Кольцо уменьшенное - Reduced ring

В теории колец , А кольцо R называется приведенное кольцо , если оно не имеет ненулевых нильпотентных элементов. Эквивалентно кольцо сокращается, если оно не имеет ненулевых элементов с нулевым квадратом, то есть x ²  = 0 влечет x  = 0. Коммутативная алгебра над коммутативным кольцом называется редуцированной алгеброй, если ее основное кольцо сокращено.

В нильпотентных элементах коммутативного кольца R образуют идеальный из R , называется нильрадикалом из R ; поэтому коммутативное кольцо редуцируется тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю. Более того, коммутативное кольцо редуцируется тогда и только тогда, когда единственный элемент, содержащийся во всех простых идеалах, равен нулю.

Фактор - кольцо R / I уменьшается , если и только если я являюсь радикальным идеалом .

Пусть D множество всех делителей нуля в уменьшенном кольце R . Тогда D - объединение всех минимальных простых идеалов .

Над нётеров кольцо R , мы говорим , конечно порожденный модуль М имеет локально постоянный ранг , если локально постоянная (или , что эквивалентно непрерывная) функция на Spec R . Тогда R редуцируется тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный модуль локально постоянного ранга проективен . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ mapsto \ operatorname {dim} _ {k ({\ mathfrak {p}})} (M \ otimes k ({\ mathfrak {p}}))}$

Примеры и не примеры

• Подкольца , произведения и локализации редуцированных колец снова являются редуцированными кольцами.
• Кольцо целых чисел Z редуцированное кольцо. Каждое поле и каждое кольцо многочленов над полем (от произвольного числа переменных) является редуцированным кольцом.
• В более общем смысле, каждая область целостности является редуцированным кольцом, поскольку нильпотентный элемент заведомо является делителем нуля . С другой стороны, не всякое редуцированное кольцо является областью целостности. Например, кольцо Z [ x , y ] / ( xy ) содержит x + (xy) и y + (xy) в качестве делителей нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов. В качестве другого примера, кольцо Z × Z содержит (1,0) и (0,1) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов.
• Кольцо Z / 6 Z редуцируется, но Z / 4 Z не сокращается: класс 2 + 4 Z нильпотентен. В общем, Z / n Z уменьшается тогда и только тогда, когда n  = 0 или n является целым числом без квадратов .
• Если R является коммутативным кольцом и N является нильрадикалом из R , то фактор - кольцо R / N уменьшается.
• Коммутативное кольцо R от характерного р для некоторого простого числа р уменьшается , если и только если его эндоморфизм Фробениуса является инъективен . (ср. идеальное поле .)

Обобщения

Приведенные кольца играют элементарную роль в алгебраической геометрии , где это понятие обобщается до понятия сокращенной схемы .

Смотрите также

• Полное кольцо частных # Полное кольцо частных приведенного кольца

Ноты

Ссылки

• Н. Бурбаки , Коммутативная алгебра , Герман Париж, 1972, гл. II, § 2.7
• Н. Бурбаки , Алгебра , Springer 1990, гл. V, § 6.7
• Эйзенбуд, Дэвид , Коммутативная алгебра с точки зрения алгебраической геометрии , Тексты для выпускников по математике, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN  0-387-94268-8 .