Поле Леви-Чивита - Levi-Civita field

В математике поле Леви-Чивита , названное в честь Туллио Леви-Чивита , является неархимедовым упорядоченным полем ; т.е. система чисел, содержащая бесконечные и бесконечно малые величины. Каждый член может быть построен как формальный ряд вида ${\ displaystyle a}$

{\ displaystyle a = \ sum _ {q \ in \ mathbb {Q}} a_ {q} \ varepsilon ^ {q},}

где - действительные числа, представляет собой набор рациональных чисел и должен интерпретироваться как положительное бесконечно малое. Поддержка из , т.е. множества индексов неисчезающих коэффициентов должна быть левым-конечным множество: для любого члена , существует лишь конечное число членов множества меньше , чем это; это ограничение необходимо для того, чтобы умножение и деление были четко определенными и уникальными. Порядок определяется в соответствии со словарным порядком списка коэффициентов, что эквивалентно предположению о бесконечно малом. ${\ displaystyle a_ {q}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle \ {q \ in \ mathbb {Q}: a_ {q} \ neq 0 \},}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Эти вещественные числа встраиваются в этой области , как ряд , в котором все коэффициенты обращаются в нуль за исключением . ${\ displaystyle a_ {0}}$

Примеры

${\ displaystyle 7 \ varepsilon}$ бесконечно малая величина, которая больше , но меньше любого положительного действительного числа. ${\ displaystyle \ varepsilon}$
${\ Displaystyle \ varepsilon ^ {2}}$ меньше , и меньше, чем для любого положительного реального . ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle r \ varepsilon}$ ${\ displaystyle r}$
${\ displaystyle 1+ \ varepsilon}$ бесконечно отличается от 1.
${\ displaystyle \ varepsilon ^ {\ frac {1} {2}}}$ больше , но все же меньше любого положительного действительного числа. ${\ displaystyle \ varepsilon}$
${\ displaystyle 1 / \ varepsilon}$ больше любого действительного числа.
${\ displaystyle 1+ \ varepsilon + {\ frac {1} {2}} \ varepsilon ^ {2} + \ cdots + {\ frac {1} {n!}} \ varepsilon ^ {n} + \ cdots}$ интерпретируется как . ${\ Displaystyle е ^ {\ varepsilon}}$
${\ displaystyle 1+ \ varepsilon +2 \ varepsilon ^ {2} + \ cdots + n! \ varepsilon ^ {n} + \ cdots}$ является допустимым членом поля, потому что ряд следует рассматривать формально, без учета сходимости .

Определение полевых операций и положительного конуса

Если и - две серии Леви-Чивиты, то ${\ displaystyle f = \ sum \ limits _ {q \ in \ mathbb {Q}} f_ {q} \ varepsilon ^ {q}}$ ${\ displaystyle g = \ sum \ limits _ {q \ in \ mathbb {Q}} g_ {q} \ varepsilon ^ {q}}$

их сумма есть поточечная сумма . ${\ displaystyle f + g}$ ${\ displaystyle f + g: = \ sum \ limits _ {q \ in \ mathbb {Q}} (f_ {q} + g_ {q}) \ varepsilon ^ {q}}$
их продукт - продукт Коши . ${\ displaystyle fg}$ ${\ displaystyle fg: = \ sum \ limits _ {q \ in \ mathbb {Q}} \ sum \ limits _ {a + b = q} (f_ {a} g_ {b}) \ varepsilon ^ {q}}$

(Можно проверить, что носитель этой серии конечен слева и что для каждого из его элементов множество конечно, поэтому произведение определено правильно.) ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle \ {(a, b) \ in \ mathbb {Q} \ times \ mathbb {Q}: \ a + b = q \ wedge f_ {a} \ neq 0 \ wedge g_ {b} \ neq 0 \ }}$

отношение выполняется, если (т.е. имеет непустую опору) и наименьший ненулевой коэффициент при строго положителен. ${\ displaystyle 0 <f}$ ${\ displaystyle f \ neq 0}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$

Оснащенное этими операциями и порядком, поле Леви-Чивиты действительно является упорядоченным расширением поля, в котором ряд является положительным бесконечно малым. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$

Свойства и приложения

Поле Леви-Чивита является вещественно-замкнутым , что означает, что оно может быть алгебраически замкнуто путем присоединения мнимой единицы ( i ) или путем определения комплексных коэффициентов . Он достаточно богат, чтобы позволить провести значительный объем анализа, но его элементы все еще могут быть представлены на компьютере в том же смысле, что и действительные числа с плавающей запятой . Это основа автоматического дифференцирования , способ выполнения дифференцирования в случаях, которые невозможно решить с помощью символического дифференцирования или методов конечных разностей.

Поле Леви-Чивита также является полным по Коши , а это означает, что при релятивировании определений последовательности Коши и сходящейся последовательности к последовательностям ряда Леви-Чивита каждая последовательность Коши в поле сходится. Эквивалентно, у него нет надлежащего плотно упорядоченного расширения поля. ${\ Displaystyle \ forall \ exists \ forall}$

В качестве упорядоченного поля, он имеет естественную оценку , данную рациональный показатель , соответствующий первый коэффициент , не нулевой серия Леви-Чивито. Кольцо оценки - это ряды, ограниченные действительными числами, поле вычетов и группа значений . Результирующее поле значений является гензелевым (вещественно замкнутым с выпуклым оценочным кольцом), но не сферически полным . В самом деле, поле рядов Хана с действительными коэффициентами и группой значений является подходящим непосредственным расширением, содержащим ряды, такие как те, которых нет в поле Леви-Чивиты. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Q}, +)}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Q}, +)}$ ${\ displaystyle 1+ \ varepsilon ^ {1/2} + \ varepsilon ^ {2/3} + \ varepsilon ^ {3/4} + \ varepsilon ^ {4/5} + \ cdots}$

Связь с другими упорядоченными полями

Поле Леви-Чивита является Коши-пополнением поля из серии Пюизё над полем действительных чисел, то есть, это плотное расширение без надлежащего расширения плотного. Вот список некоторых из его известных собственных подполей и соответствующих расширений упорядоченных полей: ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

Известные подполя

Поле действительных чисел. ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
Поле дробей действительных многочленов с бесконечно малым положительным неопределенным . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$
Поле из формальных рядов Лорана над . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ((\ varepsilon))}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$
Поле серии Пюизе закончилось . ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Известные расширения

Поле рядов Хана с действительными коэффициентами и рациональными показателями. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} [[\ varepsilon ^ {\ mathbb {Q}}]]}$
Поле из логарифмической-экспоненциальных transseries . ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {LE}}$
Поле из сюрреальных чисел с датой рождения ниже первым -номера . ${\ displaystyle \ mathbf {Нет} (\ varepsilon _ {0})}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$ ${\ displaystyle \ varepsilon _ {0}}$
Поля гиперреалистических чисел, построенные как сверхстепени по модулю свободного ультрафильтра на (хотя здесь вложения не канонические). ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$