Биномиальная теорема - Binomial theorem

В биномиальных коэффициентов выступает в качестве Ь - й записи в п - й строке треугольника Паскаля (начинает отсчет в 0 ). Каждая запись представляет собой сумму двух вышеперечисленных.

В элементарной алгебре , то бином Ньютона (или биномиальное разложение ) описывает алгебраическое расширение полномочий одного бинома . Согласно теореме, можно разложить многочлен ( x + y ) n в сумму, включающую члены вида ax b y c , где показатели b и c - неотрицательные целые числа с b + c = n , а коэффициент a каждого члена представляет собой конкретное положительное целое число, зависящее от n и b . Например (для n = 4 ),

Коэффициент a в термине ax b y c известен как биномиальный коэффициент или (оба имеют одинаковое значение). Эти коэффициенты для изменения n и b можно расположить так, чтобы сформировать треугольник Паскаля . Эти цифры также возникают в комбинаторике , где дает число различных комбинаций из Ь элементов , которые могут быть выбраны из п - элементного множества . Поэтому часто произносится как « n select b ».

История

Частные случаи биномиальной теоремы были известны по крайней мере с 4 века до нашей эры, когда греческий математик Евклид упомянул частный случай биномиальной теоремы для экспоненты  2 . Есть свидетельства того, что биномиальная теорема для кубов была известна в Индии в VI веке нашей эры.

Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие количество способов выбора k объектов из n без замены, интересовали древнеиндийских математиков. Самая ранняя известная ссылка на эту комбинаторную проблему - это Чандамшастра индийского лирика Пингалы (ок. 200 г. до н. Э.), В которой содержится метод ее решения. Комментатор Халаюда из 10 века нашей эры объясняет этот метод, используя то, что теперь известно как треугольник Паскаля . К 6 веку н.э., индийские математики , вероятно , знали , как выразить это как фактор , и четкое изложение этого правила можно найти в тексте 12 - го века Lilavati по Бхаскару .

Первую формулировку биномиальной теоремы и таблицу биномиальных коэффициентов, насколько нам известно, можно найти в работе аль-Караджи , цитируемой аль-Самав'алом в его «аль-Бахир». Аль-Караджи описал треугольную структуру биномиальных коэффициентов, а также представил математическое доказательство как биномиальной теоремы, так и треугольника Паскаля, используя раннюю форму математической индукции . Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с этой формулой до высших порядков, хотя многие из его математических работ утеряны. Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических работах 13 века Ян Хуэй, а также Чу Ши-Цзе . Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту Цзя Сяня 11-го века , хотя эти записи теперь также утеряны.

В 1544 году , Михаэль Штифель ввел термин «бином коэффициент» и показал , как использовать их , чтобы выразить в терминах , с помощью «треугольник Паскаля». Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своей работе Traité dus Triangle Arithmétique . Однако последовательность чисел была уже известна европейским математикам позднего Возрождения, включая Стифеля, Никколо Фонтана Тарталья и Симона Стевина .

Исааку Ньютону обычно приписывают обобщенную биномиальную теорему, справедливую для любого рационального показателя степени.

Заявление

Согласно теореме, любую неотрицательную степень x + y можно разложить в сумму вида

где - целое число, а каждое - положительное целое число, известное как биномиальный коэффициент . (Когда показатель степени равен нулю, соответствующее выражение мощности принимается равным 1, и этот мультипликативный коэффициент часто опускается в члене. Поэтому часто можно увидеть, что правая часть записывается как .) Эта формула также называется биномиальной формулой или биномиальное тождество . Используя обозначения суммирования , это можно записать как

Окончательное выражение следует из предыдущего из-за симметрии x и y в первом выражении, и из сравнения следует, что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична. Простой вариант биномиальной формулы получается заменой 1 на y , так что он включает только одну переменную . В таком виде формула выглядит так:

или эквивалентно

или более явно

Примеры

Вот несколько первых случаев биномиальной теоремы:

В общем, для расширения ( x + y ) n с правой стороны в n- й строке (пронумерованной так, чтобы верхняя строка была 0-й строкой):

  • показатели x в членах равны n , n - 1, ..., 2, 1, 0 (последний член неявно содержит x 0 = 1 );
  • показатели y в членах равны 0, 1, 2, ..., n - 1, n (первый член неявно содержит y 0 = 1 );
  • коэффициенты образуют n- ю строку треугольника Паскаля;
  • перед объединением одинаковых терминов в расширении есть 2 n терминов x i y j (не показаны);
  • после объединения одинаковых членов получается n + 1 член, а их коэффициенты в сумме составляют 2 n .

Пример, иллюстрирующий два последних пункта:

с .

Простой пример с конкретным положительным значением y :

Простой пример с конкретным отрицательным значением y :

Геометрическое объяснение

Визуализация биномиального разложения до 4-й степени

Для положительных значений a и b биномиальная теорема с n = 2 является геометрически очевидным фактом, что квадрат со стороной a + b можно разрезать на квадрат со стороной a , квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a и б . С п = 3 , то теорема утверждает , что куб со стороной + б может быть разрезана в куб со стороной а , куба со стороной Ь , три × × б прямоугольных коробок, а также три × б × б прямоугольных коробок .

В исчислении этот рисунок также дает геометрическое доказательство производной, если установить и интерпретировать b как бесконечно малое изменение в a , тогда этот рисунок показывает бесконечно малое изменение объема n- мерного гиперкуба , где коэффициент при линейном члене (in ) - это площадь n граней, каждая из которых имеет размер n - 1 :

Подстановка этого в определение производной через коэффициент разности и принятие пределов означает, что члены более высокого порядка и выше становятся незначительными, и дает формулу, интерпретируемую как

«бесконечно малая скорость изменения объема n- куба при изменении длины стороны есть площадь n его ( n - 1) -мерных граней».

Если интегрировать эту картину, которая соответствует применению фундаментальной теоремы исчисления , можно получить квадратурную формулу Кавальери , интеграл - см. Подробности в доказательстве квадратурной формулы Кавальери .

Биномиальные коэффициенты

Коэффициенты, которые появляются в биномиальном разложении, называются биномиальными коэффициентами . Обычно они пишутся и произносятся « n select k ».

Формулы

Коэффициент при x n - k y k определяется формулой

который определяется в терминах факториальной функции n ! . Эквивалентно эту формулу можно записать

с k множителями как в числителе, так и в знаменателе дроби . Хотя в этой формуле используется дробь, биномиальный коэффициент на самом деле является целым числом .

Комбинаторная интерпретация

Биномиальный коэффициент можно интерпретировать как количество способов выбрать k элементов из n -элементного набора. Это связано с биномами по следующей причине: если мы запишем ( x + y ) n как произведение

тогда, согласно закону распределения , в разложении будет один член для каждого выбора либо x, либо y из каждого из биномов произведения. Например, будет только один член x n , соответствующий выбору x из каждого бинома. Однако будет несколько членов вида x n −2 y 2 , по одному для каждого способа выбора ровно двух биномов, дающих вклад в y . Следовательно, после объединения одинаковых членов коэффициент при x n −2 y 2 будет равен количеству способов выбрать ровно 2 элемента из набора n -элементов.

Доказательства

Комбинаторное доказательство

Пример

Коэффициент при xy 2 в

равно, потому что есть три строки x , y длины 3 с ровно двумя y s, а именно,

соответствующие трем двухэлементным подмножествам {1, 2, 3} , а именно,

где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке.

Общий случай

Раскрытие ( x + y ) n дает сумму 2 n произведений в форме e 1 e 2 ... e n, где каждое e i равно x или  y . Перестановка коэффициентов показывает, что каждый продукт равен x n - k y k для некоторого k от 0 до  n . Для данного k последовательно доказываются следующие равенства:

  • количество копий x n - k y k в расширении
  • количество n -символов x , y строк, у которых y ровно в k позициях
  • количество k -элементных подмножеств {1, 2, ..., n }
  • либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного аргумента, если определяется как

Это доказывает биномиальную теорему.

Индуктивное доказательство

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда n = 0 , обе стороны равны 1 , так как x 0 = 1 и теперь предположим, что равенство выполняется для данного n ; мы докажем это для n + 1 . Для j , k ≥ 0 , пусть [ f ( x , y )] j , k обозначает коэффициент при x j y k в полиноме f ( x , y ) . По предположению индукции ( x + y ) n - это многочлен от x и y, такой что [( x + y ) n ] j , k равно, если j + k = n , и 0 в противном случае. Личность

показывает, что ( x + y ) n +1 также является многочленом от x и y , и

поскольку если j + k = n + 1 , то ( j - 1) + k = n и j + ( k - 1) = n . Теперь правая часть

по идентичности Паскаля . С другой стороны, если j + kn + 1 , то ( j - 1) + kn и j + ( k - 1) ≠ n , поэтому мы получаем 0 + 0 = 0 . Таким образом

что является индуктивной гипотезой с заменой n + 1 на n и завершает индуктивный шаг.

Обобщения

Обобщенная биномиальная теорема Ньютона

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил биномиальную теорему, чтобы разрешить действительные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. (Такое же обобщение применимо и к комплексным показателям.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом . Для этого нужно придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, чего нельзя сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа r можно определить

где - символ Поххаммера , обозначающий падающий факториал . Это согласуется с обычными определениями, когда r - неотрицательное целое число. Тогда, если x и y - действительные числа с | х | > | y | , а r - любое комплексное число,

Когда r - неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты для k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и имеется не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.

Например, r = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:

Взяв r = −1 , обобщенный биномиальный ряд дает формулу геометрического ряда , справедливую для | х | <1 :

В более общем случае с s = - r :

Так, например, когда s = 1/2 ,

Дальнейшие обобщения

Обобщенную биномиальную теорему можно распространить на случай, когда x и y - комплексные числа. Для этой версии следует снова предположить | х | > | y | и определим степени x + y и x, используя голоморфную ветвь журнала, заданную на открытом диске радиуса | х | с центром в x . Обобщенная теорема бином справедлива и для элементов х и у одного банаховой алгебры , как долго , как ху = ух и х обратим и || у / х || <1 .

Версия биномиальной теоремы верна для следующего символьного семейства многочленов Похгаммера : для данной действительной константы c определите и

для Тогда

Случай c = 0 восстанавливает обычную биномиальную теорему.

В более общем смысле, последовательность многочленов называется биномиальной, если

  • для всех ,
  • , а также
  • для всех , и .

Оператор в пространстве многочленов называется базисным оператором последовательности тогда и для всех . Последовательность биномиальна тогда и только тогда, когда ее базисный оператор является дельта-оператором . Записывая для сдвига по оператору, дельта-операторы, соответствующие вышеуказанным семействам полиномов "Поххаммера", представляют собой обратную разницу для , обычную производную для и прямую разность для .

Полиномиальная теорема

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Общая версия

где суммирование ведется по всем последовательностям неотрицательных целочисленных индексов с k 1 по k m, таким что сумма всех k i равна  n . (Для каждого члена в разложении показатели должны в сумме равняться  n ). Коэффициенты известны как полиномиальные коэффициенты и могут быть вычислены по формуле

Комбинаторно, полиномиальной коэффициент подсчитывает количество различных способов разбиения п - элементного множества на непересекающиеся подмножества размеров K 1 , ..., K м .

Многобиномиальная теорема

При работе с большим количеством измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно

Это можно записать более кратко, используя многоиндексную нотацию , как

Общее правило Лейбница

Общее правило Лейбница дает n- ю производную произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы:

Здесь верхний индекс ( n ) указывает n- ю производную функции. Если установить f ( x ) = e ax и g ( x ) = e bx , а затем убрать общий множитель e ( a + b ) x с обеих сторон результата, то обычная биномиальная теорема будет восстановлена.

Приложения

Многоугольные тождества

Для комплексных чисел биномиальную теорему можно объединить с формулой де Муавра, чтобы получить многоугловые формулы для синуса и косинуса . Согласно формуле Де Муавра,

Используя биномиальную теорему, выражение справа можно расширить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для cos ( nx ) и sin ( nx ) . Например, поскольку

Формула Де Муавра говорит нам, что

которые являются обычными двухугловыми тождествами. Аналогично, поскольку

Формула Де Муавра дает

В основном,

а также

Серия для е

Число е часто определяется по формуле

Применение биномиальной теоремы к этому выражению дает обычный бесконечный ряд для e . Особенно:

К терм е этой суммы

При n → ∞ рациональное выражение справа стремится к 1 , и, следовательно,

Это означает, что е можно записать в виде ряда:

В самом деле, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающей функцией от n , из теоремы о монотонной сходимости рядов следует, что сумма этого бесконечного ряда равна  e .

Вероятность

Биномиальная теорема тесно связана с функцией массы вероятности отрицательного биномиального распределения . Вероятность (счетного) набора независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха всего, что не произойдет, равна

Полезная верхняя граница для этой величины:

В абстрактной алгебре

Биномиальная теорема верна в более общем случае для двух элементов x и y в кольце или даже полукольце при условии, что xy = yx . Например, это верно для двух матриц размера n × n при условии, что эти матрицы коммутируют; это полезно при вычислении мощности матрицы.

Биномиальную теорему можно сформулировать, сказав, что полиномиальная последовательность {1, x , x 2 , x 3 , ...} имеет биномиальный тип .

В популярной культуре

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение

  • Сумка, Амуля Кумар (1966). «Биномиальная теорема в древней Индии». Индийский J. History Sci . 1 (1): 68–74.
  • Грэм, Рональд; Кнут, Дональд; Паташник, Орен (1994). «(5) Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. стр.  153 -256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC  17649857 .

внешние ссылки

Эта статья включает в себя материал из индуктивного доказательства биномиальной теоремы на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .