. Кроме того, Юнг-Шенг Тай, Эберхард Фрейтаг и Дэвид Мамфорд показали, что A g имеет общий тип при g ≥ 7.
Модулярные многообразия Зигеля можно компактифицировать для получения проективных многообразий . В частности, компактификацией A 2 (2) является бирационально к Сегре кубической который фактически рациональным . Точно так же компактификация A 2 (3) бирационально эквивалентна квартике Буркхардта, которая также рациональна. Другое модульное многообразие Зигеля, обозначенное A 1,3 (2), имеет компактификацию, которая бирационально эквивалентна квинтике Барта – Ньето, которая бирационально эквивалентна модулярному многообразию Калаби – Яу с размерностью Кодаира нуль.
Приложения
Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля. Модулярные многообразия Зигеля использовались в конформной теории поля через теорию модулярных форм Зигеля. В теории струн функция, которая естественным образом фиксирует микросостояния энтропии черной дыры в системе суперсимметричных черных дыр D1D5P, является модульной формой Зигеля.
В 1968 году Алексей Паршин показал, что гипотеза Морделла (теперь известная как теорема Фальтингса) будет верна, если гипотеза Шафаревича о конечности верна, путем введения трюка Паршина. В 1983 и 1984 годах Герд Фалтингс завершил доказательство гипотезы Морделла, доказав гипотезу Шафаревича о конечности. Основная идея доказательства Фальтингса - это сравнение высот Фальтингса и наивных высот с помощью модульных разновидностей Зигеля.