Система импримитивности - System of imprimitivity

Понятие системы импримитивности используется в математике , особенно в алгебре и анализе , как в контексте теории представлений групп . Он был использован Джорджем Макки в качестве основы для своей теории индуцированных унитарных представлений о локально компактных группах .

Самый простой случай и контекст, в котором эта идея была впервые замечена, - это случай конечных групп (см. Примитивную группу перестановок ). Рассмотрим группу G и подгруппы H и K , с K содержится в H . Тогда левые смежные классы из H в G , каждый , объединение левых смежных классов K . Не только это, но и перенос (с одной стороны) любым элементом g группы G учитывает это разложение. Связь с индуцированными представлениями заключается в том, что представление перестановки на смежных классах является частным случаем индуцированного представления, в котором представление индуцируется из тривиального представления . Комбинаторная в данном случае структура, соблюдаемая трансляцией, показывает, что либо K - максимальная подгруппа группы G , либо существует система импримитивности (грубо говоря, отсутствие полного «перемешивания»). Чтобы обобщить это на другие случаи, концепция переформулируется: сначала в терминах функций от G, константы на K -классах, а затем в терминах операторов проекции (например, усреднение по K -классам элементов группы алгебра ).

Макки также использовал эту идею для своего объяснения теории квантования, основанной на сохранении групп относительности, действующих в конфигурационном пространстве . Эта обобщенная работа Юджина Вигнера и других часто считается одной из новаторских идей в каноническом квантовании .

Пример

Чтобы мотивировать общие определения, сначала формулируется определение в случае конечных групп и их представлений в конечномерных векторных пространствах .

Если G конечная группа и U представление G на конечномерном комплексном векторном пространстве H . Действие G на элементах H индуцирует действие из G на векторных подпространств W из H таким образом:

${\ displaystyle U_ {g} W = \ {U_ {g} w: w \ in W \}.}$

Если X - такое множество подпространств в H , что

• элементы X переставляются действием G на подпространствах и
• H - (внутренняя) алгебраическая прямая сумма элементов X , т. Е.

${\ displaystyle H = \ bigoplus _ {W \ in X} W.}$

Тогда ( U , X ) представляет собой систему импримитивности для G .

В приведенном выше определении должны выполняться два утверждения:

• пространства W для W ∈ X должны покрывать H , и
• пространства W ∈ X должны быть линейно независимыми , т. е.

${\ displaystyle \ sum _ {W \ in X} c_ {W} v_ {W} = 0, \ quad v_ {W} \ in W \ setminus \ {0 \}}$

выполняется только тогда, когда все коэффициенты c _W равны нулю.

Если действие G на элементах X является транзитивным , то мы говорим , что это переходная система импримитивности.

Если G конечная группа, G ₀ подгруппа G . Представление U группы G индуцируется из представления V группы G ₀ тогда и только тогда, когда существует следующее:

• транзитивная система импримитивности ( U , X ) и
• подпространство W ₀ ∈ X

такая, что G ₀ является подгруппой неподвижных точек в W под действием G , т. е.

${\ displaystyle G_ {0} = \ {g \ in G: U_ {g} W_ {0} \ substeq W_ {0} \}.}$

и V эквивалентно представлению G ₀ на W _0, задаваемому U _h | W ₀ для h ∈ G ₀ . Обратите внимание, что согласно этому определению, индуцированное является отношением между представлениями. Мы хотели бы показать, что на самом деле существует отображение представлений, которое соответствует этому отношению.

Для конечных групп можно показать, что существует корректно определенная индуцирующая конструкция эквивалентности представлений, рассматривая характер представления U, определяемый формулой

${\ displaystyle \ chi _ {U} (g) = \ operatorname {tr} (U_ {g}).}$

Если представление U группы G индуцировано из представления V группы G ₀ , то

${\ displaystyle \ chi _ {U} (g) = {\ frac {1} {| G_ {0} |}} \ sum _ {\ {x \ in G: {x} ^ {- 1} \, g \, x \ in G_ {0} \}} \ chi _ {V} ({x} ^ {- 1} \ g \ x), \ quad \ forall g \ in G.}$

Таким образом, функция характера х _U (и , следовательно , U сам по себе) полностью определяются й _V .

Пример

Пусть G конечная группа и рассмотрим пространство H комплексных функций на G . Левое регулярное представление группы G на H определяется формулой

${\ displaystyle [\ operatorname {L} _ {g} \ psi] (h) = \ psi (g ^ {- 1} h).}$

Теперь H можно рассматривать как алгебраическую прямую сумму одномерных пространств W _x для x ∈ G , где

${\ Displaystyle W_ {x} = \ {\ psi \ in H: \ psi (g) = 0, \ quad \ forall g \ neq x \}.}$

Пространства W _x заменяются L _g .

Бесконечномерные системы импримитивности

Для того, чтобы обобщить конечное размерное определение , данное в предыдущем параграфе, подходящую замену для множества X векторных подпространств H , который переставляется представлением U необходимо. Как оказалось, наивный подход, основанный на подпространствах H , не работает; например , перевод из представления R на L ² ( R ) не имеет системы импримитивности в этом смысле. Правильная формулировка разложения в прямую сумму формулируется в терминах проекционно-значных мер .

Исходная формулировка Макки была выражена в терминах локально компактной второй счетной (lcsc) группы G , стандартного борелевского пространства X и действия борелевской группы

${\ displaystyle G \ times X \ rightarrow X, \ quad (g, x) \ mapsto g \ cdot x.}$

Мы будем называть это стандартным борелевским G -пространством.

Определения могут быть даны в гораздо более общем контексте, но исходная установка, используемая Mackey, по-прежнему является довольно общей и требует меньше технических деталей.

Определение . Пусть G будет lcsc группа , действующая на стандартной борелевского пространства X . Система импримитивности, основанная на ( G , X ), состоит из сепарабельного гильбертова пространства H и пары, состоящей из

• Сильно-непрерывное унитарное представление U : г → U _г из G на H .
• Проекция-значная мера π на множествах борелевского X со значениями в проекции Н ;

которые удовлетворяют

${\ displaystyle U_ {g} \ pi (A) U_ {g ^ {- 1}} = \ pi (g \ cdot A).}$

Пример

Пусть X является стандартной G пространства и μ σ-конечной счетно - аддитивная инвариантная мера на X . Это означает

${\ Displaystyle \ му (г ^ {- 1} А) = \ му (А) \ квад}$

для всех г ∈ G и борелевские подмножества А из G .

Пусть π ( A ) - это умножение на индикаторную функцию A, а U _g - оператор

${\ Displaystyle [U_ {g} \ psi] (x) = \ psi (g ^ {- 1} x). \ quad}$

Тогда ( U , π) - система импримитивности ( G , X ) на L ² _μ ( X ).

Эту систему импримитивности иногда называют системой импримитивности Купмана .

Однородные системы импримитивности.

Система импримитивности однородна кратности n , где 1 ≤ n ≤ ω, тогда и только тогда, когда соответствующая проекционно-значная мера π на X однородна кратности n . Фактически, X разбивается на счетное непересекающееся семейство { X _n } _{1 ≤ n ≤ ω} борелевских множеств таких, что π однородно кратности n на X _n . Это также легко показать X _п является G инвариантно.

Лемма . Любая система импримитивности представляет собой ортогональную прямую сумму однородных.

Можно показать, что если действие G на X транзитивно, то любая система импримитивности на X однородна. В целом, если действие G на X является эргодической ( что означает , что X не может быть сведен инвариантными собственных наборов борелевских X ) , то любая система имприми на X является однородным.

Теперь обсудим, как можно выразить структуру однородных систем импримитивности в форме, обобщающей представление Купмана, данное в приведенном выше примере.

Далее мы предполагаем, что μ - σ-конечная мера на стандартном борелевском G- пространстве X такая, что действие G уважает класс меры μ. Это условие слабее, чем инвариантность, но его достаточно построить унитарный оператор трансляции, аналогичный оператору Купмана в приведенном выше примере. G учитывает класс меры μ означает, что производная Радона-Никодима

${\ displaystyle s (g, x) = {\ bigg [} {\ frac {d \ mu} {dg ^ {- 1} \ mu}} {\ bigg]} (x) \ in [0, \ infty) }$

корректно определено для любого g ∈ G , где

${\ displaystyle g ^ {- 1} \ mu (A) = \ mu (gA). \ quad}$

Можно показать, что существует версия s, которая совместно измерима по Борелю, т. Е.

${\ displaystyle s: G \ times X \ rightarrow [0, \ infty)}$

измерима по Борелю и удовлетворяет

${\ displaystyle s (g, x) = {\ bigg [} {\ frac {d \ mu} {dg ^ {- 1} \ mu}} {\ bigg]} (x) \ in [0, \ infty) }$

для почти всех значений ( г , х ) ∈ G × X .

Пусть Н является сепарабельное гильбертово пространство, V ( Н ) унитарные операторы на H . Унитарное Коцикл отображение Бореля

${\ Displaystyle \ Phi: G \ times X \ rightarrow \ OperatorName {U} (H)}$

такой, что

${\ Displaystyle \ Phi (е, х) = I \ quad}$

для почти всех x ∈ X

${\ Displaystyle \ Phi (gh, x) = \ Phi (g, h \ cdot x) \ Phi (h, x)}$

почти для всех ( g , h , x ). Унитарный коцикл является строгим тогда и только тогда, когда указанные выше соотношения выполняются для всех ( g , h , x ). Можно показать, что для любого унитарного коцикла существует строгий унитарный коцикл, который почти всюду ему равен (Varadarajan, 1985).

Теорема . Определять

${\ Displaystyle [U_ {g} \ psi] (x) = {\ sqrt {s (g, g ^ {- 1} x)}} \ \ Phi (g, g ^ {- 1} x) \ \ psi (g ^ {- 1} x).}$

Тогда U - унитарное представление группы G в гильбертовом пространстве.

${\ displaystyle \ int _ {X} ^ {\ oplus} Hd \ mu (x).}$

Более того, если для любого борелевского множества A π ( A ) является оператором проектирования

${\ displaystyle \ pi (A) \ psi = 1_ {A} \ psi, \ quad \ int _ {X} ^ {\ oplus} Hd \ mu (x) \ rightarrow \ int _ {X} ^ {\ oplus} Hd \ mu (x),}$

то ( U , π) - система импримитивности ( G , X ).

Наоборот, любая однородная система импримитивности имеет такой вид для некоторой меры σ-конечной меры μ. Эта мера единственна с точностью до эквивалентности меры, то есть две такие меры имеют одинаковые множества меры 0.

О соответствии между однородными системами импримитивности и коциклами можно сказать гораздо больше.

Когда действие G на X является транзитивным однако, соответствие принимает особенно явную форму , основанную на представлении , полученного путем ограничения коцикл Ф к точке подгруппы фиксированного действия. Мы рассмотрим этот случай в следующем разделе.

Пример

Система импримитивности ( U , П) ( G , X ) на сепарабельном гильбертовом пространстве H является неприводимым тогда и только тогда , когда только замкнутые подпространства инвариантным относительно всех операторов U _г и π ( ) для г и элемент G и A борелевское подмножество X - это H или {0}.

Если ( U , π) неприводимо, то π однородно. Более того, соответствующая мера на X согласно предыдущей теореме эргодична.

Индуцированные представления

Если X - борелевское G- пространство и x ∈ X , то подгруппа неподвижных точек

${\ displaystyle G_ {x} = \ {g \ in G: g \ cdot x = x \}}$

замкнутая подгруппа G . Поскольку мы только предполагаем, что действие G на X является борелевским, этот факт нетривиален. Чтобы доказать это, можно использовать тот факт, что стандартное борелевское G -пространство может быть вложено в компактное G- пространство, в котором действие непрерывно.

Теорема . Предположим, что G действует на X транзитивно. Тогда существует σ-конечная квазиинвариантная мера μ на X, единственная с точностью до эквивалентности меры (т.е. любые две такие меры имеют одинаковые множества нулевой меры).

Если Φ - строгий унитарный коцикл

${\ Displaystyle \ Phi: G \ times X \ rightarrow \ OperatorName {U} (H)}$

то ограничение Φ на подгруппу неподвижных точек G _x является измеримым по Борелю унитарным представлением U группы G _x на H (здесь U ( H ) имеет сильную операторную топологию). Однако известно, что измеримое по Борелю унитарное представление почти всюду (относительно меры Хаара) равно сильно непрерывному унитарному представлению. Это отображение ограничений устанавливает фундаментальное соответствие:

Теорема . Предположим, что G действует на X транзитивно с квазиинвариантной мерой μ. Имеется биекция из классов унитарной эквивалентности систем импримитивности ( G , X ) и классов унитарной эквивалентности представления группы G _x .

Более того, эта биекция сохраняет неприводимость, т. Е. Система импримитивности ( G , X ) неприводима тогда и только тогда, когда соответствующее представление группы G _x неприводимо.

Принимая во внимание представление V из G _х соответствующее представление G называется представление , индуцированное V .

См. Теорему 6.2 из (Varadarajan, 1985).

Приложения к теории представлений групп

Системы импримитивности естественным образом возникают в определении представлений группы G , которая представляет собой пол-прямого произведение абелевой группы N группы H , которая действует автоморфизмами N . Это означает, что N - нормальная подгруппа группы G, а H - подгруппа группы G такая, что G = NH и N ∩ H = { e } (где e является единичным элементом группы G ).

Важным примером этого является неоднородная группа Лоренца .

Закрепить G , H и N , как указано выше , и пусть Х характеров пространство N . В частности, H действует на X посредством

${\ displaystyle [час \ cdot \ chi] (n) = \ chi (h ^ {- 1} nh).}$

Теорема . Существует взаимно однозначное соответствие между классами унитарной эквивалентности представлений группы G и классами унитарной эквивалентности систем импримитивности, основанных на ( H , X ). Это соответствие сохраняет сплетающие операторы. В частности, представление группы G неприводимо тогда и только тогда, когда соответствующая система импримитивности неприводима.

Этот результат представляет особый интерес, когда действие H на X таково, что любая эргодическая квазиинвариантная мера на X транзитивна. В этом случае каждая такая мера является образом (вполне конечной версии) меры Хаара на X посредством отображения

${\ displaystyle g \ mapsto g \ cdot x_ {0}.}$

Необходимым условием для этого является случай , что существует счетное множество H - инвариантных борелевских множеств, отделяющих орбиты Н . Так обстоит дело, например, с действием группы Лоренца на пространстве характеров R ⁴ .

Пример: группа Гейзенберга

Группа Гейзенберга - это группа вещественных матриц 3 × 3 вида:

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & x & z \\ 0 & 1 & y \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Эта группа является полупрямым продуктом

${\ displaystyle H = {\ bigg \ {} {\ begin {bmatrix} 1 & w & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}: w \ in \ mathbb {R} {\ bigg \}}}$

и абелева нормальная подгруппа

${\ displaystyle N = {\ bigg \ {} {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & t \\ 0 & 1 & s \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}: s, t \ in \ mathbb {R} {\ bigg \}}.}$

Обозначим типичную матрицу в H через [ w ], а типичную матрицу в N - через [ s , t ]. потом

${\ displaystyle [w] ^ {- 1} {\ begin {bmatrix} s \\ t \ end {bmatrix}} [w] = {\ begin {bmatrix} s \\ - ws + t \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ - w & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} s \\ t \ end {bmatrix}}}$

ж действует на сопряженное R ² путем умножения на матрицу транспонированной

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & -w \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}}.}$

Это позволяет нам полностью определить орбиты и теорию представлений.

Структура орбиты : орбиты делятся на два класса:

• Горизонтальная линия, которая пересекает ось y при ненулевом значении y ₀ . В этом случае мы можем принять квазиинвариантную меру на этой прямой за меру Лебега.
• Единственная точка ( x ₀ , 0) на оси x

Подгруппы с фиксированной точкой : они также делятся на два класса в зависимости от орбиты:

• Тривиальная подгруппа {0}
• Группа Н сама по себе

Классификация : это позволяет нам полностью классифицировать все неприводимые представления группы Гейзенберга. Они параметризованы набором, состоящим из

• R - {0}. Они бесконечны.
• Пары ( х ₀ , λ) ∈ R × R . x ₀ - абсцисса одноточечной орбиты на оси x, а λ - элемент, двойственный к H. Они одномерны.

Мы можем записать явные формулы для этих представлений путем описания ограничений на N и H .

Случай 1 . Соответствующее представление π имеет вид: Он действует на L ² ( R ) относительно меры Лебега и

${\ displaystyle (\ pi [s, t] \ psi) (x) = e ^ {ity_ {0}} e ^ {isx} \ psi (x). \ quad}$

${\ displaystyle (\ pi [w] \ psi) (x) = \ psi (x + wy_ {0}). \ quad}$

Случай 2 . Соответствующее представление дается 1-мерным персонажем

${\ displaystyle \ pi [s, t] = e ^ {isx_ {0}}. \ quad}$

${\ Displaystyle \ пи [ш] = е ^ {я \ лямбда ш}. \ квад}$

использованная литература

• GW Mackey, Теория представлений унитарных групп , University of Chicago Press, 1976.
• В.С. Варадараджан, Геометрия квантовой теории , Springer-Verlag, 1985.
• Дэвид Эдвардс, Математические основы квантовой механики, Synthese, том 42, номер 1 / сентябрь 1979 г., стр. 1–70.