Кубическая функция - Cubic function

График кубической функции с 3 действительными корнями (где кривая пересекает горизонтальную ось - где y = 0 ). Показанный случай имеет две критических точки . Здесь функция f ( x ) = ( x 3 + 3 x 2 - 6 x - 8) / 4 .

В математике , А кубическая функция является функцией вида

где коэффициенты a , b , c и d - действительные числа , а переменная x принимает действительные значения, а a 0 . Другими словами, это и полиномиальная функция третьей степени, и действительная функция . В частности, домен и codomain представляют собой набор действительных чисел.

Установка f ( x ) = 0 приводит к кубическому уравнению вида

решения которой называются корнями функции.

Кубическая функция имеет один или три действительных корня (которые могут не быть различными); все многочлены нечетной степени имеют хотя бы один действительный корень.

График кубической функции всегда имеет одну точку перегиба . Он может иметь две критические точки , локальный минимум и локальный максимум. В противном случае кубическая функция монотонна . График кубической функции симметричен относительно точки перегиба; то есть он инвариантен относительно поворота на пол-оборота вокруг этой точки. До качестве аффинного преобразования , есть только три возможные графики для кубических функций.

Кубические функции являются фундаментальными для кубической интерполяции .

История

Критические и переломные моменты

В корнях , стационарные точки , точки перегиба и вогнутость из кубического многочлена х 3 - 3 х 2 - 144 х + 432 (черная линия) и его первые и вторые производные (красные и синие).

В критических точках из кубической функции являются ее стационарными точками , то есть точки , где наклон функции равен нуль. Таким образом, критические точки кубической функции f, определенной формулой

f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d ,

встречаются при таких значениях x , что производная

кубической функции равна нулю.

Решениями этого уравнения являются значения x критических точек, которые задаются с помощью формулы квадратичного уравнения следующим образом :

Знак выражения внутри квадратного корня определяет количество критических точек. Если он положительный, то есть две критические точки, одна - локальный максимум, а другая - локальный минимум. Если b 2 - 3 ac = 0 , то есть только одна критическая точка, которая является точкой перегиба . Если b 2 - 3 ac <0 , то (реальных) критических точек нет. В двух последних случаях, то есть, если b 2 - 3 ac неположительно, кубическая функция строго монотонна . На рисунке показан пример случая Δ 0 > 0 .

Точка перегиба функции - это то место, где эта функция изменяет вогнутость . Точка перегиба возникает, когда вторая производная равна нулю, а третья производная отлична от нуля. Таким образом, кубическая функция всегда имеет одну точку перегиба, которая встречается в

Классификация

Кубические функции формы График любой кубической функции подобен такой кривой.

График кубической функции является кубической кривой , хотя многие из кубических кривых не являются графиками функций.

Хотя кубические функции зависят от четырех параметров, их график может иметь очень мало форм. Фактически, график кубической функции всегда похож на график функции вида

Это подобие может быть построено как композиция переносов, параллельных осям координат, гомотезии ( равномерное масштабирование ) и, возможно, отражения ( зеркальное отображение ) относительно оси y . Дальнейшее неравномерное масштабирование может преобразовать график в график одной из трех кубических функций

Это означает , что есть только три графы кубических функций до с аффинным преобразованием .

Приведенные выше геометрические преобразования можно построить следующим образом, если исходить из общей кубической функции

Во-первых, если a <0 , замена переменной x → - x позволяет предположить a > 0 . После этой замены переменной новый график является зеркальным отображением предыдущего относительно оси y .

Тогда замена переменной x = x 1 - б / 3 а предоставляет функцию формы

Это соответствует сдвигу, параллельному оси x .

Изменение переменной y = y 1 + q соответствует сдвигу относительно оси y и дает функцию вида

Изменение переменной соответствует равномерному масштабированию и дает после умножения на функцию вида

что является самой простой формой, которую можно получить подобием.

Тогда, если p ≠ 0 , неравномерное масштабирование после деления на

где имеет значение 1 или –1, в зависимости от знака p . Если определить последнюю форму функции, применяется ко всем случаям (с и ).

Симметрия

Таким образом, для кубической функции формы точка перегиба является началом координат. Так как такая функция является нечетной функцией , ее график симметричен относительно точки перегиба и инвариантен при повороте на пол-оборота вокруг точки перегиба. Поскольку эти свойства инвариантны в силу подобия , для всех кубических функций верно следующее.

График кубической функции симметричен относительно точки перегиба и инвариантен при повороте на пол-оборота вокруг точки перегиба.

Коллинеарности

Точки P 1 , P 2 и P 3 (отмечены синим цветом) коллинеарны и принадлежат графику x 3 +. 3 / 2 х 2 - 5 / 2 х + 5 / 4 . Точки T 1 , T 2 и T 3 (красные) являются пересечениями (пунктирных) касательных линий к графику в этих точках с самим графиком. Они тоже коллинеарны.

Касательные к графику кубической функции в трех коллинеарных точках снова пересекают кубику в коллинеарных точках. Это можно увидеть следующим образом.

Поскольку это свойство инвариантно относительно жесткого движения , можно предположить, что функция имеет вид

Если α действительное число, то касательной к графику функции f в точке ( α , f ( α )) будет прямая

{( x , f ( α ) + ( x - α ) f  ′ ( α )): x R }.

Таким образом, точку пересечения между этой линией и графиком f можно получить, решив уравнение f ( x ) = f ( α ) + ( x - α ) f  ′ ( α ) , то есть

который можно переписать

и разложен на множители как

Итак, касательная пересекает кубику в точке

Итак, функция, которая отображает точку ( x , y ) графика в другую точку, где касательная пересекает график, является

Это аффинное преобразование, которое преобразует коллинеарные точки в коллинеарные точки. Это подтверждает заявленный результат.

Кубическая интерполяция

Учитывая значения функции и ее производной в двух точках, существует ровно одна кубическая функция, имеющая те же четыре значения, которая называется кубическим сплайном Эрмита .

Есть два стандартных способа использовать этот факт. Во-первых, если кто-то знает, например, путем физического измерения, значения функции и ее производной в некоторых точках выборки, можно интерполировать функцию с помощью непрерывно дифференцируемой функции , которая является кусочно- кубической функцией.

Если значение функции известно в нескольких точках, кубическая интерполяция заключается в приближении функции непрерывно дифференцируемой функцией , которая является кусочно- кубической. Для однозначно определенной интерполяции необходимо добавить еще два ограничения, например значения производных в конечных точках или нулевую кривизну в конечных точках.

Ссылка

внешняя ссылка