Алгебраическое уравнение -Algebraic equation

В математике алгебраическое уравнение или полиномиальное уравнение представляет собой уравнение вида

{\ Displaystyle Р = 0}

где P — полином с коэффициентами в некотором поле , часто поле рациональных чисел . Для многих авторов термин алгебраическое уравнение относится только к одномерным уравнениям , то есть полиномиальным уравнениям, которые включают только одну переменную . С другой стороны, полиномиальное уравнение может включать несколько переменных. В случае нескольких переменных ( многомерный случай) термин полиномиальное уравнение обычно предпочтительнее алгебраического уравнения .

Например,

{\ Displaystyle х ^ {5} -3x + 1 = 0}

представляет собой алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами и

{\ Displaystyle у ^ {4} + {\ гидроразрыва {ху} {2}} - {\ гидроразрыва {х ^ {3}} {3}} + ху ^ {2} + у ^ {2} + {\ гидроразрыва {1}{7}}=0}

является многомерным полиномиальным уравнением над рациональными числами.

Некоторые, но не все полиномиальные уравнения с рациональными коэффициентами имеют решение, представляющее собой алгебраическое выражение , которое может быть найдено с помощью конечного числа операций, включающих только те же самые типы коэффициентов (то есть может быть решено алгебраически ). Это можно сделать для всех таких уравнений первой , второй, третьей или четвертой степени ; но для пятой или более степени это можно сделать только для некоторых уравнений, а не для всех . Большое количество исследований было посвящено вычислению эффективных и точных приближений действительных или комплексных решений одномерного алгебраического уравнения (см. Алгоритм поиска корня ) и общих решений нескольких многомерных полиномиальных уравнений (см. Система полиномиальных уравнений ).

Терминология

Термин «алгебраическое уравнение» восходит к тому времени, когда основной проблемой алгебры было решение одномерных полиномиальных уравнений. Эта проблема была полностью решена в 19 веке; см. Фундаментальную теорему алгебры , теорему Абеля – Руффини и теорию Галуа .

С тех пор возможности алгебры резко расширились. В частности, он включает в себя изучение уравнений, содержащих $n$ -й корень , и, в более общем смысле, алгебраических выражений . Это делает термин алгебраическое уравнение неоднозначным вне контекста старой проблемы. Таким образом, термин полиномиальное уравнение обычно предпочтительнее, когда может возникнуть эта неоднозначность, особенно при рассмотрении многомерных уравнений.

История

Изучение алгебраических уравнений, вероятно, так же старо, как и математика: вавилонские математики уже в 2000 г. до н.э. могли решать некоторые виды квадратных уравнений (изображенных на древневавилонских глиняных табличках ).

Одномерные алгебраические уравнения над рациональными числами (т. е. с рациональными коэффициентами) имеют очень долгую историю. Древние математики хотели решения в виде подкоренных выражений , как для положительного решения . Древние египтяне знали, как решать уравнения степени 2 таким образом. Индийский математик Брахмагупта (597–668 гг. Н.э.) подробно описал квадратичную формулу в своем трактате «Брахмаспхутасиддханта», опубликованном в 628 г. н.э., но написанном словами, а не символами. В 9 веке Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми и другие исламские математики вывели квадратичную формулу , общее решение уравнений степени 2, и признали важность дискриминанта . В эпоху Возрождения в 1545 году Джероламо Кардано опубликовал решение Сципионе дель Ферро и Никколо Фонтана Тартальи для уравнений степени 3 и решение Лодовико Феррари для уравнений степени 4 . Наконец Нильс Хенрик Абель доказал в 1824 году, что уравнения степени 5 и выше не имеют общих решений с использованием радикалов. Теория Галуа , названная в честь Эвариста Галуа , показала, что некоторые уравнения по крайней мере степени 5 даже не имеют идиосинкразического решения в радикалах, и дала критерии для принятия решения о том, действительно ли уравнение разрешимо с использованием радикалов. ${\ displaystyle x = {\ frac {1 + {\ sqrt {5}}} {2}}}$ ${\ Displaystyle х ^ {2} -x-1 = 0}$

Области исследования

Алгебраические уравнения лежат в основе ряда областей современной математики: Алгебраическая теория чисел — это изучение (одномерных) алгебраических уравнений над рациональными числами (то есть с рациональными коэффициентами). Теория Галуа была введена Эваристом Галуа , чтобы указать критерии для принятия решения о том, можно ли решить алгебраическое уравнение в терминах радикалов. В теории поля алгебраическое расширение — это такое расширение, при котором каждый элемент является корнем алгебраического уравнения над базовым полем. Трансцендентальная теория чисел — это изучение действительных чисел, которые не являются решениями алгебраического уравнения над рациональными числами. Диофантово уравнение - это (обычно многомерное) полиномиальное уравнение с целыми коэффициентами, для которого интересуют целые решения. Алгебраическая геометрия - это изучение решений в алгебраически замкнутом поле многомерных полиномиальных уравнений.

Два уравнения эквивалентны, если они имеют один и тот же набор решений . В частности уравнение эквивалентно . Отсюда следует, что изучение алгебраических уравнений эквивалентно изучению многочленов. ${\ Displaystyle Р = Q}$ ${\ Displaystyle PQ = 0}$

Полиномиальное уравнение над рациональными числами всегда можно преобразовать в эквивалентное, в котором коэффициенты являются целыми числами . Например, умножая на 42 = 2 · 3 · 7 и группируя его члены в первом члене, ранее упомянутое полиномиальное уравнение становится ${\ displaystyle y ^ {4} + {\ frac {xy} {2}} = {\ frac {x ^ {3}} {3}} -xy ^ {2} + y ^ {2} - {\ frac {1}{7}}}$

{\ displaystyle 42y ^ {4} + 21xy-14x ^ {3} + 42xy ^ {2} -42y ^ {2} + 6 = 0.}

Поскольку синус , возведение в степень и 1/ T не являются полиномиальными функциями,

{\ displaystyle e ^ {T} x ^ {2} + {\ frac {1} {T}} xy + \ sin (T) z-2 = 0}

не является полиномиальным уравнением от четырех переменных x , y , z и T над рациональными числами. Однако это полиномиальное уравнение от трех переменных x , y , и z над полем элементарных функций от переменной T .

Теория

Полиномы

Дано уравнение с неизвестным $x$

{\ displaystyle (\ mathrm {E}) \ qquad a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ dots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

,

с коэффициентами в поле $K$ , можно эквивалентно сказать, что решения уравнения (E) в $K$ являются корнями в $K$ многочлена

{\ displaystyle P = a_ {n} X ^ {n} + a_ {n-1} X ^ {n-1} + \ dots + a_ {1} X + a_ {0} \ quad \ in K [X] }

.

Можно показать, что многочлен степени $n$ в поле имеет не более $n$ корней. Таким образом, уравнение (E) имеет не более $n$ решений.

Если $K'$ является расширением поля K $,$ можно рассматривать (E) как уравнение с коэффициентами в $K$ и решения (E) в $K$ также являются решениями в $K'$ (обратное, вообще говоря, неверно). Всегда можно найти расширение поля $K$ , известное как поле разрыва полинома $P$ , в котором (E) имеет по крайней мере одно решение.

Существование решений реальных и комплексных уравнений

Основная теорема алгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть все полиномиальные уравнения с комплексными коэффициентами и степенью не ниже единицы имеют решение.

Отсюда следует, что все полиномиальные уравнения степени 1 и выше с действительными коэффициентами имеют комплексное решение. С другой стороны, такое уравнение, как не имеет решения в (решениями являются мнимые единицы $i$ и $-i$ ). ${\ Displaystyle х ^ {2} +1 = 0}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

В то время как реальные решения реальных уравнений интуитивно понятны (они представляют собой $x$ - координаты точек, где кривая $y = P (x)$ пересекает ось $x$ ), существование сложных решений реальных уравнений может быть удивительным и трудным для понимания . визуализировать.

Однако унитарный многочлен нечетной степени обязательно должен иметь действительный корень. Соответствующая полиномиальная функция от x $непрерывна$ и приближается по мере приближения $x$ и по мере приближения $x$ к . Следовательно, по теореме о промежуточном значении он должен принимать нулевое значение при некотором действительном $x$ , которое тогда является решением полиномиального уравнения. ${\ Displaystyle - \ infty}$ ${\ Displaystyle - \ infty}$ ${\ Displaystyle + \ infty}$ ${\ Displaystyle + \ infty}$

Связь с теорией Галуа

Существуют формулы, дающие решения вещественных или комплексных многочленов степени меньше или равной четырем в зависимости от их коэффициентов. Абель показал, что найти такую формулу вообще невозможно (используя только четыре арифметических действия и вывод корней) для уравнений пятой степени и выше. Теория Галуа дает критерий, позволяющий определить, можно ли выразить решение данного полиномиального уравнения с помощью радикалов.

Явное решение численных уравнений

Подход

Явное решение вещественного или комплексного уравнения степени 1 тривиально. Решение уравнения более высокой степени $n$ сводится к разложению связанного полинома на множители, т. е. к переписыванию (E) в виде

{\ Displaystyle а_ {п} (х-z_ {1}) \ точки (х-z_ {п}) = 0}

,

где решения, то . Тогда проблема состоит в том, чтобы выразить в терминах . ${\ Displaystyle z_ {1}, \ точки, z_ {п}}$ ${\ Displaystyle Z_ {я}}$ ${\ Displaystyle а_ {я}}$

Этот подход применяется в более общем случае, если коэффициенты и решения принадлежат области целостности .

Общие приемы

Факторинг

Если уравнение $P (x) = 0$ степени $n$ имеет рациональный корень $α$ , соответствующий многочлен можно разложить на множители, чтобы получить форму $P (X) = (X - α ) Q (X)$ (путем деления $P (X)$ на $X - α$ или записав $P (X) - P ( )$ в виде линейной комбинации терминов формы $X k - α k$ и факторизуя $X - α$ Решение $P (x) = 0$ , таким образом, сводится к решению степени $n - 1$ уравнение $Q (x) = 0.$ См., например, случай $n = 3$ .

Устранение субдоминантного термина

Чтобы решить уравнение степени $n$ ,

{\ displaystyle (\ mathrm {E}) \ qquad a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ dots + a_ {1} x + a_ {0} = 0}

,

общий предварительный шаг состоит в том, чтобы исключить член степени $n - 1$ : установив , уравнение (E) становится ${\ displaystyle x = y - {\ frac {a_ {n-1}} {n \, a_ {n}}}}$

{\ displaystyle a_ {n} y ^ {n} + b_ {n-2} y ^ {n-2} + \ dots + b_ {1} x + b_ {0} = 0}

.

Леонард Эйлер разработал эту технику для случая $n = 3$ , но она также применима, например, для случая $n = 4$ .

Квадратные уравнения

Чтобы решить квадратное уравнение вида , вычисляют дискриминант ∆, определяемый формулой . ${\ Displaystyle топор ^ {2} + bx + c = 0}$ ${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac}$

Если многочлен имеет действительные коэффициенты, он имеет:

два различных действительных корня, если ; ${\ Displaystyle \ Дельта > 0}$
один действительный двойной корень, если ; ${\ Displaystyle \ Дельта = 0}$
не действительный корень, если , а два комплексно-сопряженных корня. ${\ Displaystyle \ Дельта <0}$

Кубические уравнения

Наиболее известным методом решения кубических уравнений путем записи корней в радикалах является формула Кардано .

Уравнения четвертой степени

Подробное обсуждение некоторых методов решения см.:

Преобразование Чирнхауса (общий метод, успех не гарантируется);
Метод Безу (общий метод, успех не гарантирован);
метод Феррари (решения для степени 4);
метод Эйлера (решения для степени 4);
метод Лагранжа (решения для степени 4);
Метод Декарта (решения для степени 2 или 4);

Уравнение четвертой степени с может быть сведено к квадратному уравнению заменой переменной при условии, что оно либо биквадратное ( $b = d$ $= 0$ ), либо квазипалиндромное ( $e = a$ $,$ $d = b$ ). ${\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e = 0}$ ${\ Displaystyle а \ neq 0}$

Некоторые уравнения кубической и четвертой степени могут быть решены с помощью тригонометрии или гиперболических функций .

Уравнения высшей степени

Эварист Галуа и Нильс Хенрик Абель независимо друг от друга показали, что в общем случае многочлен степени 5 или выше не разрешим с помощью радикалов. Некоторые конкретные уравнения имеют решения, например, связанные с круговыми полиномами 5-й и 17-й степеней.

Чарльз Эрмит , с другой стороны, показал, что многочлены степени 5 разрешимы с помощью эллиптических функций .

В противном случае можно найти численные приближения к корням, используя алгоритмы поиска корней , такие как метод Ньютона .

Смотрите также

Алгебраическая функция
Алгебраическое число
Поиск корня
Линейное уравнение (степень = 1)
Квадратное уравнение (степень = 2)
Кубическое уравнение (степень = 3)
Уравнение четвертой степени (степень = 4)
Уравнение пятой степени (степень = 5)
Секстическое уравнение (степень = 6)
Септическое уравнение (степень = 7)
Система линейных уравнений
Система полиномиальных уравнений
Линейное диофантово уравнение
Линейное уравнение над кольцом
Теорема Крамера (алгебраические кривые) о количестве точек, обычно достаточном для определения двумерной кривой n -й степени.

Languages

In other projects