Бессмысленная топология - Pointless topology

В математике , бессмысленна топология (также называемая pointfree или топологией pointfree , или языковая теорией ) является подходом к топологии , что позволяет избегать упоминания точек, в которых решетки из открытых множеств являются примитивными понятиями.

Эта революционная идея предполагает, что построение топологически интересных пространств из чисто алгебраических данных возможно. Первые подходы к топологии были геометрическими, один начался с евклидова пространства и соединил все вместе. Но работа Стоуна показала, что топологию можно рассматривать с алгебраической точки зрения (теоретико-решеточной). Помимо Стоуна, Генри Уоллман был первым, кто использовал эту идею. Другие продолжали этот путь до тех пор, пока Чарльз Эресманн и его ученик Жан Бенабу (и одновременно другие) не сделали следующий фундаментальный шаг в конце пятидесятых. Их идеи возникли в результате изучения «топологических» и «дифференцируемых» категорий .

Подход Эресмана включал использование категории, объектами которой были полные решетки, удовлетворяющие закону распределения, а морфизмами - отображения, сохраняющие конечные пересечения и произвольные соединения . Он назвал такие решетки «локальными решетками», другие, например, Даукер, называли их «каркасами», чтобы избежать неоднозначности с другими понятиями теории решеток .

Интуитивно

Традиционно, топологическое пространство состоит из множества из точек вместе с топологией , система подмножеств называется открытыми множествами , что с операциями пересечения и союзом образует решетки с определенными свойствами. Бесточечная топология основана на концепции «реалистичного пятна», а не точки без протяженности. Пятна могут быть соединены (образуя полную решетку), и если пятно встречается с соединением других, оно должно встретиться с некоторыми из составляющих, что, грубо говоря, приводит к закону распределения

${\ Displaystyle б \ клин \ влево (\ bigvee a_ {i} \ right) = \ bigvee \ left (б \ клин a_ {i} \ right)}$.

Формально

Основная концепция - это каркас , полная решетка, удовлетворяющая приведенному выше закону распределения; каркасные гомоморфизмы уважают все соединения (в частности, наименьший элемент решетки) и конечные пересечения (в частности, наибольший элемент решетки).

Фреймы вместе с гомоморфизмами фреймов образуют категорию .

Связь с топологией точек

В классической топологии, представленной на множестве системой открытых множеств, (частично упорядоченной включением) является каркас, а если является непрерывным отображением, то определенным является гомоморфизм каркаса. Для трезвых пространств таковы в точности гомоморфизмы реперов . Следовательно , является полным вложением категории трезвых пространств в двойственную категории кадров (обычно называемой категории локалей). Это оправдывает понимание фреймов (локалей) как обобщенных топологических пространств. Кадр является пространственным, если он изоморфен a . Непространственных много, и это помогло в нескольких задачах. ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$${\ displaystyle f \ двоеточие от X \ до Y}$${\ Displaystyle \ Omega (е) \ двоеточие \ Omega (Y) \ to \ Omega (X)}$${\ Displaystyle \ Омега (е) (U) = е ^ {- 1} [U]}$${\ Displaystyle \ Omega (е)}$${\ Displaystyle ч \ двоеточие \ Omega (Y) \ to \ Omega (X)}$${\ displaystyle \ Omega}$${\ Displaystyle \ Omega (X)}$

Теория фреймов и локалей

Теория фреймов и локалей в современном понимании была начата в конце 1950-х годов ( Чарльз Эресманн , Жан Бенабу , Хью Даукер , Дона Пейперт ) и развивалась в последующие десятилетия ( Джон Исбелл , Питер Джонстон , Гарольд Симмонс , Бернхард Банашевски , Алеш Пултр). , Till Plewe, Japie Vermeulen, Steve Vickers ) в живую ветвь топологии , имеющую применение в различных областях, в частности, в теоретической информатике. Подробнее об истории теории локали см.

Можно перевести большинство концепций точечной топологии в контекст локали и доказать аналогичные теоремы. Что касается преимуществ безточечного подхода, отметим, например, тот факт, что некоторые важные факты классической топологии, зависящие от принципов выбора, становятся свободными от выбора (то есть конструктивными , что, в частности, привлекательно для информатики). ). Так, например, продукты компактных локалей конструктивно компактны, или пополнения однородных локалей конструктивны. Это может быть полезно, если кто-то работает с топосом , не имеющим аксиомы выбора. Другие преимущества включают гораздо лучшее поведение паракомпактности или тот факт, что подгруппы локальных групп всегда замкнуты.

Еще одна точка, в которой теория локалей и топология сильно расходятся, - это концепции подпространств и подлокалей: согласно теореме Исбелла о плотности каждая локаль имеет наименьший плотный подлокаль. Этому нет абсолютно никакого эквивалента в области топологических пространств.

Смотрите также

• Алгебра Гейтинга . Фрейм - это полная алгебра Гейтинга .
• Полная булева алгебра . Любая полная булева алгебра является фреймом (он является пространственным фреймом тогда и только тогда, когда он атомарен).
• Подробности о взаимосвязи между категорией топологических пространств и категорией локаций, включая явное построение дуальности между трезвыми пространствами и пространственными локалями, можно найти в статье о двойственности Стоуна .
• Бесточечная геометрия .

Цитаты

Библиография

Общее введение в бессмысленную топологию:

Это, по его собственным словам, следует читать как трейлер к превосходной монографии Джонстона (которая появилась уже в 1982 году и до сих пор может использоваться в качестве основной ссылки):

• Джонстон, Питер Т. (1982). Каменные пространства. Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-33779-3 .

Есть недавняя монография

• Пикадо, Хорхе, Пултр, Алеш (2012). Рамки и локали: Топология без точек. Границы в математике, т. 28, Спрингер, Базель.

где также можно найти более обширную библиографию.

Для отношений с логикой:

• Викерс, Стивен (1996). Топология через логику. Кембриджские трактаты по теоретической информатике, издательство Кембриджского университета.

Более подробные сведения см. В соответствующих главах:

• Педиккио, Мария Кристина, Толен, Вальтер (ред.). Категориальные основы - специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков. Энциклопедия математики и ее приложений, Vol. 97, Cambridge University Press, 2003, стр. 49–101.
• Hazewinkel, Michiel (Ред.). Справочник по алгебре. Vol. 3, Северная Голландия, Амстердам, 2003 г., стр. 791–857.
• Гретцер, Джордж, Верунг, Фридрих (ред.). Теория решеток: специальные темы и приложения. Vol. 1, Springer, Базель, 2014 г., стр. 55–88.