Сорт Севери – Брауэра - Severi–Brauer variety
В математике , А многообразие Севери-Брауэра над полем К является алгебраическим многообразием V , которое становится изоморфной в проективное пространство над алгебраическим замыканием из K . Сорта связаны с центральными простыми алгебрами таким образом , что алгебра расщепляется над K тогда и только тогда , когда многообразие имеет точку рациональную над K . Франческо Севери ( 1932 ) изучал эти разновидности, и они также названы в честь Ричарда Брауэра из-за их тесной связи с группой Брауэра .
В размерности один многообразия Севери – Брауэра являются кониками . Соответствующие центральные простые алгебры являются кватернионными алгебрами . Алгебре ( a , b ) K соответствует коника C ( a , b ) с уравнением
и алгебра ( a , b ) K расщепляется , то есть ( a , b ) K изоморфна матричной алгебре над K , тогда и только тогда, когда C ( a , b ) имеет точку, определенную над K : это, в свою очередь, эквивалентно C ( , б ) быть изоморфна проективной прямой над K .
Такие многообразия представляют интерес не только для диофантовой геометрии , но и для когомологий Галуа . Они представляют собой (по крайней мере , если K является совершенным полем ) классы Галуа когомологий в H 1 ( PGL п ), где ПГЛ п является проективной линейной группой , а п есть размерность многообразия V . Есть короткая точная последовательность
- 1 → GL 1 → GL n → PGL n → 1
из алгебраических групп . Отсюда следует связующий гомоморфизм
- H 1 ( PGL n ) → H 2 ( GL 1 )
на уровне когомологий. Здесь Н 2 ( GL 1 ) идентифицируется с группой Брауэра из К , в то время как ядро тривиально , потому что H 1 ( GL п ) = {1} с расширением Гильберта теоремы 90 . Следовательно, многообразия Севери – Брауэра могут быть точно представлены элементами группы Брауэра, т.е. классами центральных простых алгебр .
Лихтенбаум показал, что если X - многообразие Севери – Брауэра над K, то существует точная последовательность
Здесь отображение δ 1 посылает к классу Брауэра , соответствующего X .
Как следствие, мы видим, что если класс X имеет порядок d в группе Брауэра, то на X существует класс дивизоров степени d . Связанная линейная система определяет d - мерное вложение X над полем разложения L .
Смотрите также
Запись
Рекомендации
- Артин, Майкл (1982), "Многообразия Брауэра-Севери", группы Брауэра в теории колец и алгебраической геометрии (Wilrijk, 1981) , Lecture Notes in Math., 917 , Notes by A. Verschoren, Berlin, New York: Springer-Verlag ., стр 194-210, DOI : 10.1007 / BFb0092235 , ISBN 978-3-540-11216-7 , Руководство по ремонту 0657430 , Zbl 0536.14006
- «Многообразие Брауэра – Севери» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Жиль, Филипп; Самуэли, Тамаш (2006), «Многообразия Севери – Брауэра» , Центральные простые алгебры и когомологии Галуа , Кембриджские исследования по высшей математике, 101 , Cambridge University Press , стр. 114–134, ISBN 0-521-86103-9 , Руководство по ремонту 2266528 , Zbl 1137.12001
- Джейкобсон, Натан (1996), Конечномерные алгебры с делением над полями , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 3-540-57029-2 , Zbl 0874,16002
- Солтман, Дэвид Дж. (1999), Лекции по алгебрам с делением , Серия региональных конференций по математике, 94 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0979-2 , Zbl 0934,16013
- Севери, Франческо (1932), "Un nuovo campo di ricerche nella geometria sopra una superficie e sopra una varietà algebrica", Memorie della Reale Accademia d'Italia (на итальянском языке), 3 (5), перепечатано в томе 3 его собрания сочинений
дальнейшее чтение
- Кнус, Макс-Альберт; Меркурьев Александр ; Рост, Маркус ; Тиньоль, Жан-Пьер (1998), Книга инволюций , Colloquium Publications, 44 , с предисловием Дж. Титса, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0904-0 , Руководство по ремонту 1632779 , Zbl 0955.16001