Теорема о рациональном корне - Rational root theorem

В алгебре , по теореме рациональной корневой (или рациональный корень теста , рациональной нулевой теоремы , рациональный нулевой тест или р / д теорема ) утверждает , ограничение на рациональных решений одного полиномиального уравнения

${\ displaystyle a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} = 0}$

с целыми коэффициентами и . Решения уравнения также называют корнями или нулями многочлена в левой части. ${\ displaystyle a_ {i} \ in \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle a_ {0}, a_ {n} \ neq 0}$

Теорема утверждает , что каждый рациональное решение х  =  ^р / _д , написанный в низких условиях , так что р и д является взаимно простыми , удовлетворяет:

• р представляет собой целое число фактор от постоянного члена ₀ , и

• q - целочисленный множитель старшего коэффициента a _n .

Теорема о рациональном корне является частным случаем (для одного линейного множителя) леммы Гаусса о факторизации многочленов. Интегральная теорема корня является частным случаем теоремы рационального корня , когда старший коэффициент  _п  = 1 .

Заявление

Теорема используется для нахождения всех рациональных корней многочлена, если таковые имеются. Он дает конечное число возможных дробей, которые можно проверить, чтобы увидеть, являются ли они корнями. Если рациональный корень x = r найден, линейный многочлен ( x - r ) может быть выделен из многочлена с помощью полиномиального деления в длину , в результате чего получится многочлен более низкой степени, корни которого также являются корнями исходного многочлена.

Кубическое уравнение

Общее кубическое уравнение

${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$

с целыми коэффициентами имеет три решения в комплексной плоскости . Если проверка рационального корня не находит рациональных решений, то единственный способ выразить решения алгебраически - использовать кубические корни . Но если тест находит рациональное решение г , то факторизуя ( х - R ) оставляет квадратичный полином которого два корня, найденный с квадратичной формулой , являются оставшимися два корнем кубического, избегая кубические корни.

Доказательства

Элементарное доказательство

Пусть с ${\ Displaystyle P (x) \ = \ a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots a_ {n} \ in \ mathbb {Z}.}$

Предположим, что P ( p / q ) = 0 для некоторых взаимно простых p , q ∈ ℤ :

${\ displaystyle P \ left ({\ tfrac {p} {q}} \ right) = a_ {n} \ left ({\ tfrac {p} {q}} \ right) ^ {n} + a_ {n- 1} \ left ({\ tfrac {p} {q}} \ right) ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} \ left ({\ tfrac {p} {q}} \ right) + a_ {0} = 0.}$

Чтобы очистить знаменатели, умножьте обе части на q ⁿ :

${\ displaystyle a_ {n} p ^ {n} + a_ {n-1} p ^ {n-1} q + \ cdots + a_ {1} pq ^ {n-1} + a_ {0} q ^ {n } = 0.}$

Сдвиг члена a ₀ вправо и вычитание p из левой части дает:

${\ displaystyle p \ left (a_ {n} p ^ {n-1} + a_ {n-1} qp ^ {n-2} + \ cdots + a_ {1} q ^ {n-1} \ right) = -a_ {0} q ^ {n}.}$

Таким образом, p делит a ₀ q ⁿ . Но p взаимно прост с q и, следовательно, с q ⁿ , поэтому по лемме Евклида p должен делить оставшийся множитель a ₀ .

С другой стороны, сдвиг члена a _n вправо и вычитание q на левую сторону дает:

${\ displaystyle q \ left (a_ {n-1} p ^ {n-1} + a_ {n-2} qp ^ {n-2} + \ cdots + a_ {0} q ^ {n-1} \ справа) = - a_ {n} p ^ {n}.}$

Рассуждая, как и раньше, следует, что q делит a _n .

Доказательство с использованием леммы Гаусса

Если существует нетривиальный множитель, делящий все коэффициенты многочлена, то можно разделить на наибольший общий делитель коэффициентов так, чтобы получить примитивный многочлен в смысле леммы Гаусса ; это не меняет набор рациональных корней, а только усиливает условия делимости. Эта лемма говорит, что если полином множится в Q [ X ] , то он также множится в Z [ X ] как произведение примитивных полиномов. Теперь любой рациональный корень p / q соответствует множителю степени 1 в Q [ X ] многочлена, и тогда его примитивным представителем будет qx - p , если предположить, что p и q взаимно просты. Но любые кратный в Z [ X ] из ого - р имеет главный член , делящийся на д и постоянным слагаемое , делящийся на р , что и доказывает утверждение. Это рассуждение показывает , что в более общем случае , любой неприводимый фактор Р может быть , как предполагается, имеют целые коэффициенты, и ведущие и постоянные коэффициенты , разделяющие соответствующие коэффициенты  P .

Примеры

Первый

В полиноме

${\ displaystyle 2x ^ {3} + x-1,}$

любой полностью приведенный рациональный корень должен иметь числитель, который делится равномерно на 1, и знаменатель, который делится равномерно на 2. Следовательно, единственными возможными рациональными корнями являются ± 1/2 и ± 1; так как ни один из них не приравнивает многочлен к нулю, он не имеет рациональных корней.

Второй

В полиноме

${\ displaystyle x ^ {3} -7x + 6}$

единственные возможные рациональные корни будут иметь числитель, который делит 6, и знаменатель, который делит 1, ограничивая возможности до ± 1, ± 2, ± 3 и ± 6. Из них 1, 2 и –3 приравнивают многочлен к нулю и, следовательно, являются его рациональными корнями. (Фактически, это его единственные корни, поскольку кубика имеет только три корня; в общем случае многочлен может иметь некоторые рациональные и некоторые иррациональные корни.)

В третьих

Каждый рациональный корень многочлена

${\ displaystyle 3x ^ {3} -5x ^ {2} + 5x-2}$

должен быть среди чисел, символически обозначенных:

${\ displaystyle \ pm {\ tfrac {1,2} {1,3}} = \ pm \ left \ {1,2, {\ tfrac {1} {3}}, {\ tfrac {2} {3} }\верно\}.}$

Эти 8 корневых кандидатов x = r можно проверить, оценив P ( r ) , например, с помощью метода Хорнера . Оказывается, есть ровно один, у которого P ( r ) = 0 .

Этот процесс можно сделать более эффективным: если P ( r ) ≠ 0 , его можно использовать для сокращения списка оставшихся кандидатов. Например, x = 1 не работает, так как P (1) = 1 . Подстановка x = 1 + t дает многочлен от  t с постоянным членом P (1) = 1 , в то время как коэффициент при t ³ остается таким же, как коэффициент при x ³ . Таким образом, применение теоремы о рациональном корне дает возможные корни , так что ${\ displaystyle t = \ pm {\ tfrac {1} {1,3}}}$

${\ displaystyle x = 1 + t = 2,0, {\ tfrac {4} {3}}, {\ tfrac {2} {3}}.}$

Истинные корни должны встречаться в обоих списках, поэтому список кандидатов на рациональные корни сократился до x = 2 и x = 2/3 .

Если найдено k ≥ 1 рациональных корней, метод Хорнера также даст многочлен степени n - k , корни которого вместе с рациональными корнями являются в точности корнями исходного многочлена. Если ни один из кандидатов не является решением, рационального решения быть не может.

Смотрите также

• Целостный закрытый домен
• Правило знаков Декарта
• Теорема Гаусса – Лукаса
• Свойства полиномиальных корней
• Содержание (алгебра)
• Критерий Эйзенштейна

Заметки

Рекомендации

• Чарльз Д. Миллер, Маргарет Л. Лиал, Дэвид И. Шнайдер: основы студенческой алгебры . Scott & Foresman / Little & Brown Higher Education, 3-е издание 1990 г., ISBN   0-673-38638-4 , стр. 216–221
• Филип С. Джонс, Джек Д. Бедент: Исторические корни элементарной математики . Dover Courier Publications 1998, ISBN   0-486-25563-8 , стр. 116–117 ( онлайн-копия , стр. 116, в Google Книгах )
• Рон Ларсон: Исчисление: прикладной подход . Cengage Learning 2007, ISBN   978-0-618-95825-2 , стр. 23–24 ( онлайн-копия , стр. 23, в Google Книгах )

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о рациональном нуле» . MathWorld .
• RationalRootTheorem в PlanetMath
• Еще одно доказательство того, что корни n- ^{й степени} из целых чисел иррациональны, за исключением совершенных n-й степени , Скотт Э. Броди
• Тест рациональных корней на purplemath.com